Riemann-zeta函数$\zeta(s)$及其同类函数在$s=1$处有一个极点,这一事实导致了大类素数(所有素数,算术级数中的素数;用二次形式表示的素数)的无穷大。我们不能指望用这种方法证明素数$p=a^2+1$的无穷大,因为这些素数的级数$\sum1/p$是收敛的。这意味着相应的Euler产品$$\zeta_G(s)=\prod_{p=a^2+1}\frac1{1-p^{-s}}$$收敛于$s=1$。但是如果我们能证明$\zeta_G(s)$有一个极点,比如,$s=\frac12$,则会得到所需的结果。现在我知道有一些关于$p=a^2+1$低于$x$的形式的素数的启发式(哈迪和利特伍德?)
这些启发式可以用$\zeta_G(s)$(或相关的Dirichlet级数)的假设性质来解释吗?或者$\zeta_G(s$)的收敛域可以从这些渐近性中导出吗?
顺便说一句,哥德巴赫关于这些素数的一个鲜为人知的猜想是:让$a$是所有数$a$的集合,其中$a^2+1$是素数($a=${1,2,4,6,10,$\ldots$})。然后每隔a$中的$a\($a>1$)可以写成$a=b+c$表示$b,c\表示a$。我在任何地方都没有看到讨论过这个问题。