下面是一个解决根本问题的方法，同时我们等待专家加入。
带有端点标记的有根未标记树木的种类规范$$\mathcal{T}=\mathcali{U}\mathcal{Z}+\mathcal{Z}\mathfrak｛M｝_{\ge 1}（\mathcal{T}）$$
这给出了生成函数的函数方程$$T（z，u）=uz+z\左（-1+\exp\left（\sum_{l\ge1}\frac{T（z^l，u^l）}{l}\右）\右）$$另一种形式是$$T（z，u）=uz+z\左（-1+\prod_{l\ge 1}\exp\左（\frac{T（z^l，u^l）}{l}\右）\右）$$
这为系数$T_n提供了以下递归$我们有$T_1=u$和$n\ge 2$$$T_n=[z^{n-1}]\左（-1+\exp\left（\sum_{l\ge1}\frac{T（z^l，u^l）}{l}\right）\right（扩展\左））$$这些系数是以$u为单位的多项式$
首先观察一下，如果$$A（z，u）=\sum_{n\ge1}A_nz^n=\求和{l\ge1}\frac{T（z^l，u^l）}{l}$$然后$$A_n=\sum_{l|n}\frac{\left.T_{n/l}\right|_{u=u^l}}{l}$$
根据$A（z）$重新编写函数方程$$T（z，u）=uz+z（-1+exp A（z，u））$$并根据得到的$z$进行区分$$T'（z，u）=u-1+\exp A$$哪个是$$T'（z，u）=u-1+\frac{T（z，u）}{z}-u+1+（T（z，u）-uz+z）A'（z，u）$$或$$z T'（z，u）=T（z，u）+z（T（z、u）-uz+z）A'（z、u）$$
提取我们获得的系数$$n T_n=T_n+[z^{n-1}]（T（z，u）-uz+z）A'（z，u）\\=T_n+（1-u）[z^{n-2}]A'（z，u）+\和{k=0}^{n-2}T_{n-1-k}（k+1）A{k+1}\\=T_n+（1-u）（n-1）A_{n-1}+\和{k=0}^{n-2}（k+1）A{k+1}T_{n-1-k}$$
这为$T_n$和$n\ge 2$提供了重复$$T_n=（1-u）A_{n-1}+\裂缝{1}{n-1}\sum_{k=0}^{n-2}（k+1）A{k+1}T_{n-1-k}$$
注意，$A_n$是根据$T_n$递归定义为以上。
在多项式$T_n$中设置$u=1$将生成序列：$$1, 1, 2, 4, 9, 20, 48, 115, 286, 719, 1842, 4766, 12486, 32973,\\87811、235381、634847、1721159、4688676、12826228、$$这让我们想到OEIS A000081公司哪里我们知道我们确实有正确的价值观。
以下是开始的端点数量的最初几个分布树位于一个节点上：$$u美元\\u个\\{u} ^{2}+u\\{u} ^{3}+2\，{u}^{2}+u\\{u} ^{4}+3\，{u}^{3}+4\，{u}^{2}+u\\{u} ^{5}+4\，{u}^{4}+8\，{u}^{3}+6\，{u}^}2}+u\\{u} ^{6}+5\，{u}^{5}+14\，{u}^{4}+18\，{u}^{3}+9\，{u}^{2}+u$$
现在显然是端点数为偶数的树的计数由提供$$\frac｛1｝｛2｝\left（\left.T_n\right | _｛u=1｝+\左侧。T_n\right | _｛u=-1｝\right）$$对于奇数个端点$$\frac{1}{2}\左（\left.T_n\right|_{u=1}-\左侧。T_n\right|_{u=-1}\right）$$
这给出了偶数的以下计数序列端点：$$0, 0, 1, 2, 5, 10, 24, 57, 144, 360, 923, 2382, 6246, 16486, 43917,\\117692、317447、860574、2344396、6413119、\ldots$$对于奇数个端点$$1, 1, 1, 2, 4, 10, 24, 58, 142, 359, 919, 2384, 6240, 16487, 43894,\\117689、317400、860585、2344280、6413109$$
这两者的区别如下：$$ -1, -1, 0, 0, 1, 0, 0, -1, 2, 1, 4, -2, 6, -1, 23, 3, 47, -11, 116,\\ 10, 340, 13, 783, -14, 2181, 248, 5811, 321, 15026, 1335, 41660,\\ 4938, 111237, 11384, 301857, 39610, 831896, 112673, 2263974, 315069,\\ 6252982, 962897, 17280616, 2699066, 47760078, 7830950, 132931348,\\ 22759720, 369884919, 64726655, 1032244936, 187331836, 2889218776,\\ 537613196, 8093813288, 1540657359, 22732097026, 4436185030,\\6394560760612718488294\ldots（电话）$$因此，在有根的未标记树的情况下，似乎存在偏见接近偶数个端点。
以下Maple代码用于计算这些值。它包括可用于验证多项式的基本例程对于较小的$n$，例如$n\le 7$
带有（数字理论）；基本（_B）：=进程（n）选项记忆；局部gf，q，k，p，term；如果n=0，则返回0 fi；如果n=1，则返回u-fi；gf:=1；对于q到n-1 do对于k到q do术语：=加（（u^k*z^q）^m，m=0..层（（n-1）/q））；p：=系数（T_basic（q），u，k）；gf:=gf*术语^p；od；od；系数（gf，z=0，n-1）；结束；电话：=进程（n）选项记忆；局部k，s，A；如果n=0，则返回0 fi；如果n=1，则返回u-fi；A:=n->添加（subs（u=u^l，T（n/l））/l，除数（n）中的l）；s:=（1-u）*A（n-1）；s：=s+1/（n-1）*加（（k+1）*A（k+1”）*T（n-1-k），k=0..n-2）；扩展；结束；T_all：=n->子（u=1，T（n））；T_偶数：=n->1/2*（subs（u=1，T（n））+subs（u=-1，T（n））；T_奇数：=n->1/2*（subs（u=1，T（n））-subs（u=-1，T（n））；
该材料的灵感来自Harary和Palmer，图形枚举。
附录，2014年12月27日，星期六。我们可以用Maple’s验证上述结果combstruct包。它甚至会为你计算函数方程（单变量版本）。
下面的Maple代码最多可以处理12个$n$值。
带（combstruct）；玻璃纤维：=进程（n）选项记忆；当地树木、树叶；树：={T=并集（生产（Z，U）、生产（Z、集（T，1<=卡）），Z=原子，U=ε}；叶子：=proc（结构）如果类型（结构、函数），则return add（leaves（op（q，struct）），q=1..nops（struct，结构））；fi；如果struct=Z，则返回0fi；返回1；结束；在所有结构中添加（u^叶（t），t（[t，树]，大小=n））；结束；
这将为$11$节点上的树计算以下生成函数：$${u}^{10}+9，{u}^{9}+52，{u{8}+185+429，{u}^{4}+161，{u{3}+25，{uneneneep ^{2}+u$$这与重复周期中的值相匹配。
命令
seq（计数（[T，树]，大小=n），n=1..15）；
将产生此问题的一元生成函数的系数与上面显示的值。
