OEIS A007018真的是无平方数的子序列吗？

Question

中的注释A007018 a（n）=a（n-1）^2+a（n-1），a（0）=1声称

无平方数的子序列（A005117）Reinhard Zumkeller，2004年11月15日

真的是这样吗？

据我所知，如果次$\ge5$的多项式$f\in\mathbb{Z[x]}$可以是经常是无限平方自由的（一些源要求$f$是不可约的）。

如果OEIS注释正确，序列将给出一个无限族（不可约）多项式，通常是无限平方自由的。

用$a_n$表示OEIS A007018的条款。设置$a_n=x$和$$f（x）=a_{n+4}=x\cdot（x+1）\cdot$$

$f（a_n）=a{n+4}$常常是无限平方自由的（包括不可约度8因子）迭代$x\mapsto x^2+x$将产生具有此属性的无穷多项式族。

补充对于多项式无平方值的引用，搜索项为多项式的无平方值例如。这里第1页和此处”11。多项式的无平方值”。

Answer 1

主要因素如下$10^{10}$属于$a_n$可以在中找到OEIS A007996公司我已经测试过他们都不分$a_n$当平方时。同样是安达信报道下面的素数更早$2^{32}$.

事实上$p^2$可以很快证明许多素数都是错误的美元$如果有人试图从开始向后展开序列$a_n\equiv 0\pmod{p^2}$对于最小索引n美元$，因此给予$a_{n-1}\equiv-1\pmod{p^2}$虽然这会导致求解模二次方程$p^2$关于$a{n-2}$并且可能给出两个根，在大约一半的情况下，方程将没有解。然后我们求解一个二次方程$a{n-3}$以此类推。平均而言，此过程会在恒定的步骤数内停止，而不会达到$a_1\equiv 2\pmod{p^2}$（意思是$p^2$不能分割$a_n$).

由于求解二次方程（通过计算平方根）取模$p^2$对于“持久”素数来说，相对来说比较耗时美元$经过一定数量的平方运算后仍能生存下来，因此值得切换到直接计算$a_n$模$p^2$直到零剩余或周期出现。为此，我使用了100平方计算的阈值。有了这种混合策略，素数的搜索可以很容易地扩展到$10^{10}$如果需要的话。