从收敛中提取迭代连分式的模式

Question

我一直在写一篇文章https://oeis.org/wiki/Table_of_convergents_constants网站
我在那里发布了一个“聚合常数”表（定义于https://oeis.org/wiki/Convergents_constant网站)对于一些数字。

最好能用一些质量分析来支持这篇文章。

2011年6月9日之前，开始提取并明确定义文章中这些常量的模式。我在寻找连分数的模式方面取得了一些进展。你能找到下一个图案$a_6（n）$吗？如果它类似于$a_5（n）$，它将依赖于某些自然数$K$的模。

从$n=0$开始，序列为：
编辑[我犯了一个错误，很难做到这一点。我应该说，从$n=1$开始，序列为：]

1, 2, 1, 3, 3, 9, 4, 1, 5, 2, 7, 9, 8, 1, 9, 2, 11, 2, 12, 1, 13, 2, 15, 16, 16, 1, 17, 2, 19, 1, 20, 1, 21, 2, 23, 1, 24, 1, 25, 2, 27, 1, 28, 1, 29, 2, 31, 1, 32, 1, 33, 2, 35, 2, 36, 1, 37, 2, 39, 2, 40, 1, 41, 2, 43, 2, 44, 1, 45, 2, 47, 2, 48, 1, 49, 2, 51, 3, 52, 1, 53, 2, 55, 3, 56, 1, 57, 2, 59, 3, 60, 1, 61, 2, 63, 3, 64, 1, 65, 2, 67, 4, 68 ,1, 69, 2, 71, 4, 72, 1, 73, 2, 75, 4, 76, 1, 77, 2, 79, 4, 80, 1, 81, 2, 83, 4, 84, 1, 85, 2, 87, 5, 88, 1, 89, 2, 91, 5, 92, 1, 93, 2, 95, 5, 96, 1, 97, 2, 99, 5, 100, 1, 101, 2, 103, 6, 104, 1, 105, 2, 107, 6, 108, 1, 109, 2, 111, 6, 112, 1, 113, 2, 115, 6, 116, 1, 117, 2, 119, 7, 120, 1, 121, 2, 123, 7, 124, 1, 125, 2, 127, 7, 128, 1, 129, 2, 131, 7, 132, 1.

模式到序列的函数可以分段定义，因为$a_5（n）$的最后一个已知片段从$n=24$开始。据我所知，$a_5（n）$和$a_6（n）美元的函数是否可以在不使用分段函数的情况下定义还没有答案。

2011年6月10日补遗【现在我有$a_1（n）$到$a_6（n）美元，我发现很难找到它们的共同点。也许有一种更容易的模式可以从$a_0

Answer 1

这里是收敛常数的一些理论计算，这也与我的数值模拟相符。然而，我得到的常数与你不同！这可能是由于一些小的误解，但即使使用“正确”的公式，我的方法也可能有效。

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编辑：这就是误解。我的公式是从$[x_0；x_1，x_2，\ldots]$到$[p_0/q_0；p_1/q_1，p_2/q_2，\ldets]$。另一方面，您的公式有一个额外的步骤，将后者表示为一个常用的积分连分式。

这个误解表明你的页面不够清晰，请改正。更详细地说，您可以写$$x_1=[a_0（1）；a_1（1$$但中间的表达式是右边的连分数表示的值的正则连分数，这一点尚不明确。

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其余部分按照以下（错误）解释。我们从一些连分数开始。我们计算部分收敛，并将其用作新连分式中的系数。然后我们计算后者的收敛性，并将其用作另一个新连分式的系数。等等。

设给定点的收敛性为$x_0，x_1，\ldots$。为了计算下一次迭代的收敛性，我们使用以下公式：$$\开始{align*}P_0=x_0&Q_0&=1\\P_1&=x_0x_1+1&Q_1&=x_1\\P_n&=x_nP_{n-1}+P_{n-2}&Q_n&=x_nQ_{n-1}+Q_{n-2}\结束{align*}$$我们立即得到$P_0、Q_0$的值始终保持不变，因此第一次收敛的极限值$y_0$是$x_0$。

接下来，对于第二个收敛，我们有$$x'_1=P_1/Q_1=x_0+1/x_1.$$假设，如果重复这个迭代，它最终将到达满足$$y_1=x_0+1/y_1.$$y_1$的固定点$y_1$，它很容易解出二次方程来获得$$y_ 1=\ frac{x_0+\sqrt{x_0^2+4}}{2}.$$我们还获得了$P_1、Q_1$的极限值，即$\hat{P} 1个=y_0y_1+1$和$\hat{Q} _1个=x_1$。

继续，对于第三个收敛，我们得到$x'_2=P_2/Q_2$。不动点$y_2$满足$Q_2 y_2=P_2$或$$y_2（y_2\hat{Q} _1个+\帽子{Q} _0（0）)=y_2\帽子{P} 1个+\帽子{P} 0。$$我们再次得到$y_2$的二次方，我们可以求解它（选择正解），然后推导出极限值$\hat{P} _2，\帽子{Q} _2$.

我们可以继续这样计算全部的极限收敛。我们自然有$y_n\rightarrowy_\infty$，所以要推导收敛常数的数值近似值，我们可以简单地选择$n$big。

到目前为止，我还无法找到收敛常数的闭合公式，但有可能得出这样的公式。注意，该常数仅取决于$x_0$，它是原始数字的下限。

你可以用这种方法得到收敛常数的渐近级数。它将从$$C（x_0）=x_0+\frac{1}{x_0}-\frac{3}{x_0^3}+\cdots开始$$每增加一个新的$y_i$，我们就会多得到一个术语。也许通过一些努力，人们可以得出系数的递推公式。

也许可以证明，如果你从一个无理数开始，那么你总是收敛到收敛常数。你只需要证明每个收敛点都收敛到正确的$y_n$，你可以通过归纳来实现。

我得到的常数与你的不同。例如，对于$x_0=10$，我得到常量$10.0980671369431$。

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这里有一些圣人可以用来生成常量的代码。为了获得常数10，使用收敛的（10）.

定义迭代（x，y）：（A0，B0）=x（A1、B1）=ya=B1b=B0-A1c=-A0z=（-b+sqrt（b*b-4*a*c））/（2*a）A2=z*A1+A0B2=z*B1+B0返回（y，（A2，B2））定义收敛（x0，n=100）：x0=右（x0）A0=x0B0=1B1=（x0+sqrt（x0*x0+4））/2A1=x0*B1+1x=（A0、B0）y=（A1、B1）对于范围（n）内的i：x、 y=迭代（x，y）返回y

Answer 2

下面是对实际定义的一些分析。

假设原来的连分数是$[a；b，c，d，\ldots]$。前几个收敛点是$$a\四a+1/b\四a+1/（b+1/c）\四\ldot$$因此，收敛为系数的连分式等于$$a+1/（a+1/b+1/（a+1/（b+1/c）+\cdots））$$一般来说，我们预计美元1/b+1/（a+\cdot）<1$；这最终会发生。在这种情况下，我们可以将连续分数的第二个系数恢复为$a$。

现在我们讨论的是案例$[a；a，c，d，\ldots]$。替换上面的$b=a$，下一次迭代等于$$a+1/（a+1/a+1/（a+1/（a+1/c）+\cdots））$$让我们把它表示为一个积分连分数。去掉前两个系数后，剩下的是$$\frac{1}{1/a+1/（a+1/（a+1/c））}\approx\frac{1}{1/a+1/a}=a/2$$因此，通常下一个系数应为$\lfloor a/2\rfloor$。

现在，分析分为两种情况，无论$a$是偶数还是奇数。这样你可以得到$a_3，a_4$。由于$a_4$涉及到$6$的除法，我们知道有$6$个案例。等等。

为了证明这个过程几乎总是收敛于常数，我们需要更加小心，并证明上面的估计大多是正确的。也许人们可以得到原始连分式的一些条件，并从中推断出收敛发生在“大多数值”上，具有一些精确的意义。

这一分析也将有助于解释为什么你对小$n$有不同的行为。然而，我使用的启发式估计应该会给出“大$n$”的所有系数的值——大小取决于实际系数。

Answer 3

在Math2.org的“Phil”的帮助下，在http://math2.org/mb/thread/43656，我推测了₆（n） ●●●●。Daniel Forgues在https://oeis.org/wiki/Table_of_convergents_constants网站谢谢你的帮助！不过，我仍然需要更加努力地证明。