$\lim_{n\to\infty}\left（\frac{\log（p_{n+1}）}{\log（p_n）}\right）^n=C$

Question

有一个与Firoozbakht猜想（参见OEIS A182514 Commments）相关的猜想（较弱），它声明（并定义$L_n$）：$$L_n:=\left（\frac{\log（p_{n+1}）}{\log（p_n）}\right）^n<e，$$其中$p_n$是$n$-th素数。

这意味着可能会有常数$C$，因为RHS是常数$n\to\infty$，LHS上的所有事物都会无限制地增加。那么，$C$是否存在，它的价值是什么？

虽然我知道$\lim_{n\to\infty}左边（\frac{\log（p_{n+1}）}{\log（p_n）}\right）=1$，而且很明显$\left（\frac{\ log（p _{n+1}）{\ log（p-n）}右边）>1$，但对我来说，这是一种力量，$n$，这是个曲线。

极限是否存在，如果存在，是数值$1、e$或其他什么介于$$\lim_{n\to\infty}L_n=C之间$$

Answer 1

基于我们相信素数是正确的，这个极限是不存在的；它的lim-inf是$1$，但lim-sup大于$1$，尽管可能是有限的。为了简单起见，我们将检查您表达式的对数，$$\log L_n=n\log\frac{\log p_{n+1}}{\logp_n}。$$

定义素数之间的规范化间隙：$g_n=（p_{n+1}-p_n）/（\log p_n）^2$，这样$p_{n+1}=p_n+g_n\log^2 p_n=p_n（1+（g_n\og^2 p-n）/p_n）$。然后使用$\log（1+x）=x+O（x^2）$当$x=O（1）$时，我们得到\开始{align*}n\log\frac{\log p_{n+1}}{\logp_n}&=n\log\frac{\logp p_n+\log（1+（g_n\log^2 p_n）/p_n）}{\log p_n}\\&=n\log\bigg（1+\frac{（g_n\log^2 p_n）/p_n+O（（g_n\ log^2 p_n）^2/p_n^2）}{\log p_n}\bigg.）\\&=n\bigg（\frac{g_n\log p_n}{p_n}+O\bigg。\结束{align*}根据素数定理，$n=p_n/\log p_n+O（p_n/\ log ^2 p_n）$，所以\开始{align*}n\log\frac{\log p_{n+1}}{\logp p_n}&=\bigg\\&=g_n+O\bigg（\frac{g_n}{\log p_n}\big）。\结束{align*}

如果大小为$x$的连续素数之间的间距为$o（\log^2x）$（目前我们无法反驳），那么$g_n$将是$o（1）$，因此$\logL_n$将趋向于$0$。当然，平均差距是$\log x$，因此必须出现$g_n\ll1/\log p_n$，并且$\logL_n$的lim-inf等于$0$。

如果大小为$x$的连续素数之间的间隙偶尔会大到$\Theta（\log^2x\log\logx）$（我们目前也无法证明这一点），那么$g_n$以及因此而产生的$\logL_n$在上面是无界的。

然而，我们认为$x$附近素数缺口的最大数量级是$\log^2x$。因此，我们认为$g_n$的lim-inf是正的和有限的，这与$\log L_n$是一样的。

$g_n$的实际lim-sup有点神秘，但有些人现在认为它的lim-sup=$2e^\gamma$，其中$\gamma$=欧拉常数。这意味着$\limsup L_n=e^{2e^\gamma}$，从而推翻了Firoozbakht的猜想。

Answer 2

一些额外的注释。

$L_n:=\left（\frac{\log（p_{n+1}）}{\log（p_n）}\right）^n<e$

$\frac{\log（p_{n+1}）}{\log（p_n）}<e^{1/n}，$both sides接近1。

$\frac{log（p_{n+1}）}{e^{1/n}\log（pn）}=\frac}e^{-1/n}\log（p_}n+1}）{log。