313313331、333313333133333333331是质数

Question

313313331、333313333133333333331是质数。这条法律可以继续吗？会出现一个复合数字吗？不用电脑怎么判断。

Answer 1

33333331不是素数；它可以被17整除。这不需要计算机。欧拉总是这样计算。

此外，在序列31、331、3331、33331……中，每15个数字都可以被31整除。

证明：中的注释巴塔查吉实验室的答案,序列具有以下形式$$a_n=\压裂{10^{n+1}-7}{3}$$现在，15是$10\pmod{31}$的乘法顺序，所以$$a{15k+1}=\压裂{10^{15k+2}-7}{3}\equiv\frac{10^2-7}{3{\equiv 0\pmod{31}。$$

已经证明，对于所有看起来像$ab$、$abb$、$abbb$、$bbbb$、……或$ab$，$aab$、$aaab$、$aaaab$……的序列，其中$a$和$b$是数字，序列中的数字周期性地可被第一个数字$ab$整除。

作为一个简单的练习，证明在序列11、111、1111、11111…中，每一个第二项都可以被11整除。

Answer 2

提示：

$$下大括号{33\cdots33}_{n\text{digits}}1=10\frac{10^n-1}3+1=\frac{0^{n+1}-7}3$$

我们需要找到$\frac{10^{n+1}-7}3的素除数$（p）$$

观察$p>11$

另一种方法是找到$p$，使$10$是一个基元根

Answer 3

有点离题的回答：

你不能假设对小数成立的语句对大数成立，特别是对素数序列，因为即使使用计算机技术，素数也是数学界最大的谜团之一。有一句妙语：“我记不清了，但一位伟大的数学家（我想是波利亚）曾经说过“直觉不是证据。这对你来说很合适。

另外一个好的报价是“永远不会有足够小的数字来证明某些东西普遍适用。”。这两个引号描述了您的问题，即使直到$1000^{th}$之前的每个数字都是质数，也不能证明下一个数字是质数。幸运的是，在这个问题中，中断发生在$8^{th{$数字处，正如其他用户所证明的那样，序列中有无穷多的复合数字。

最后我想你可能会对这篇文章感兴趣理查德·盖伊的《小数字定律》有很多像你这样的例子，实际上这本书中包括了这个例子。你可以看到，一些序列的猜想已经被证明，但大多数都是错误的。对于一些例子来说，第一次反例发生得很晚。

Answer 4

OEIS序列中有一个注释A123568形式的质数$\压裂{（10^n-7）}{3}$.上面写着：

请注意，每个n美元$从2到8给出素数，但之后n美元$那个与素数相对应的距离越来越远。辛格（1997）给出了一个例子，说明为什么数学家不信任证据的优势：17世纪分解只有八位数的数字并不像现在这么容易今天，这种模式表明，这种形式的所有数字都是素数。-阿隆索·德尔·阿特，2012年11月11日