关于我2023年12月的日记，请点击此处。

日记-2024年1月

约翰·贝兹

丽莎和我将在9号离开，但幸运的是我们将在春天回来！

2024年1月2日

当我的朋友们了解到我目前对调谐系统的痴迷时，他们开始问一些我不知道答案的有趣问题。

例如，迈克尔·福曼问我：如果来自简单分数的和声如此自然，那么有鸟类或鲸鱼的歌曲具有这样的和声吗？

原来是一种叫花斑肉鸟一直是许多作曲家的最爱！Jean-Michel Maujean计算出了这种鸟的歌声中出现的频率比。他发现四个最常见的比率接近

他注意到

0.607接近大六分之一（3/5），
0.745接近完美四分之一（3/4），
0.815接近大三分之一（4/5），
1.34接近完美四分之一（4/3）。

他的作品看起来不错，但他不应该费心将这些比例与12色调或18色调的同等气质进行比较。平等气质是18世纪末为键盘乐器开发的一种系统。如果鸟儿们能用上这个，那真是太棒了！

Maujean也对鸟类歌曲中和声的文献进行了很好的回顾，所以我应该深入研究一下：

• Jean-Michel Maujean，斑鸠语调分析，伊迪丝·考恩大学荣誉论文。

但我觉得最鸟的歌唱频率比不是简单的分数。其他这些鸟怎么了？

2024年1月3日

在没有任何电子设备的情况下，钢琴调谐器可以判断两个弦是否以几乎但不完全相同的频率振动。他们通过倾听“节拍”来做到这一点：响度中的脉动。

这是如何工作的？如果你加上两个频率稍有不同的正弦波，比如说（sin（\omega t））和（sin。然后它们会重新同步并再次发出声音，等等。

甚至有一个公式：$$\sin（\omegat）+\sin（\fomega't）=2\sin\left（\frac{（\omega+\omega'）t}{2}\right）\cos\left（\frac{（\ omega-\omega`）t}{2}\ right）$$我们得到一个频率为平均值（（ω+ω’）/2的正弦波，它缓慢地脉动，因为它被低频的余弦波乘以。

我从这里得到了动画gif：

• o物理：交互式物理模拟，波干扰：节拍.

所以也许你真的不需要学习这些身份$$\sin（\alpha）+\sin（\beta）=2\sin\left（\frac{\alpha+\beta}{2}\right）\cos\left（\ frac{\ alpha-\beta{2}\ right）$$当你还是个孩子的时候上三角舞课，但他们肯定会在正确的时刻发挥作用。

2024年1月5日

到目前为止，我已经把重点放在了上面数学上优美、对称的四分之一逗号平均音系统上。今天我将详细介绍实际播放的音阶：我们如何将其从13音符音阶调整为更实用的12音符音程，以及在生成的音阶中音符之间的间隔是什么。

上述标尺有：

• 很多频率比正好为5/4的三分之一，
• 很多与理想的3/2相比，五分之一只是略微平坦，
• 我们现在需要解决的一个大问题是：13个音符，两个音符之间用一个荒谬的微小差距被称为“较小的疾病”.

你可以看到F之间的微小间隙♯ 和G♭. 这两个音符都是C大调音阶中“三通”的版本。如果♯ 称为“增广四阶”和G♭ 被称为“弱化五分之一”。除非我们用拆分键来制作键盘——就像有些人实际拥有的那样，但他们从来没有接触过——否则这些音符中的一个就必须去掉！

有两种选择。最受欢迎的是删除减少的第五个：

另一种是删除增强的第四个：

任何一种方法都会给你一个大坏“狼第五”，这是必须避免的。但最终的比例尺实际上是什么样的呢？相邻音符之间的间隔是多少？

为了理解这一点，让我们回到起点，我们最初的“五分圆”有13个音符：

当我们重新排列音符，将其按顺序列出时，我们会得到“五颗星”：

现在，让我们添加箭头，显示相邻音符之间的间隔：

除了较小的疾病，相邻的音符都被两种间隔隔开：

• 这个四分音符彩色半音: $$\显示样式{C=\frac{5^{7/4}}{16}\约1.04491}$$
• 这个四分音符全音调:$$\显示样式{D=\压裂{8}{5^{5/4}}\约1.06998}$$

我们在我的12月31日日记条目。有两种尺寸的半音可能看起来很奇怪，但听起来不错。重复一下，问题是增加的第四位和减少的第五位之间的疾病较少。但是，当我们删除这些注释中的任何一个时，就会发生一些好事！

这是最酷的部分。打开12月31日我们看到了这种关系：

因此，当我们删除增广的第四音或减弱的第五音时，较小的diesis与相邻的一个半音结合起来，形成一个额外的全音调！

如果我们去掉减少的第五个，我们得到这个刻度：

它不是完全对称的，但它仍然很漂亮——现在这种较小的疾病已经被消除了。大多数五分之一听起来不错，但在增广的四分之一（F）之间有狼五分之一♯) 和小二（C♯), 所以你应该避免这样。半音在半音和全音之间交替。。。除了对于F之间的一行中的两个全音阶半音♯ 和A♭, 以及B和C之间♯.

最棒的是，这个音阶有很多只是大三分之一的音阶，虽然比数学上优美的13音符版本的音阶少了一个。让我们找出它们在哪里。上次我们注意到这种关系：

这意味着

但是5/4是一个大三分之一的频率比！所以当我们上升两个半音半音和两个全音半音时，我们会得到一个大三分之一。所以这里的三分之二是蓝色箭头：

这有点随机，多亏我们打破了对称。如果只有F的大三分之一♯ 至BŞ蓝色箭头的图案将是对称的。但没有：只有G的一个大三分之一♭ 至B♭, 我们淘汰了G♭ 从这个规模。

但是，这个音阶仍然有很多只占三分之一大的音阶！这就是主要目标。

2024年1月8日

我已经说过很多关于quarter-comma meatone及其伟大特性的内容。现在差不多是时候开始探索1690年左右兴起的“温和”调谐系统的广阔领域了。

但关于四分音符，我还有一件事要说。如果你使用这个系统，你的秤从D开始比从C开始有一些好处！例如，维基百科提供了从D开始的quarter-comma含义：

• 四分音阶：12音阶.

这不是一个武断的决定！这一点起初让我困惑，但马特·迈克尔文（Matt McIrvin）让我明白了，我想我现在明白了。这一切都是关于钢琴、大键琴、古钢琴或风琴上的白键与黑键的对比。

同样的思想也适用于毕达哥拉斯调音或仅仅语调，但我将用四分音符来说明它们。

基于D的调整的优点

如果我们把上面所示的五分之一圆圈拉直，将C放在中间，我们就会得到这张图：

这里有13个音符，因为如果我们想在中间放一个音符的话，我们需要奇数个音符。因此，我在写F♯ 和G♭ 作为两个单独的音符，尽管一些调音系统认为它们是相同的。当然，在这篇博客文章顶部的图片中，他们是不同的。

注意这张图片是多么不对称。为了强调不对称，我用红色标记了平音符，用蓝色标记了尖音符。虽然C在中间，但它比尖音更接近平音！

你可能会抱怨说，任何平淡的音符都可以改写成尖锐的音符。这是真的。所以这里有一个更精确的方法来表达我的观点。说笔记是意外的如果它有扁平标志或尖锐标志，则：虽然C在中间，但它左边的事故比右边的多！

但这是奇怪的部分。如果我们把五分之一的圆拉直，把D放在中间，这种不对称性就会消失：

困惑。为什么这是真的？为什么，即使钢琴上的白色音符是从C开始的大音阶

• 你去的笔记数量向上的五分之一圆圈，然后敲击黑色音符

平等的

• 你去的笔记数量向下五分之一圆圈，然后敲击黑色音符

只有当你从D开始？

当然，“为什么”问题可以有很多不同的答案，包括事情就是这样！但对这个问题有一些启发性的答案。我只想说我不这里关注的是我们关于音符字母名称的约定。

是的，奇怪的是，我们说钢琴上的白色音符形成一个以C开头的大音阶，而不是像a这样更符合逻辑的音阶。那这一惯例最终要追溯到公元500年后不久，早在钢琴或羽管键琴出现之前，博伊修斯就做出了一项决定：

• 维基百科，音符：音符名称的历史.

但是，如果我们为笔记更改了字母名称，我的困惑就会持续下去，事物的名称也会不同。

现在说到点子上。一直以来，在我讨论四分音符的意思时，我的音阶都是从C开始的。这把所有与三分音符有关的问题都放在这个圆的底部，在F之间♯ 和G♭:

但在左边这个圆的边比对！左边有五个，右边只有一个。

如果我们从D开始，这种不对称性就会消失：

现在我们在圆圈的左边有三个平音符，右边有三个尖音。

这对实用音乐有启示。基本上，我们想在黑色音符中尽可能深地隐藏小病128/125，或消除小病时出现的第五只狼。这将使以白色音符为主的音阶听起来更好。

即使您没有遵循所有的细节，我希望您已经看到了我到目前为止讨论过的调优系统的丰富性。直到1690年左右，他们一直让音乐家感到高兴。但随后，大量“温和”的系统涌现出来，以新的方式利用了迄今为止我们所看到的基本原理。这就是我接下来要谈的！

2024年1月11日

调谐系统称为“四分音符从大约1550年到大约1690年，他主导了西方键盘音乐。原因是：它有很多不同的键，非常漂亮的三分之一和五分之一！

但正如我一直说的，每个调谐系统都有问题：就像地毯上的块状物一样，你能做的最好的事情就是把问题转移开。Quarter-comma meanstone通过将地毯完全压平而达到了它的伟大，除了一个大块头：一个高度不和谐的“第五只狼”。唉，这完全破坏了第五音很重要的琴键，或者其他和弦使用的音符创造了狼五音，即F♯ 在上面的图表中。

随着巴洛克音乐人对在按键之间切换越来越感兴趣，人们迫不及待地想找到一种调谐系统，使地毯上的块状物分布得更加均匀。但有趣的是，他们没有拥抱性情平等块尽可能均匀分布。

并不是说没有人知道同等的气质！显然，音乐家想要一些钥匙要有真正美丽的五分音符和三分音符，并且不愿意牺牲这些美丽和纯洁来让所有的钥匙听起来都一样好或一样坏。因此，他们发明了折衷系统，称为良好的性情每个键都有自己的个性，但听起来都相当不错。

你可以在Christian Schubart的Ideen zu einer Tonkunst美学，写于1806年：

C专业。完全纯净。它的特点是：天真、单纯、天真、童话。

C小调。宣告爱情的同时也哀叹不幸福的爱情。爱情病态的灵魂所有的煎熬、渴望、叹息都在于这把钥匙。

D类Ş少校。一把斜视的钥匙，退化为悲伤和狂喜。它不会笑，但它会笑；它不会嚎叫，但它至少可以对自己的哭声做鬼脸。因此，只有不寻常的性格和情感才能在这把钥匙里表现出来。

C#次要。悔恨的哀悼，与上帝、生命中的朋友和帮助者的亲密对话；失望的友谊和爱情的叹息就在它的半径内。

D大调。胜利的钥匙，哈利瓜的钥匙，战争的钥匙，胜利的钥匙。因此，吸引人的交响乐、进行曲、节日歌曲和天堂欢乐合唱团都设置在这把琴键上。

我费了很大的劲才拒绝列出所有24个键！你只需访问链接，就能看到哪一个键“像狗咬衣服一样拉扯激情”，哪一个具有“虔诚的女性气质和温柔的性格”。

19世纪初，当平等气质开始流行时，所有这些多样性都被夷平了，尽管声誉不同键的组合持续了相当长的一段时间。一些人认为这是一场悲剧；其他人说，这为贝多芬和爵士乐打开了大门。也许两者都是真的。

但是什么是这些温和的系统，是吗？他们的独特优势是什么？这里的事情变得更加复杂和模糊。例如：

调音系统的最大广告是巴赫的训练有素的克莱维尔1722年和1742年，他分别用12个大键和12个小键写了一篇文章，以说明气质的灵活性，并大概展示了不同的键是如何具有不同的个性的。但他实际使用的是哪种温和的系统？

没人知道！我们没有巴赫关于这个话题的言论，尽管有大量的学术研究，但没有人能够确定这一点。严肃的音乐学家甚至花了大量时间研究巴赫手稿《调音良好的克莱维尔》中的一个涂鸦，希望它包含对巴赫调音系统的编码描述！没有证据表明这是真的。

要了解这场争论的有趣而深刻的介绍，请看以下内容：

有关更多信息，请尝试以下操作：

• 维基百科，巴赫气质.

这似乎是对该主题的最佳深入调查：

• 塞尔吉奥·马丁内斯·鲁伊斯，巴赫《脾气好的克莱维尔》中的气质：历史考察和基于不和谐理论的新评价，巴塞罗那自治大学音乐艺术系博士论文，2011年。

我没有读过大部分，但它似乎是一个关于良好性情、历史和数学的宝箱。坦白地说，我发现那个比徒劳地寻找巴赫的想法有趣得多。

有很多有趣且温和的系统。人们在发明它们的时候写了很多关于它们的文章，后来写得更多。因此，我们不必为了理解好的性情而去解读巴赫的花体字。困难的部分，至少对这位数学家来说，是找出他们的支配原则。

在我的努力下，这个网站给了我很大的帮助：

• 凯里·比比·哈普肖兹，技术库：气质FAQ.

他使用循环图描述了大约30种不同的调优系统，我决定在这里的博客文章中复制这种方法。他对数学的兴趣不如我。但他在解释调谐系统方面比其他资料更有效，并涵盖了其他主题：例如，他描述了如何给羽管键琴调音在所有这些系统中！

我将从我觉得最容易解释的那些系统开始，而不是按时间顺序介绍脾气良好的系统。我将尝试涵盖一些最重要的内容，但肯定不是全部。许多人是以这样的人命名的克迈斯特，克恩伯格和瓦洛蒂，而有些有描述性名称，如六逗号平均音.

危险是迷失在这些调谐系统的灌木丛中，看不到森林中的树木。因此，在深入讨论之前，我将首先调查一些似乎起作用的数学原理。你可以从我目前所写的内容中看出这些，但我想更明确一些。

例如，这些奇怪的数字到底是怎么回事：

• 勾股逗号，第页= 531441/524288 ≈ 1.01364
• 较小的疾病，δ=128/125=1.024
• 谐音逗号，σ=81/80=1.0125

以及这种关系：

为什么这些有趣的事情在调谐系统的历史上如此重要？

2024年1月15日

上次我以一个问题结束：为什么某些接近1的数字在调节系统中如此重要？在我们深入研究良好性情之前，先了解一下这一点会有帮助。事实证明，在某种意义上，西方和声一次演变成一个质素，所以让我们这样看待这个主题。

素数2

如果我们调谐系统中的所有频率比都是2的幂：

生活会很简单。将一个频率乘以2会使其音高提高一个八度，所以我们唯一能演奏的和弦是由八度组成的和弦。没有多少音乐可以制作！但也不会有困难的决定。

素数2和3

在毕达哥拉斯调优（也称为3极限调优）中，我们通过将2的幂与3的幂相乘来生成所有频率比：

这更令人兴奋。虽然2的频率比是一个倍频程，但3/2的频率比称为刚好是第五名现在我们可以使用八度音程和五度音程来构建其他音程（即频率比）。

但事实上，任何正实数都可以用形式2的数字任意逼近^我· 3^j个，所以我们有一个财富的尴尬：间隔比我们真正想要的多！为了控制系统，我们采用了形式2的一些数字^我· 3^j个这真的很接近1并且表现得很好是1

我检查了选项在之前的帖子中并根据一些精确的标准得到了一份“优胜者”名单。一些早期的获胜者是

和

这些音符在5或7个音符的音阶中很重要，但西方音乐支持一种更好的音阶，称为毕达哥拉斯逗号:

这对于12音阶来说很重要，因为这意味着如果我们将频率提高五分之十二，每次将频率乘以3/2，几乎等于提高7个八度。

但不完全是这样！处理这个问题有很多方法。在毕达哥拉斯调音中，我们通过将五分之一除以毕达哥罗斯逗号来吸收问题，将其变成令人不快的“狼五分之一”：

例如：

但我们可以随意将毕达哥拉斯逗号的倒数分布在五分之一的圆上，不同的方法会产生不同的调谐系统。

例如，在相等的气质中，我们使用等回火五分之一无处不在：

这不是一个三限调整的例子，因为它使用了无理数！但这显然是解决三限调优中出现的毕达哥拉斯逗号问题的一种方法。更有趣的解往往涉及下一个质数。

素数2、3和5

在5限调谐中，我们通过将2、3和5的幂相乘来生成所有频率比：

同样，我们使用八度音阶（2）、刚好完美的第五度（3/2）和只有大三分之一: 5/4.

有一些新的接近1的简单分数，可以用2、3和5构建。最重要的是谐音逗号：

当你试图调和完美五度和大三度时，就会出现这种情况。如果你上升到四个刚好五分之一，你会将频率提高一倍（3/2）⁴=81/16=5.0625，比一个大三度和两个八度多一点，即5/4×2²= 5. 这个比例是合成音逗号。

正如我们将在以后的几集中看到的那样，这种实现对于许多调优系统来说是至关重要的。我们已经看到了这些系统的强大功能：四分音符它本身并没有得到很好的调节，但修复其主要缺陷会导致系统得到很好调节。在四分音符中，我们用谐音逗号的第四个根来划分五分之一的大部分，它给出了许多仅为大三分之一的音，如下蓝色所示：

因此，这个量表有许多“四分之一五分之一”，频率比为（3/2）σ^-1/4绕着整圈旋转，将这些四分之一命令的五分之一乘以12，得到125，这并不完全是我们需要增加7个八度的128。所以我们需要取这些四分之一的五分之一乘以128/125。由此产生的“第五只狼”听起来很可怕，而这正是良好性情寻求治愈的原因。

数字128/125是一个非常重要的分数，接近1，它是由素数2和5构成的。它被称为较少的柴油:

它不仅是2的幂除以5的幂，也是2的幂乘以10的幂。如果你曾经想知道为什么人们经常用“千字节”来表示1024字节，而不是1000字节，那么你一定会遇到这个问题。

从毕达哥拉斯逗号，谐音逗号和轻度疾病我们可以从素数2、3和5生成接近1的其他分数。例如，我已经讨论过了这个产品谐音逗号和较小的diesis，以及它们的比率.

但当我们研究好性情时，更重要的是毕达哥拉斯逗号除以谐音逗号。已调用片岩，这个分数是非常接近1:

下次我会再多谈谈。

值得注意的是，较小的diesis并不独立于毕达哥拉斯逗号和谐音逗号。我们今天已经看到，增加五分之一到十二倍等于增加七个八度音阶除以毕达哥拉斯逗号。现在我们看到它上升了（3/2）σ^-1/4十二次等于升七个八度音阶乘以较小的二次音阶。所以，我们有

或

我们已经用了一种稍微不同的方式之前.

由于这种关系，必须有其他接近1的分数，这些分数只由素数2、3和5的幂构成，它们独立于第页，σ和δ事实上，我们已经已经看过了四个这样的分数在单音调中表现为半音的大小：

这些半音的比率包括谐音逗号、小调，以及它们的乘积大调和比率离散！

但这些半音并不是非常接近1。最小的半音，即较小的半音，是25/24≈1.041666。所以一定有有趣的例子，用2、3和5构建分数，独立于谐音和毕达哥拉斯逗号，更接近于1。论乳臭虫我问了一些仅由素数3和5构成的例子，一群人帮了我。以下是首批获奖者：

这里需要注意的是，我们需要分子和分母都非常大的分数，才能比大的全音半调27/25=1.08更接近。这些分数在良好的性情中不会起作用。

高等素数

现在我不想多说5点后的素数。但至少自托勒密以来，他们就在音乐理论方面进行了研究本·约翰斯顿真的很疯狂。关于黄金7的优点，请阅读我在上的帖子和声第七和弦.

我在上面粗略地列出的事实一定是一个优雅的一般理论的一部分，该理论通过由一组特定素数的幂建立的分数来近似数字1，以及如何从这些分数建立尺度。如果系统地进行，这不仅会引起音乐理论家的兴趣，甚至会引起纯粹的数学家的兴趣。但我现在不会探讨这一点，因为我的目标只是回忆一些必要的事实，以了解1690年左右开始的良好性情爆发！

下一次，我将略微偏离基恩伯格的发现，基恩伯格发现了一个调谐系统，该系统的频率比仅由素数2、3和5构成，而这些素数非常接近于相同的气质。这不是一个实际的系统，但它依赖于一个惊人的巧合，更重要的是它突出了片岩，它将继续出现在其他系统中。

它是由巴赫的学生约翰·肯伯格发现的，其频率比荒谬地接近1：

它是在科恩伯格试图寻找调谐系统时自然产生的只有合理的频率比，性情接近相等。但是它依赖于一个数学奇迹：一个令人瞠目结舌的巧合一位著名的黑洞物理学专家写了一篇论文试图解释它！

在我对调谐系统的讨论中，我们反复遇到了音乐结构中的两个称为“逗号”的小问题：

当你试图用五分音阶建立音阶时，第一个音阶会出现，而第二个音阶则会出现在你试图用很多好的五分音程和大调三分音程时。

他们非常接近，所以他们的比率更接近一！它有一个很酷的名字：它叫片岩.我将它缩写为希腊字母chi：

片岩是一种后磨石：磨石之间的磨石！这似乎只是一个好奇，因为频率比为分裂的两个音高对每个人来说都是一样的。但正是由于这个原因，它在一些调节良好的调谐系统中发挥了作用。

你看，有时当你构建一个调音系统时，你需要一个毕达哥拉斯逗号来使你的五分之一圆很好地接近，但要想得到一个真正好的大三分之一，你需要使用谐音逗号。当你这样做的时候，你就被分裂了！就像地毯上的一个肿块，这种分裂必然会发生。它太小了，你把它放在哪里都无关紧要。如果你在调音时不特别小心，你的音符可能会被分裂掉。但从数学上讲，它就在那里。

在接下来的几集中，我将向您展示在一些著名的调谐系统中如何发生这种情况的示例。但今天我想向你展示一个令人费解的想法，完全疯了Kirnberger使用分裂的方式。

让我们开始吧！

正如我们在研究五度相生律上升12个完美的五分之一需要你上升7个八度多一点。它们的比率是毕达哥拉斯逗号：

因此，如果我们将刚好是第五名（即3/2）通过毕达哥拉斯逗号的第12个根，我们得到同等回火五分之一（即，2^7/12)它的12次方正好是7个八度。这个更正是毕达哥拉斯逗号的第12个根，

称为毕业生.我会打电话的γ简而言之：

所以，我想说的是，如果我们用梯度除以3/2，我们得到2^7/12，这是相等回火的第五个：

现在是令人瞠目结舌的巧合。毕业生

非常接近分裂：

看那个！由于没有明显的原因，它们几乎与小数点后七位匹配！

但与毕业生不同，分裂是理性的。这让Kirnberger创造了一个非常接近相等气质但具有合理频率比的调谐系统。他的想法是使用五分之一的圆圈，而不是使用脾气相等的五分之一

这是不合理的，我们用3/2除以分裂

这是合理的。他们非常接近！

数量3/2χ被称为片状五分之一:

我们可以尝试用分裂的五分音符而不是等温的五分音来构建一个五分音调的圆圈。但有一个小问题。实际上，“轻微”是夸大其词：这是一个几乎无穷小的问题。

如果我们上升12个五分音阶，我们就不会准确地上升7个八度。我们上升了微量，因为

和数字（γ/χ）¹²微观上不止一个。因为这个数字是由Kirnberger讨论的，所以它被称为Kirnberger原子.我会打电话的α简而言之：

让我们算出它等于什么！记住grad是毕达哥拉斯逗号的第12个根，所以

转动旧计算器上的曲柄：

利用这些想法，Kirnberger创建了一个名为理性平等气质。它非常接近于同一性情，但只有合理的数字作为频率比。为了做到这一点，他使用了11个五分之五分裂和一个五分之一分裂除以Kirnberger原子。为了好玩，我把最后一个叫做原子五分之一:

我不知道Kirnberger把原子序数第五放在哪里，但我会遵循通常的传统，把问题放在三通之后，也就是F♯ 在C的键中：

将此与同等气质进行比较：

没有人能听出差异，所以Kirnberger的理性平等气质没有在音乐中使用。但它揭示了毕达哥拉斯逗号和谐音逗号之间的相互作用，以及是对于我们将在接下来看到的温控天平来说非常重要。

这也引发了一个数学难题：为什么毕业生如此接近分裂？物理学家唐·佩奇（Don Page）因其在黑洞热力学方面的工作而闻名，他写了一篇论文探讨了这一点：

• 唐·N·佩奇，为什么Kirnberger内核这么小？

既然片岩已经是一种超基质，那么Kirnberger内核就是一种超介质！他表明，这个数字与1的接近程度等同于其他一些巧合，尤其是

然后，他将这种巧合归结为一个只涉及整数的事实，他试图用双曲正切函数的性质来解释这个事实！他在这些方面比我强得多，所以如果你喜欢我的文章，你一定应该看看他的。

下一次，我将回到业务上来，谈谈调优系统——从Kirnberger开发的三个更实用的系统开始。

2024年1月25日

更令人惊讶的是，去年中国人口减少了200万，是前一年减少的两倍。这被描绘成一场“危机”，是的，它带来了很多问题，但规模越大并不总是越好。无论如何，它正在发生。

• 杰夫·布莱迪，得益于中国的推动，2023年可再生能源以创纪录的速度增长2024年1月14日。
• 亚历山大·史蒂文森和王子旭，中国告诉妇女要孩子，但人口再次减少，《纽约时报》2024年1月16日。

如果我们的文明崩溃，外星考古学家可以看到这一点，并留下深刻印象。三颗卫星以等边三角形跟随地球，彼此相距250万公里。每个包含两个自由下落的金块。卫星的加速度刚好足够，这样它们就不会被太阳风吹离轨道。里面的金块只感觉到重力。

激光在另一颗卫星上的每个立方体与其伙伴之间反弹，测量它们之间的距离，精确到20皮米：小于氦原子的直径！这使得卫星能够探测波长很长、频率相应较低的引力波（时空曲率中的涟漪）。

它应该会在银河系中看到如此多的双星白矮星、中子星和黑洞，以至于这些都只是前景噪音。更令人兴奋的是，它应该可以看到星系中心超大质量黑洞的合并，直到……时间的黎明，或者当这些黑洞首次形成时。（你看得越远，你看到的东西就越古老。）

它甚至可以看到“引力背景辐射”：宇宙大爆炸遗留下来的时空结构中的剧烈振动。这些引力波是在宇宙中的热气冷却到足以对光透明之前产生的。所以它们比我们现在看到的最古老的微波背景辐射还要古老。

它被称为丽莎-激光干涉卫星天线。我们在运气：欧空局刚刚决定于2035年发射。

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