2020年1月11日

随机排列

约翰·贝兹

500个元素集的六个随机排列，其中
圆形区域是按照周期长度的比例绘制的。
发件人分析组合数学弗拉乔莱特和塞奇威克。

假设您随机选择一个\（n\）-元素集。通常情况下是什么样的？这实际上是很多一个问题。回答这些问题时，使用了以下迷人的组合基本技术、生成函数和复杂分析。答案往往非常简单！

• 第0部分-平均长度是多少元素集的随机置换中最长循环的？
• 第1部分-元素集的随机选择排列恰好有（k）个不动点的概率是多少？

• 第2部分-元素集的随机选择置换中最短循环的长度大于（k）的概率是多少？

• 第3部分-关于随机排列的大量问题，以及答案。
• 第4部分-元素集的随机选择排列的周期长度大于（n/2）的概率是多少？

• 第5部分-元素集的随机选择排列中的循环平均长度是多少？
• 第6部分-在一个随机选择的（n）元集合的置换中，预期的长度（k）的圈数是多少？
• 第7部分-随机排列中长度（k）的圈数分布与泊松分布如何相关？
• 第8部分-泊松分布的第几阶矩是多少？
• 第9部分-如果我们将（n）-元素集的随机置换中的长度（k）的圈数视为随机变量，那么这个随机变量的矩是什么？
• 第10部分-如何计算统计信息使用广群基数的随机排列。
• 第11部分-如何使用群基数证明循环长度引理，这是关于随机置换的一个基本结果。
• 第12部分-如何在Young图上将配备置换的有限集的广群写成和，以及如何使用它来计算随机置换给定循环长度的概率。
• 第13部分-一个比配备有置换的有限集的广群稍大的广群，以及它与泊松分布的联系。

• 弗朗索瓦·贝杰隆、吉尔伯特·拉贝尔和皮埃尔·勒鲁，结构种类理论简介.
• 菲利普·弗拉乔莱和罗伯特·塞奇威克，分析组合数学.
• 赫伯特·S·威尔夫，生成函数学.

©2019约翰·贝兹
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