\文档类{article}%\输入{mssymb}\使用包{amssymb，latexsym}%\使用包{pb-diagram}\使用包{amsmath，amscd}\连字符{group-oid group-oids}%\font\mathfrak=eufm10缩放\magstep 2\newcommand{\pf}{\nindent{\bf-Proof.}\}\新命令{\del}{\partial}\新命令{\ad}{\mbox{ad}}\新命令{\Ad}{\mbox{Ad}}%\新命令{\qed}{\begin{flushright}$\Box$\\\\\%\结束｛flushright｝｝\新命令{\qed}{\begin{flushright}${\bf Q.E.D.}$\\\\\\结束{flushright}}\泊松张量的newcommand{\pten}{\Pi}%表示法\新命令{\inv}{^{-1}}\新命令{\cala}{{\cal A}}\新命令{\calf}{{\cal F}}\新命令{\calh}{{\cal H}}\新命令{\call}{{\call L}}\新命令{\calo}{{\cal O}}\新命令{\calp}{{\calp}}\新命令{\calt}{{\cal T}}\新命令{\calv}{{\cal V}}\新命令｛\bolda｝｛\bf A｝｝\新命令{\boldm}{{\bf M}}\新命令{\boldp}{{\bf P}}\新命令{\boldw}{{\bf W}}\新命令{\defequal}{\stackrel{\mbox{\tiny{def}}}{=}}\新命令{\cinf}{C^{\infty}}\新命令{\reals}{\mathbb R}\新命令{\frakg}{\mathfrak g}\新命令{\frakh}{\mathfrak h}\新命令{\frakl}{\mathfrak l}\定义\starh{\star_{\hbar}}\新定理{thm}{定理}[段]\新定理｛prop｝〔thm〕｛命题｝\新定理{引理}[thm]{引词}\新定理{cor}[thm]{推论}\新定理{dfn}[thm]{定义}\新定理{公理}[thm]{公理学}\新定理{conf}[thm]{猜想}\新定理{rmk}[thm]{备注}\新定理{ex}[thm]{Example}\新定理{问题}[thm]{问题{\新定理{problem}[thm]{problem}\title{{\bf切向变形量化和极化辛群胚}}\作者{Alan Weinstein \\数学系\\加利福尼亚大学\\美国加利福尼亚州伯克利市，邮编：94720\电邮{alanw@math.berkeley.edu}\谢谢{研究部分由NSF拨款DMS-96-25122支持。}}\日期{初稿于1996年8月20日完成。出现最终版本as\\Weinstein，A.，切向变形量化和极化辛群胚，{em变形理论和辛几何}，S.Gutt、J.Rawnsley和D.Sternheimer编辑，{\em数学物理研究}{\bf 20}，多德雷赫特Kluwer，1997，301-314.}\开始{文档}\制作标题\开始｛摘要｝我们推导了Cahen-Gutt-Rowsley定理的几何类比Asin Lares关于Lie对偶的形变量子化与共伴随轨道兼容的代数。\结束{抽象}\目录\章节{引言}泛包络之间的对称同构可以使用代数$U（\frakg）$和对称代数$S（\frakg）$\引用{be:remarks}生成“标准”变形量化\Lie-Poisson引用{bffls:deformation}李代数的对偶$\frakg^*$上的结构。自$\frakg^*$的辛叶是共伴轨道，它是很想知道是否有变形量化$\frakg^*$限制给出轨道的变形量化。Cahen、Gutt和Rawnsley最近的工作表明任何变形量子化的存在与共伴随轨道相容的双微分算子分解意味着$\frakg$必须满足非常强的例如，排除所有半单李的代数条件代数。此外，Asin Lares\cite{as:切线}表明$\frakg^*$的{\em标准}变形量化限制为给定的伴随轨道$\calo$当且仅当伴随各向同性$\calo$中任何$\mu$的子代数$\frakg{\mu}$都是$\frakg$。Cahen-Gutt-Rawsley（CGR）和Asin Lares的证明非常计算且不提供定理的假设和结论。本注释的目的是通过使用通过辛群胚进行量化的思想。虽然我们的结果还没有（现在？）导致对关于形变量子化的定理，它们还有其他的价值。我们在变形之间建立了另一个强有力的类比辛群胚的量子化和量子化，加到引用{we:非对易}中的证据证明这两种量化。事实上，我们现在建议致电辛群胚的量子化几何变形量化}，可能与``几何量化“完全是我们有意的，因为我们应在下面进行解释。本文的主要思想是引入一个名为{\bf的结构严格几何变形量子化}，并证明（定理\ref{thm:asin}和下面的\ref{thm:cgr}）Asin Lares和CGR定理的精确结论适用于代数变形量子化被它们的几何相似物所取代。在CGR案例中，我们的结论更加有力，我们的工作建议对CGR结果进行以下可能的锐化，以及一条可能的途径，以获得更具概念性的证明。\开始{conf}\标签{conf:cgr}$\frakg^*$允许通过双微分进行变形量化与共伴轨道分解相容的算子只有在$G$中的恒等式，其中向量上的诱导连接bundle$T^*G$与分解为左侧（或右）共伴轨道的平移。\结束{conf}这当然不是第一个无平面扭转的情况变形量化理论（例如Moyal和Fedosov类型的量化），但它们在这里出现至少从表面上看，情况似乎完全不同。我们以两个问题结束介绍。1.已知当$\frakg$为紧型半单形，存在{em}代数变形与兼容的$\frakg^*$上多项式的量化共同点轨道分解。定义此的运算符量化是{emnot}双微分的。我们还注意到已由Flato和Fronsdal提出并于年报告\引用{st:phase}表示$\frakg^*$可能包含非二微分，可能是{\em伪}-微分算子。我们的几何图形中有什么东西吗变形量子化的概念，对应于双微分？2.哪一个李代数允许中描述的类型的连接猜想\ref{conf:cgr}？\noindent｛\bf鸣谢｝~~我很兴奋地做了中描述的工作本文由西蒙·古特（Simone Gutt）和桑托斯·阿辛·拉雷斯（Santos Asin Lares）在CIMPA量化夏令营，尼斯，1996年7月与Gutt、Asin Lares、Michel Cahen和John Rawnsley的对话在变形理论和数学会议上《物理学》，阿斯科纳，1996年6月。我想赞助商和这两次会议的组织者工作氛围。\截面{几何变形量化}\标签{sec:几何}流形$P$的余切丛$T^*P$是一个“几何模型”对于$P$上的函数空间（或半密度）。在这个模型中，函数的乘法表示为纤维中添加了$T^*P$。（例如，乘法指数函数的频率。）独立地，卡拉塞夫引用了{ka:类似物}，Zakrzewski引用{za:quantum}，作者引用{co-da-we:群拟}\引用{we:非对易}已经形成了一个几何图形代数变形量子化模型，其中$T^*P$及其fibrewase加法运算被一般辛运算取代基为$P$的群胚。这样的辛群胚决定了$P$上的泊松结构，就像代数变形一样量化就是这样。尽管还不清楚如何传回在这些之间来回移动几何对象和代数变形量化，我们可以单独考虑他们，因为他们自己也有相当丰富的结构。对于精度，我们做出以下定义。第一个定义对应于我们有一个变形$\cinf（P）$的结合代数的单参数族，但其中代数不一定与向量空间同构$\cinf（P）$。我们将在下面的\ref{sec:explosion}部分中看到如何变形参数出现。\开始{dfn}泊松流形$P的{\bf几何形变量子化}$是$P$上的辛群胚$\Gamma$。\结束{dfn}下一个定义对应于我们已经确定的情况以$\cinf（P）$为向量空间的所有变形代数。\开始{dfn}泊松的{\bf严格几何变形量子化}流形$P$是$P$上的辛群胚$\Gamma$与从$\Gamma$到余切丛$T^*P的辛同构$它将标识部分映射到零部分，并且将$\Gamma$中的反转与$T^*P$中的$-1$相乘。\结束{dfn}我们称两个流形{\bf全局横向}为横向且在一个点上相交。以下建议是定理7.1在{we:辛}中的简单全球化。我们省略证据。\开始{prop}严格几何之间存在一对一的对应关系变形量子化和几何对形变量子化$\Gamma$和辛的实极化具有完备的流形$\Gamma$（在自然平坦仿射连接中）简单连接的叶子，每个叶子都是全局横向的到零截面，并且在反演下是不变的。\结束{prop}出于某些目的，局部量化是足够了。\开始{dfn}泊松流形的{\bf[strict]局部几何形变量子化}$P$是$P$[上的局部辛群横向于同一截面的极化]。\结束{dfn}任何情况下都存在严格的局部几何变形量化泊松流形。没有严格的条件，它是独一无二的同构，但通常有许多方式极化可能与类群结构有关。还不清楚这些事实是如何与代数变形量化。\章节{歧管爆炸}\标签{sec:爆炸}为了了解上面定义的对象是如何真正变形的，我们引入“流形爆炸”的概念。（本术语是在\cite{we:blowing}中引入，但这个想法已经出现在Gerstenhaber在1966年的一篇论文中引用了代数形式{ge:deformation}。（请参见\引用{we:blowing}作为其他参考。）\开始｛dfn｝沿可微流形$X$的{\bf爆炸}$E（X，Y）$子流形$Y$作为集合是乘积$X\次\将切片$X\times\{0\}$替换为的reals$正常束$N（X，Y）=T_Y X/TY$。精确定义$E（X，Y）$上的可微结构在\cite{we:blowing}中给出。\结束{dfn}如果$（y，z）$是$X$上的局部坐标，$y$由$z=0$定义，然后有一组相应的局部坐标$E（X，y）$上的$（y，z'，\epsilon）$，其中$\epsillon$是投影到$\reals$。在$\epsilon\neq 0$的集合上从$E（X，Y）$到$X$的投影在这些坐标中由下式给出$（y，z'，\epsilon）\mapsto（y，\epsilon z）$。由此可见投影延伸到$\epsilon=0$到平滑映射$p:E（X，Y）\到X$当我们通过束投影将$N（X，Y）$映射到$Y\子集X$时。如果$X$带有辛结构$\omega$，我们可以拉$\omega$通过投影$p$返回到$E（X，Y）$上的闭合2表格。我们将这种拉回视为纤维上的2种形式投影$\epsilon$。我们用$p^{-1}\omega$表示这个族。如果$Y$是$X$的各向同性子流形，则商$p^{-1}\omega/\epsilon$仍然是一个光滑的封闭形式家族。在特别地，如果$Y$是$X$的拉格朗日子流形，则通过使用$X$上的局部Darboux坐标，我们可以看到这些坐标被调整为$Y$$p^{-1}\omega/\epsilon$在$\epsilon$，并且叶$\epsilon=0上的辛结构$正是正常束的通常标识给出的拉格朗日子流形及其余切丛。收件人总结：\开始{prop}如果$Y$是辛流形$（X，\omega）$的拉格朗日子流形，则分解流形$E（X，Y）$是辛的光滑族从带有该形式的乘积$X\times\reals$中获得的流形通过替换$X\times\{\epsilon\}$上的用余切包$T^*Y$对$X\times\{0\}$进行切片典范辛结构。\脚注{读者可能想将此结果与\cite{we:blowing}中的结论5.3进行比较，其中流形沿着勒让德子流形爆炸，结果是一个泊松流形，其中开稠密子集$\epsilon\neq0$是单个辛叶。}\结束{prop}我们最感兴趣的情况是，$X$是一个局部）泊松流形$P$和$Y$的几何变形量化是标识部分。在本例中，切片$\epsilon=0$In$E（X，Y）$只是$T^*P$及其正则辛结构。现在假设变形是严格的。通过选择$X上的Darboux坐标$（y，z）$$其中$Y$由$z=0$和偏振叶定义由$y=\mbox{constant}$定义，我们得到一系列极化在$E（X，Y）$的辛叶上$\epsilon=0$只是余切纤维的极化捆绑。我们继续讨论爆炸对其他方面的影响几何结构。如果$Y$是$X$叶的叶子，那么$\epsilon\neq 0$的光纤延伸超过$\epsion=0$，以提供所有$E（X，Y）$上的叶理。（通过使用坐标$（y，z）$，其中叶理由$z=\mbox{常量}$。）切片上诱导叶理的叶子$\epsilon=0=N（X，Y）$是平面线性的平行截面正常束与叶之间的（“Bott”）连接。当$X$辛和叶理是极化的，那么诱导$T^*Y$上的叶理是拉格朗日的，因此连接不仅是平面的但也没有扭转。这是叶子上的平面仿射结构利伯曼发现的极化现象\引用{we:辛}）。最后，我们研究$X上的李群群结构何时发生$当我们沿着它的标识部分$Y$爆炸时。最简单的情况看看$X$是一个组。这里，$N（X，Y）$是谎言代数，$E（X，Y）$是李群的光滑单参数族，$\epsilon=0$的组结构是加法。对于一般李广群，它来自于我们对叶理的讨论横向到$Y$，$X${\em的源叶理和目标叶理两者都限制在$N（X，Y）$中纤维的叶理化，然后它是显而易见，群胚乘法的极限是加法在这些纤维中。换句话说，$E（X，Y）$是$Y$上的同构于$X$的群胚，对于$\epsilon\neq0$，对于$\epsilon=0$到向量束$N（X，Y）$，这就是Lie$X$的代数体。它也可以被视为上的单个广群$X\次\实$。这里有两种特殊情况值得注意。首先，如果$X=Y\乘以Y$是对群胚，然后$N（X，Y）$是切线束$TY$和$E（X，Y）$被称为美元Y$。我们引用{co:非对易}来讨论这个群在指数理论中起着核心作用。对于我们的第二个例子，我们假设$X$是泊松流形$Y$。在这种情况下，$E（X，Y）$变为1参数$Y$上辛群胚族（或单个Poisson群胚超过$Y\times\reals$），其中超过$\epsilon\neq 0$的光纤与$X$同构为群胚，但具有辛结构乘以$1/\epsilon$，而$\epsilen=0$上的光纤是向量丛$T^*Y$及其正则辛结构。如果$X$严格为$Y$的几何变形量化$X$上偏振的$T^*Y$极限总是偏振通过余切束的纤维。正是在这种意义上，我们几何变形量化实际上是变形。\截面{从几何变形到代数变形}在本节中，我们将审查申请（参见\引用{we：非对易}的观点构造的几何量化和微局部分析辛群胚的非交换代数。在下一个第节，我们将应用这些思想来获得可以施加在代数上的某些条件变形。我们通过使用基本的“字典”（例如，请参见\引用{ba-we:讲座}）连接辛几何和线性代数（或分析）：因此辛流形$X$应该与复数向量空间“对应”$V（X）$，而$X$``的拉格朗日子流形$L$对应于$V（X）$的元素。取辛流形的乘积生成其向量空间的张量积，并将辛结构由-1表示（我们表示得到的辛流形由$\上划线{X}$）生成对偶向量空间。A类拉格朗日子流形$R$of$\overline{X}\times Y$（称为正则从$X$到$Y$）的关系则对应于来自的线性映射$V（R）$$V（X）$至$V（Y）$。量化应该是功能性的，即典型关系的构成应转到构成对应的线性映射。继续我们假设的论证模式，我们注意到辛群胚$X$中的乘法是典型关系从$X\times X$到$X$，因此它对应于双线性$V（X）$上的乘法，其结合性遵循如果量化是函数的，则为广群。的标识部分$Y$$X$对应于代数$V（X）$的单位元素，并且$X$中的反自同构。如果我们构建沿$Y$爆炸$X$的$E（X，Y）$，我们得到一个单参数变形从量子化开始的单位对合代数$T^*Y$，它只是带逐点乘法的$\cinf（Y）$，单位元素1和复合共轭。为了从假设转变为更具建设性的模式，我们介绍了几何量子化和微观局部分析的思想。根据几何量化，为辛流形$X$引入一个复杂的线丛$F$曲率为$X$上辛形式的连接，然后取平行于选择极化。收件人量化$X$中的拉格朗日子流形$L$，首先应该提升$L$到$F$的平行部分$s$（当$L$满足量化条件），然后取$F的平行部分$与$s$和$L$一致。当然，这个过程是可行的只有当$L$全局横向于极化，或者更普遍地说，当$L$相交时具有恒定秩的极化的叶子，在这种情况下$L$量化的支持应该是一组叶子与$L$相交。拉格朗日子流形的量子化可以进行得更多在极化为通过简单连接且完整的流形进行纤维化关于它们的平面仿射连接。如果我们假设全局的“基”拉格朗日子流形$Y$的存在性横向于极化的每一片叶子，然后$X$与具有极化的$Y$的余切束同构通过纤维。在这种情况下，$T^*Y$的拉格朗日子流形可以是量化为$Y$上的渐近分布，即分布取决于参数$\epsilon$。（参见{ba-we:讲座}或，有关更多详细信息，请参阅\引用{gu-st:geometry}。）这样的渐近支持分布（即，当$\epsilon\rightarrow 0$）包含在$L的投影中$到$Y$。当$X$是辛群胚时，只应用构造乘法图的描述导致渐近分布在$Y\次Y\次Ye$上，它是$\cinf（Y）$上乘法的Schwartz核。我们讨论这个下一节将进一步介绍。\部分{与子流形兼容的变形}在本节中，我们将定义和分析几何变形量化，类似于基本流形子集的代数变形。我们从一些代数和启发式参数开始将引导我们获得精确的几何条件。如果在空间$\cinf（P）上有一个结合乘法$*$$（我们可以将其视为逐点乘法的变形，虽然这不是必需的），但它产生的条件闭子集上函数乘法的限制$M\subet P$是$P$上的一组函数，这些函数在$P上消失$是由$*$决定的代数中的双边理想。如果$*_{\epsilon}$依赖于参数$\epsilon$，那么我们应该对所有$\epsilon$施加此条件，或随后的条件关于的系数如果变形是形式的，$\epsilon$的所有幂。当条件满足时，我们会说变形是{\bf与}$M$兼容。现在假设我们有一个（可能是局部的）严格的几何变形泊松流形$P$的量化$\Gamma$，并用$\Gamma$中单位元的拉格朗日子流形。我们将用$\pi$表示从$\Gamma$到$P$沿叶的投影极化。$\Gamma中群胚乘法典型关系的量化$在$\cinf（P）$上生成一个乘积运算，该运算由$P上$K（u'，u'，u）~du'~du''$形式的核分布；即$P$上两个函数$f$和$g$的新乘法为由整数$$（f*g）（u）=\int_{P\乘以P}给出f（u'）g（u''）K（u'，u''，u）~du'~du'.$$$K$的渐近支持是包含在一组三元组中$$（\pi（\gamma'），\pi$（\gamma'，\gamma''）$以$\gamma\次覆盖所有可合成对\伽马射线$。除非量化中有特殊抵消构造时，渐近支持实际上等于集合；我们将把这个条件作为一个工作假设。\开始{引理}设$M$是$P$的闭子集。如果函数集在$M$上消失是关于乘法的理想$*$由内核$K$定义，则如果$（u'，u''，u）$支持$K$和$u$以$M$为单位，$u'$和$u''$也必须是在里面百万美元。\结束{引理}\功率因数假设有三个$（u'，u'，u）$支持$K$它不满足引理的条件。然后我们可以找到bump函数$f$和$g$分别在$u'$和$u''$附近受支持使得$（f*g）（u）$不为零。\qed（质量工程师）以上结果为以下内容提供了启发性的理由定义。\开始{dfn}\标签{dfn:兼容}设$\Gamma$是泊松流形$P$，并让$M$是$P$的子集。让$\pi:\Gamma\到P$是沿着叶子的投影极化我们说变形{\bf兼容}$M$可组合广群元素$\gamma'$和$\garma''$，M$中的$\pi（\gamma'\gamma'）意味着M$中$\π（\gamma'）$\pi（\gamma“）\单位：M$。\结束{dfn}注意，前面的$M$上的兼容性条件定义实际上只是的子集$\pi\inv（M）$上的一个条件groupoid$\Gamma$，即产品位于$\pi\inv（M）$if和只有当它的两个因素都满足时。我们将这种子集称为广群{\bf饱和}。（相当于集合的补码在乘法运算中被吸收。）事实证明，饱和子集有一个简单的特征描述。我们回顾了一些术语。让$\Gamma$成为群胚源和目标超过$P$映射$\beta$和$\alpha$，使得产品$\gamma'\gamma''$每当$\beta（\gamma'）=\alpha（\garma'）$时定义。两个元素如果$\Gamma$的某些元素将其作为它的来源和目标。这确实是一个等价关系，并且等价类称为$P$中$\Gamma$的{\bf轨道}。像往常一样，我们用一组标识来标识$P$$\Gamma$中的元素，因此$\alpha$和$\beta$是缩回。\开始{prop}\标签{prop:兼容}让$\Gamma$是$P$上具有源映射和目标映射的群胚$\beta$和$\alpha$。A类$\Gamma$的子集$C$饱和，如果并且只有当它的形式为$\alpha\inv（U）$时，其中$U$是轨道在$P$中（在这种情况下，$C=\beta\inv（U）$）。\结束{prop}\功率因数设$C=\alpha\inv（U）=\beta\inv轨道以$P$为单位。如果$\gamma'\gamma''以C$表示，则$\alpha（\gamma'）=\alpha（\gama'\gamma''）$和$\beta（\gamma“”）=\beta。这意味着$\gamma“$和$\garma”$属于$C$，因此$C$必须是饱和。相反，假设$C$已饱和。对于C$中的任意$\gamma\，标识$\alpha（\gamma）\gamma=\gamma=\gamma\beta（\gamma）$意味着$C$在源和目标映射。让$U$成为$C$的图像映射，它还必须等于$C$与$P$的交集。现在恒等式$\alpha（\gamma）=\gamma\gamma\nv$和$\beta（\gama）=\gamma\inv\gamma$表示$C$包含在中，因此等于，$\alpha\inv（U）$和$\beta\inv。最后，事实是$C=\alpha\inv（U）$为在$\beta$下关闭意味着$U$是轨道的并集。\qed（质量工程师）以下推论紧跟定义\ref{dfn:compatible}、Proposition\ref{prop:compative}和事实与极化相关联的映射$\pi$是收回。\开始{cor}\标签{cor:兼容}的（可能是局部的）严格几何变形量化泊松流形$P$与$P$的子集$M$兼容，如果和仅当$M$是$P$和$\pi\inv（M）=\alpha\inv。\结束{cor}\无音（noindent）{\bf备注}如果$\Gamma$是$\alpha$连接的，则$P$中的轨道为只有辛叶。因此，$M$必须是辛的并集树叶。辛叶的$\alpha$下的逆图像为共同性；因此，$C=\alpha\inv（M）=\beta\inv也是（M） 美元。因为，对于$M$中的$u$，$\pi\inv（u）$是拉格朗日函数包含在coistropic子流形$C$中，$\pi\inv（u）$必须包含$C的特征子流形$它经过$u$。如果$C$是单个轨道特征子流形就是$u$的各向同性子群$\Gamma_u$。\大跳跃为了结束这一节，我们考虑以下情况：变形量化是与泊松流形$P$分解为辛叶，即量化与每个叶兼容分开。通过与代数情况类比，我们将这样量化{\bf切向}。为了简单起见，我们假设$\Gamma$是$\alpha$连接，因此叶子是$\Gamma$的轨道。这个$\alpha$或$\beta$下叶子的反转图像形成将$\Gamma$分解为共同性子群，我们称之为群胚$\Gamma$的{\bf基本分解}。\开始{cor}\标签{cor:分解}的（可能是局部的）严格变形量化$\Gamma$泊松流形$P$是相切的当且仅当$\Gamma$是基本分解的细化。\结束{cor}\第{Lie-Poisson案件}节现在，我们将把前一种情况的结果应用于$P=\frakg^*$是李群$G$，以获得定理的几何类比Asin Lares和Cahen-Gutt-Rownsley关于代数变形的讨论与共伴轨道相容的量子化。余切束$\Gamma=T^*G$是基本的辛几何变形量子化$\frakg^*$的流形，带有源映射和目标映射位于左侧的广群结构并右平移到组的余切空间$T_e^*G$恒等式，这个余切空间是恒等式的流形$\Gamma$。（参见{co-da-we:groupoides}或引文{va:讲座}中的说明。）当然，余切束通过其纤维，但这并不构成严格的几何变形量化，因为叶子不横向于广群身份流形。事实上，当几何量化的方法应用于此极化，得到的代数为群$G$上密度的卷积代数$A（G）$。这似乎是别列津最初的想法群卷积代数应该与$\frakg^*$上的函数由两个操作组成。第一个这些操作中有$\exp^*$，由的指数映射回调$G$，第二个是上密度的傅里叶变换李代数$\frakg$到$\frakg ^*$上的函数。Berezin表示这个对应关系适用于$A（G）的子代数$由$e$支持的分布密度组成，生成标准``万能包络的对称化识别代数$U（\frakg）$和对称代数$S（\frakg$）$$\frakg^*$上的多项式函数。他表达了施瓦茨内核$\frakg^*$上的新乘法Campbell-Hausdorff将$\frakg\times\frakg\映射到\frakg$，然后他观察到$U（\frakg）$中的换向器是$\frakg^*$上的Lie-Poisson括号。（未显示变形参数在别列津的作品中。）对称化后来Gutt\cite{gu:explicit}显示了通信，以给出一个正式的代数变形量化，而里菲尔用傅里叶变换图表明，其中一个$C^*$-代数意义下的严格变形量子化。它在几何量化中是众所周知的（例如，请参见\引用{wo:几何}）表示函数之间的傅里叶变换（或密度），并表示其对偶$V^*$几何上通过从``辛流形的水平“”和“垂直”极化$V\乘以V^*$。这个引导我们进行以下建设。按指数计算映射（必要时限制为$0$in的开放邻域$\frakg$是嵌入的，尽管我们很少提及从现在起明确限制），我们将$T^*G$与$T^*\frakg$，因此使用$\frakg\times\frakg^*$。后者辛空间具有“水平”极化，其叶子为全局横向到$\{0\}\times\frakg^*$。根据我们的指数识别，这给出了$T^*G$的极化，其叶子是全局横向于$T_e^*G$，我们称之为{\bf指数极化}。具有这种极化的辛群胚$T^*G$构成（可能是局部）严格的几何变形$\frakg^*$的量化可以称为{\bf指数量化}。我们对Asin Lares代数定理的理解\引用{as:切线}现在如下。\开始{thm}\标签{thm:asin}设$\calo$是$\frakg^*$中的伴随轨道。然后是以下内容三个条件是等价的：（i）指数量化与$\colo$兼容；（ii）$\calo$是平的——即是$\frakg^*$；的仿射子空间的开放子集；（iii）任何$u\in\calo$的各向同性代数$\frakg_u$都是$\frakg中的理想。\结束{thm}\功率因数我们首先证明（ii）和（iii）的等价性，接近幂零情形的一个，可以在\引用{co-gr:representations}。（见本书中的定理3.2.3，其中也表明了平轨道在表征理论。）回想一下点$u$处的共同点轨道$\calo$与各向同性代数中的零化子。这个轨道是平的当且仅当其切线空间平行于一个时另一个是当各向同性与$u$无关时的情况。各向同性$\calo$点的子群是$u$点的共轭子群，所以当各向同性时，各向同性子代数都是相同的子群是正常的，即当$\frakg_u$是理想值时。证明的其余部分将基于李群的指数映射：$$T_a\exp=T_{e}\ell_{exp a}\circ\frac{1-e^{\ad_a}}{\ad_a}$$根据Duistermaat的建议，我们更喜欢在积分形式$$T_a\exp=T_{e}\ell_{exp a}\circ\int_0^1 e^{-s\ad_a}~ds$$在这两个公式中，$\ell_g$表示组元素$g$。我们将使用此公式计算映射$\pi:T^*G\to \frakg^*$与指数极化相关，使用$T^*G$和$G\times\frakg^*$由左翻译给出。低于此标识、$G的映射$\alpha$和$\beta$\frakg^*$到$\ frakg^*$由提供$G\times\frakg^*$的预测和协同作用分别是。对于g$中的$g=\exp a\和$\mu\ in\frakg^*$，我们有\开始{eqnarray}\pi（g，\mu）&=&（T_g\ell_g^{-1}）^*\mu\circ T_a\exp\n数字\\&=&\mu\circ\T_g\ell_g^｛-1｝\circ T_e\ell_g\circ\int_0^1 e^{-s\ad_a}~ds\n数字\\&=&\mu\circ\int_0^1\Ad_{\exp（-sa）}~ds\n数字\\&=&\int_0^1\Ad^*_{\exp（-sa）}\mu~ds。\结束{eqnarray}假设现在轨道$\calo$是平的，并且假设$（g，\mu）\in\alpha^{-1}（\calo）$，即$\mu\in\calo$。对于$g$接近$e$，$\pi（g，\mu）$是$\calo$近元素的凸组合$\mu$，因此必须属于平坦轨道$\calo$；所以我们有显示了$\alpha^{-1}（\calo）\subseteq\pi^{-1{（\calo）$。自$\alpha^{-1}（\calo）$和$\pi^{-1{（\calo）$是相同的流形维度，两者都包含$\calo$，在$\calo$附近必须相等，即接近$G$的单位，因此量化与$\calo$（美元）。相反，假设量化与$\calo$兼容。暂时修复$\mu\in\calo$并考虑地图$\phi:g\mapsto\pi（g，\mu）$。由于$（g，\mu）=\in\alpha^{1}（\calo）$，由兼容性我们有$（g，\mu）\in\pi^{-1}（\calo）$，所以$\phi（g，mu）$是$\calo$的元素，它也位于$\calo的凸包中。打开另一方面，很容易检查（注意$\pi（\expa，\mu）$是一个从$\mu$到$\Ad^*_{\exp（-a）}\mu$的路径上的平均点$T_e\phi:\frakg\to\frakg^*$是地图$b\mapsto-\frac{1}{2}\Ad^*_b\mu$，其图像为$T_{mu}\calo$。因此，$\phi$映射了一个邻居以$G$表示的$e$到以$\calo$表示的$\mu$的邻域。由此可见$\mu$在$\mu$s附近是局部凸的，因为$\mu$$是任意的，$\calo$必须是平的。\qed（质量工程师）现在我们来看一下卡亨·格特·罗姆斯利的定理\引用{ca-gu-ra:切线}。我们的几何版本是推论\下面的参考{cor:cgr}，它将遵循更一般的定理接下来是猜测的灵感\参考{conf:cgr}。\开始{thm}\标签{thm:cgr}$\fragg^*$允许局部切向严格几何变形量化当且仅当相应的Lie群$G$承认平坦的无扭仿射$T^*G$上的关联连接兼容的连接通过分解为余伴轨道的左（或右）平移。\结束{thm}\功率因数$\frakg^*$的任何辛广群都是$T^*G$中的标识部分。根据推论\ref{cor:decomposition}切向严格变形量子化的偏振是基本分解的细化由余伴轨道的左平移或右平移给出。在特别地，$T^*G$的零部分对应于共同点环绕$\{0\}$，所以它一定是一片偏振的叶子。如果我们现在将$T^*G$围绕此叶展开，如Section中所示\参考{sec:geometry}，我们得到了一个平面无扭仿射连接在$G$中标识的邻域上，关联$T^*G$上的连接是对基本分解的分解版本。但是自从$T^*G$上常数的乘法留下了基本值分解不变量，分解与原来的那个。因此，我们有一个中描述的类型的连接定理的陈述。对于相反的情况，我们只需取给定的连接作为基本群胚的极化。\qed（质量工程师）以下推论的结论正是引用{ca-gu-ra:切向}中的主要定理。\开始{cor}\标签{cor:cgr}如果$\frakg^*$允许局部切向严格几何变形量化，如果$B$是$\ad^*$不变双线性形式在$\frakg^*$上，然后是相关线性映射的图像$\tilde{B}:\frakg^*\to\frakg$是中的两步幂零理想$\frakg$。\结束{cor}\pf$\tilde{B}（\frakg）$是一个理想的事实只是一个$\ad^*$的结果-不变性，与无关量化。（我们在下面给出一个证明。）为了证明它是两步的幂零，我们从$B$是非退化的情况开始。这个通过左右翻译将$B$的$\上一行{B}$拉回$T^*G$是双变伪黎曼度量的动能函数$G$美元。由于$B$是不变的，它在共伴轨道上是恒定的；因此$\上划线{B}$在基本分解。由于定理中产生了联系\ref{thm:cgr}保留基本分解不变，它保留$\上划线{B}$不变。由于没有扭转，它必须是此度量的Levi-Civita连接。但我们也知道连接是平的。现在有一个简单的黎曼公式李群上双变度量的曲率。（参见示例\引用{mi:morse}，第113页；度量的正定性没有必要。）$$R（X，Y）Z=\压裂{1}{4}[[X，Y]，Z]$$对于左不变向量字段$X$、$Y$和$Z$。$R$的消失意味着所有三个括号都为零，即只是$\frakg$是两步幂零的条件。在非退化情况下，$\frakg=\tilde{B}（\frakg^*）$，以及我们的证明已完成。对于一般情况，我们首先注意到，因为$\tilde{B}$是$\mbox{ad}^*$不变的，它的内核也是$\frakh=\tilde{B}（\frakg）$的一个斜线。由此可见$\frakh$是ad-invariant，因此是一个理想的。自连接保留$\上划线{B}$，它必须保留左边的与右图相同）翻译为$\frakh$，因此相应的子群$H\子集G$是完全测地线。下面是连接限制为平面、无扭转公制$H$上的连接，如上所述，$\frakh$是二阶幂零。\qed（质量工程师）\开始{书目}{00}\bibitem{ar-ca-gu:变形}Arnal，D.、Cahen，M.和Gutt，S.，共伴轨道上的形变，地理物理学杂志（1986），327-351。\bibitem{as：切向}Asin 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