涉及二项式系数乘积的和

Question

我想知道是否可以计算包含二项式系数的以下总和$$\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2\binom{2k}{k{$$

Answer 1

让$$a_k=\binom{n}{k}^2\binom{2k}{k{$$然后，使用$k=\frac23n+j$，$$\开始{align}\log\left（\frac{a{k+1}}{ak}\right）&=2\log\left（2\frac{n-k}{k+1}\right）+\log\leaft（\frac{k+1/2}{k+1}\rift）\\&=2\log\left（\frac{\frac23n-2j}{\frag23n+j+1}\right）+\log\左（\frac{\frac23n+j+\frac12}{\frac 23n+j+1}\右）\\&=-\压裂{9j}n个+哦！\左（\frac1n\右）\\\结束{对齐}$$因此，$$a_k=\color{#C00000}{a_{\frac23n}}\，\color}#009000}{e^{-\frac{9j^2}{2n}+O\左（\fracjn\右）}}$$因此，我们可以使用斯特灵估计$a_｛\frac23n｝$，并使用黎曼和对指数求和，得到$$\开始{align}\和{k=0}^n\binom{n}{k}^2\binom{2k}{k{&=\color{#C00000}{\frac32\left（\frac3{2\pin}\right）^{3/2}9^n}\color}#009000}{\sqrt{n}\int_{-\infty}^\infty e^{-9x^2/2}\，\mathrm{d} x个}\left（1+O\！\ left（\frac1n\right）\ right）\\&=\bbox[5px，边框：2px实心#C0A000]{\frac{3\sqrt3}{4\pin}\，9^n\left（1+O\！\left（\frac1n\right）\right）}\结束{对齐}$$

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关于误差估计的注记

即使$O\！\指数中的left（\frac-jn\right）$通常会引入$O\！的错误！\left（\frac1{\sqrt{n}}\right）$，只有$-\frac{9j^2}{2n}$以外的项会导致$O\！\左（\frac1{\sqrt{n}}\right）$是$\fracjn$和$\frac{j^3}{n^2}$项，它们是奇数，因此在积分时会被取消。这会留下$O\！的错误！\左（frac1n\right）$与斯特林公式的误差相结合。

Answer 2

太长，无法发表评论。

如果你看看Brian M.Scott在他的评论中给出的$OEIS$链接，你应该会注意到Vaclav Kotesovec几年前提供的一个非常简单有趣的渐近式；$$a_n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2\binom{2k}{k{sim\frac{3^{2n+\frac{3}{2}}{4\pin}$$真正好的是，只要$n\geq25$，相对误差就小于$1$%，对于$n\geq 250$，它就小于$0.1$%。早点知道这件事对我会很有用。

由于我过去遇到过这个问题，我对范围$10\leqn \leq1000$进行了经验关联；$$\log（an）=2.19722n-0.995502\log（n）-0.906772$$，这是很好的推断。

扩展这个美丽的渐近性，我们应该得到$$\log（a_n）\sim 2.19722 n-\log$$

感谢您发布此问题。

编辑

后来（今天），我重新审视了我之前的经验相关性$$\log（a_n）=2.19722 n-0.999963 \log{n} -0.883315岁$$，所有系数都具有非常高的有效性（如下所示）。$$\开始{array}{clclclc}\text{}&\text{估计}&\text{标准错误}&\txt{置信区间}\\a&+2.197220&1.84\乘以10^{-9}&{+2.197220，+2.197220\}\\b&-0.999963&8.32\乘以10^{-7}&{-0.99964，-0.99961\}\\c&-0.883315&4.26乘以10^{-6}&{-0.883323，-0.883306\\d&-0.245931&4.06乘以10^{-5}&{-0.246010，-0.245851}\\\end{array}$$对于我的第一个旧相关性，剩余平方和是$78乘以10^{-5}$，而对于新相关性，它下降到$21乘以10^}-7}$。

请注意，对于其中三个系数，它们的值与渐近式中给出的值非常接近。

换句话说，我们可以将Vaclav Kotesovec的渐近性修改为

$$a_n\sim\frac{3^{2n+\frac{3}{2}}}{4\pin}e^{-\frac1{4n}}$$导致的相对误差在$n\geq6$时小于$0.1%，在$n\gerq16时小于$0.01$%$

更好的$$a_n\sim\frac{3^{2n+\frac{3}{2}}{4\pin} exp\left（{-\frac{17}{67n}}+\frac{1}{69n\log（n）}\right）$$导致的相对误差在$n\gt 4$时小于$0.1%，在$n\geq10$时小于$10.01$%。

更新

请注意，在一篇评论中，瓦茨拉夫·科特索维奇善意地提供了一个非常准确的公式$$a_n=\frac{3^{2n+\frac}{3}{2}}{4\pin}\phi（x）$$，其中$$\phin^4}+\压裂{59}{1024n^5}+\裂缝{77}{512n^6}+\地层{437}{1024n^7｝+\frac｛90847｝｛65536 n^8｝+\cdots$$Vaclav Kotesovec刚刚在$OEIS$添加了一个新序列（请参阅在这里).