Salié排列和公平排列

Question

2010年10月，我发表了一篇每月的问题引入了a的概念公平排列，这是一个置换$\pi$，对于每个$i$，要么是$\pi（i）>i$和$\pi^{-1}（i。等价地，$\pi$的每个循环都是一个固定点或偶数长度的交替循环，这意味着如果$z$是循环的最大元素，那么$$z>\pi（z）<\pi$$

我认为以前没有人明确研究过公平排列。然而，$\lbrace1，2，\ldots，2m\rbrace$上的置换$\sigma$称为Salié置换如果对于某些$r\le-m$，$$\sigma（1）$$\sigma（2r）<\sigma-（2r+1）<\sigma（2r+2）<\cdots<\sigama（200万）$$这些有我们可以通过生成功能学证明，公平排列的数量是Salié排列数量的两倍。这很有启发性，暗示了两者之间的密切联系。

问题：可以构建一个从公平排列到Salié排列的显式2对1映射吗？

Answer 1

用循环形式写出一个公平的排列，如下所示。首先写入全部长度$>1$的循环，按其最小元素的降序排列，每个循环中最小的元素写为最左边循环元素。然后增加所有固定点订单。一个例子是$$ (3,9,4,6)(1,7,2,10)(5)(8). $$现在删除括号。我们得到了一个Salié置换。每个Salié排列正好以两种方式出现。如果第一个固定点是小于表示中它前面的元素描述（如上例所述），然后我们可以吸收前两个不动点进入它们之前的循环（即最右边的循环）。否则，我们可以将最右边的循环成固定点。对于上面的示例，我们得到附加公平排列$$ (3,9,4,6)(1,7,2,10,5,8) $$产生相同的Sailé排列。

附录。上面有一点不准确。如果1是一个固定点，而不是吸收1和它后面的固定点$j$在前一个循环中，我们应该创建一个新的循环$（1，j）$。