\文档类[11pt]{文章}\使用包{amssymb}\使用包{latexsym}%\输入amssym.def%\输入amssym\更新命令{\baselinestretch}{1.05}\新定理{thm}{定理}[section]\新定理{prop}[thm]{命题}\新定理{引理}[thm]{引言}\新定理{cor}[thm]{推论}\新定理{dfn}[thm]{定义}\新命令{\alg}{{\cal A}}\newcommand{\dive}{\mbox{div}}\新命令{\del}{\partial}\newcommand{\backl}{\mathbin{\vrule宽度1.5ex高度.4pt\vrule高度1.5ex}}\newcommand{\bolde}{{\bf e}}\newcommand{\reals}{{\Bbb R}}\title{{\bf模自同构泊松流形群献给a.Lichnerowicz教授Weinstein\thanks{研究部分由NSF拨款支持DMS-93-09653.}数学系美国加利福尼亚州伯克利市，邮编94720\\{\小(alanw@math.berkeley.edu公司)}}\开始{document}\maketitle\节{引言}\label{sec-intro}模自同构von Neumann代数的群$a$是$A$的自同构，其模内自同构是规范的与$A$关联。因为泊松流形可以看作``算子代数的半经典极限它们是否也有模自同构群。这篇论文将因此，用康奈斯的话来说\引用{co:非对易}，泊松流形就像冯·诺依曼代数，本质上是{em-dynamic}对象。模向量场的研究似乎会给出一些冯·诺依曼模自同构的几何透视代数，也是泊松几何中的一个有用工具。von Neumann代数的模理论量子力学中KMS理论的起源及其密切相关Tomita-Takesaki理论。在这些理论中自同构与一个正线性泛函有关。这个1-参数群的独立模内自同构是Connes的非对易Radon-Nikodym定理的内容是被他广泛利用来进行III型分类因素。我们引用{co:非对易}来讨论这本材料，有一个广泛的参考列表。多年来，我一直有兴趣了解模理论的经典极限，由两个来源激发。这个首先是KMS理论和辛几何的相似性出现在雷诺的全书中辛理论发展的主要动力群胚）。第二个是利奇内罗维奇和他的作品合作者如引文{ba-fl-li-st:变形}所述。在最近与迪米特里的讨论中，这种兴趣重新燃起Shlyaktenko，他提请我注意报纸\引用{ri-va:bounded}试图解释其中的一些内容就辛线性代数而言。通过“泊松化”根据那篇论文中的结构，我得出了一个纯模自同构群的定义几何图形。事实上，我很快发现模自同构群具有已经出现在泊松几何中——它是卷曲（“rotationnel”）（法语）泊松结构。介绍时没有名字作者Koszul\cite{ko:钩针}，他在在李代数对偶的情况下，旋度被命名为\引用{du-ha:rotationnels}，用于分类二次泊松结构（另见{li-xu:二次}）。最后，Jean-Luc Brylinski和Gregg Zuckerman最近研究了复数背景下的模向量场解析泊松几何{br-zu:outer}。对于泊松流形和算子代数的背景材料，我们请读者参考引用{va:讲座}和引用{co：非对易}分别是。我要感谢迪米特里·什利亚赫滕科重新唤起我对模理论并指导我学习冯·诺依曼代数理论，让-吕克·布莱林斯基、阿兰·康纳斯、萨姆·埃文斯、维克托·金茨堡，蒋华路、彼得·波德斯、马克·里菲尔、徐平和伊利亚·扎哈雷维奇以获取有用的评论。很高兴将这篇论文献给安德烈教授李奇内罗维奇，感谢他多年来的个人支持，以及他的工作给我带来了很大的刺激，包括此处报告的特定研究项目。我很遗憾当时没有多注意研讨会的演讲他在伯克利大学就\引用{ba-fl-li-st:变形}。\{模向量场的定义}\标签{sec-definition}设$P$是具有泊松张量$\pi$的泊松流形，并选择一个$P$上的正平滑密度$\mu$。我们将操作员与此数据关联$\phi_{\mu}:f\mapsto\dive_{\mu}H_{f}$，其中$H_{f}$是$f$的哈密顿向量场，以及向量域$\xi$的发散$\dive_｛\mu｝\xi$是函数${\cal L}_{\xi}\mu/\mu$。（${\cal L}_{\xi}$是谎言$\xi$衍生。）尽管$\phi_{\mu}$似乎是一个二阶运算符（一种``拉普拉斯（laplacian），一个使用反对称性的简单计算泊松张量表明$\phi_{\mu}$实际上是一个求导和向量场；我们称之为{\bf关于密度$（P，\pi）$的模向量场}$\亩$。进一步的计算表明${\cal L}{\phi{\mu}}\mu$和${\cal L}{\phi{\mu}}\pi$都为零。\脚注{参见节\参考{sec-regular}.}当$\mu$是所有哈密顿流的不变密度向量场。在这种情况下，只需将$\mu$作为泊松流形的{\bf不变密度}，以及我们称泊松流形为单模流形。如果将$\mu$替换为$a\mu$，其中$a$是正函数，模向量场变为$\phi{a\mu}=\phi_{\mu}+H_{-\log a}$。我们得出结论模向量场是定义明确的模哈密顿量向量场。换句话说所有可能正密度的模向量场是的元素$P$（Poisson）的第一个Poisson上同调空间模哈密顿向量场）。我们称之为{\bf泊松流形的模类}。它消失只是为了单模泊松流形。在代数术语中，模类是泊松的派生代数$C^{infty}（P）$，模内导子。当我们整合时一个特定的模向量场（假设它是完整的），结果是组中的一个单参数子组泊松代数自同构的$\mbox{Aut}（C^{\infty}（P））$它是子群$\mbox的固有模{自动}_{0}（C^{\infty}（P））$由通过积分获得的自同构组成含时哈密顿向量场。更准确地说$\phi{\mu}$的$\reals$上的一个cocycle，其值位于精确的$\Gamma（P）$组中$P$辛群胚的拉格朗日双截。（参见第节\ref{sec-groupoids}，在这里我们还将解释元素如何$\mbox美元{自动}_｛0｝（C^｛\infty｝（P））$起内自同构的作用。此关系的提示已在\cite{re:groupoid}:the中给出群$\Gamma（P）$在某种意义上是酉群的经典极限在经典极限为$C^｛\infty｝（P）$。）模向量场也可以被视为将微分算子应用于泊松张量的结果自身。$P$上的平滑密度$\mu$建立同构$\alpha\mapsto\alpha\backl\mu$（定义模是符号的局部选择，它消失在以下内容中）$P$上的微分形式和多向量字段，因此外部导数成为多向量场上的算子。应用此到双向量场$\pi$生成其模向量场。当模向量场为零时，形式$\pi\backl\mu$为closed，因此定义了一个deRham上同调类，它对$H_{2}（P，{\Bbb R}）$中的同调类。\脚注{这里我们必须假定$P$定向或使用扭曲系数。}当$\mu$运行时在所有不变量密度的选择中，我们得到了一个凸锥$H_｛2｝（P，｛\bb R｝）$，其元素可以称为基本泊松结构的周期}。如果存在不变量有限总体积的密度，我们可以限制对不变量的关注总测度1的密度，在这种情况下，我们得到另一个凸set——{\bf规范化}基本循环。我们在中讨论了这些不变量更多详情请参阅下文第{sec-fundmental}节。模向量场也与Koszul和Brylinski（参见引用{ko:钩针}和引用{va:讲座}），由复数给出，其中链是微分形式边界操作符是$\delta=i{\pi}\circd-d\circi{\pi}$。假设$P$是定向的，以便我们可以识别具有最高阶微分形式的密度。密度$\mu$为因此是泊松同调的一个高维链。它的边界$\delta\mu$等于$-d（\pi\backs\mu）=-\pi\backs\phi_｛\mu}.$ 因此，模向量字段对应于（$d$和$\delta$n-1$格式$\delta\mu=-d（\pi\backl\mu）.$在在幺模情形下，不变密度$\mu$是cocycle，从而定义了顶级泊松的非零元素$P$的同源性。还要注意第零泊松同调$C^{\infty}（P）/\{C^{\finfty{（P``跟踪$C^{\infty}（P）上的“”。$给出了这样的（平滑）轨迹正是通过不变密度。（参见第\ref{sec-operator}节（见下文）互补泊松同调空间之间的这种关系维数显然与庞加尔{e}对偶性有关。事实上，最近有人研究了这种二元性（或至少是一对）Evens、Lu和作者引用了{ev-Lu-we:poincare}以及Brylinski和Xu。\{与算子代数的关系}\标签{sec-operator}对于von Neumann代数$a$，定义的出发点模自同构群的权的选择：$A$上的正线性函数的类型。模自同构组测量重量未能成为痕迹的程度，即在换向器支架上消失。根据非对易Radon-Nikodym定理，任何其他权重都与第一个是与cocycle相关联的内部自同构$A$单一组中的值。泊松流形$P$的泊松代数上的权重是定义正（Borel）度量值基于$P$。修复度量值类（对应于特定信封的选择不完全*-代数的Neumann代数），我们选择光滑密度。（关于更一般密度的讨论，以及通过GNS的泊松版本获得的相应模块建造，计划用于\cite{we:modules}。）现在回想一下模向量场测量哈密顿向量的程度场是无散度的。因为，对于紧凑支持的$g$，我们由斯托克斯定理得到：$$\int_{P}\{f，g\}\mu=\int_{P} 克{\cal（校准）五十} _{H_{f}}\mu，$$它遵循模向量场衡量与$\mu相关的集成程度$在泊松括号中消失（至少有一个紧凑的条目支持），即当与$\mu$的集成失败时``泊松跟踪“”。关系$$\int_{P}\left（\{f，g\}-（\phi_{\muf}）g\right）\mu=0$$称为与权重相关的{\bf无穷小KMS条件}$\mu$到向量字段$\phi_{\mu}.$\部分{一些示例。}\标签{sec-examples}辛流形的模类是零。事实上辛结构的Liouville密度是不变的在所有的哈密顿流下，相应的模向量场为零。如果我们取密度$a\mu$，其中$\mu$是Liouville密度，我们得到作为模向量场的哈密顿量向量字段$H_{-\log a}$。为哈密顿量$-\log写入$E$a$，我们发现哈密顿流与函数$E$和密度$E^{-E}\mu$。这个协会，熟悉经典统计力学是起点用于发展量子统计中的KMS理论力学，后来证明本质上是等价的Tomita-Takesaki理论。（对KMS理论的几何解释泊松括号的共形变形项及其应用量化在{ba-fl-li-st:变形}中给出。）如果$P$是李代数$\frak g$的对偶，且其Lie-Poisson结构的模向量场平移-变密度是具有值的恒定矢量场$\mbox{tr-ad}$，伴随表示的轨迹，或{\bf李代数的模特征}。（这已经在\引用{ko:钩针}。）特别是模块化当${\frakg}$为单模，因为哈密顿向量场在原点必须消失在任何Lie-Poisson结构中。这个事实促使我们使用这个词unimodular用于描述具有零模类的泊松结构。（此类结构在\引用{li-xu:二次}。）在泊松流形的任何奇点处辛叶法向空间的模向量场为等于横向李代数的模特征。因此，横向泊松结构（以及泊松结构本身，至少在局部）允许一个单参数组此方向对称，即使横向结构不是线性化。（参见\cite｛we：泊松结构｝和\cite｛we：泊松几何}，用于非线性结构的讨论和示例。）如果$P$是二维的，带有泊松结构在坐标中由$\{x，y\}=f（x，y）$给出，然后是模关于$\mu=|dx\wedge dy|$的向量场与$f${em关于正则的哈密顿向量场括号}$\{x，y\}=1$。特别是，模向量场为与$f$的零级相切，这是泊松结构，以及模向量场对这个奇异集不变地附属于泊松结构。对于具有定义关系的$\reals^{2}$上的Lie-Poisson结构$\{x，y\}=y$，关于变换的模块流度量是通过$x$-方向上的转换给出的。上部这个空间中的半平面$H^{+}$是辛流形。光滑的$H^｛+｝$上的度量，并平滑延续到$\reals^｛2｝$可以认为是$H^{+}$上的度量类区分行为“在无穷远处”，产生一个重要的无穷大时的模数流。具有局部等价于辛流形上半平面的乘积是精确的Nest和Tsygan的$b$-辛流形{ne-ts:formal}，由流形的$b$-余切丛推广而来Melrose\cite{me:atiyah}研究了边界。模向量边界上的字段阻碍了$b$-伪微分算子代数的迹，或更多通常在$b$-辛流形的量子化Poisson代数上。正如在{du-ha:rotationnels}和\引用{li-xu:二次}，二次向量的模向量场向量空间上的泊松结构（相对于平移不变测度）是一个线性向量场（它是一个模类的不变量）。例如结构$\{x，y\}=x^{2}+y^{2{$由围绕原产地。同样，我们可以将其视为``辛的无穷大“”（此处由原点表示）确定边界条件的穿孔平面上的结构通过穿孔处的延伸性。这种泊松结构也是Bruhat-Poisson结构奇异性的局部模型$S^{2}$。（参见\cite{lu-we:classification}。）模向量场也在\引证{ev-lu-we:poincare}上的Bruhat-Poisson结构高维标志流形，以及相关的紧泊松李群。模块类的非Anishing这些流形似乎与“哈尔”对应量子组上的度量“”不是跟踪，但而是满足KMS类型条件，其中模块自同构与对极的平方有关。最近引用{ma-na:neumann}的论文包含了对量子的广泛讨论群从冯·诺依曼代数的观点出发；对此的研究从泊松代数的角度来看，本文应该给出一些新的了解量子群及其经典极限。解释根据“大细胞”无穷大处的几何形状标记流形（一片开密的辛叶）。我们以模块的可能应用来结束本节类。Tuynman\cite{tu:reduction}指出了一个应该进行的修正进行几何量化，以便在以下条件下兼容辛流形上非均匀模群$G$的约化美元（P$）。似乎应该对他的根据泊松流形的非均匀性得出的结果${\frak g}^*$和$P/g$的值，这是盛田等价于${\frackg} 当$g$操作是免费的时，为^*$。在事实上，Morita等价Poisson的第一个Poisson上同调空间Ginzburg和Lu认为流形是同构的\引用{gi-lu:poisson}和金兹堡引用{gi:private}显示模块化类与这种同构相容。\{正则泊松流形}\标签{sec-regular}在泊松流形上任何正则点$x$附近，我们可以引入标准局部坐标，因此在$x$附近是在所有哈密顿流下不变。模向量场因此，在$x$附近，这个度量值为零。因为$x$是关于{\em-any}测度的任意模向量场是整个正则点集的局部哈密顿量美元（P$）。\脚注{在引用{br-zu:outer}中，模向量字段是被认为是泊松模哈密顿量层的一部分向量场，因此它实际上支持在奇异集上点。该框架的一个优点是模块向量字段被定义，即使没有全局卷元素在全纯环境中经常发生的情况。}在特别地，任何模向量场都与正则辛叶。\脚注{由于任何泊松流形形成了一个稠密的子集，这个参数也给出了一个快速的证明${\cal L}_{\phi_{\mu}和${\cal L}_{\phi_{\mu}}\所有$P$上的pi$为零。}另一方面，全局条件可能导致正则泊松流形非零。例如，我们认为$\reals^{2}\times S^{1}$上的正则泊松结构坐标$（x，y，θ）$，格式为$\pi=\frac{\del}{\dely} \wedge（\frac{\del}{\del\theta}+g（x）\frac{\del{{\delx}）$，其中$g（x）=0$正好在$x=0$时。这种结构的辛叶由$x=0$定义的圆柱体$C$和一系列平面组成它绕着圆柱体旋转。对于$\mu=d\theta\wedged dx\wedget dy$，我们有$\pi\backl\mu=dx+g（x）d\theta$，$d（\pi\backl\mu)=g'（x）dx\wedge d\theta$，因此$\phi _｛\mu｝=-g'（x）\frac｛\del｝｛\del y｝$。如果$g'（0）\neq 0$，则$\phi_{\mu}$对圆柱体的限制$C$是$\frac{\del}{\dely}$的非零倍数，而不是哈密顿量，所以这个泊松结构的模类是非零。也许更令人惊讶的是，如果$g'（0）=0$，$\phi_{\mu}$仍然不是哈密顿量，尽管它对每一个都有限制辛叶是哈密顿量。（$C$为零，每个剩下的叶子是简单连接的。）为了看到这一点，我们看看最广义哈密顿向量场$$H_{f}=\tilde{\pi}（df）=\frac{\delf}{\dely}（\frac{\del}{\del\θ}+g（x）\frac{del}{delx}）-（frac{Delf}{del\theta}+g（x）\frac{\delf}{\delx}）\frac{\del}{\Dely}.$$如果$H_{f}$是等于$\phi{\mu}$，我们必须$$\frac｛\del f｝｛\del y｝=0~\mbox｛and｝~\frac｛\del f｝｛\delθ}+g（x）\frac{\delf}{\delx}=g'（x）.$$为了证明这是不可能的，我们引入了平均哈密顿函数$F（x）=\int_{0}^{2\pi}F（x，y，\theta）d\theta$（独立于$y$by上面的第一个方程），我们对上面的第二个方程进行积分关于$\theta$来获得$$g（x）F'（x）=g'（x对于$x\neq 0$，我们有$F（x）=\ln|g（x）|+C$，其中$C$在每个半轴上是常数。作为$x\rightarrow 0$，$g（x）\右箭头0$表示$F（x）\rightarrow\infty$，即如果$f$是连续的，则不可能。正则泊松流形的模向量场与仅依赖辛叶理的物体有关树叶。如果${\cal F}$是带有切线束的$P$上的叶理$F\subset TP$，我们可以用以下方式定义其模块类。为${\cal F}$；选择平滑的横向正密度$\nu$；即以下内容的任意部分正常线束$TP/F$的最高外部功率（用于我们假设以简单性为导向，否则通常的扭曲需要定向束）。如果我们用$\nabla$表示叶理的底部连接（扩展到密度），然后$\nabla\nu/\nu$是一个定义明确的闭合（因为Bott连接是flat）沿着${\cal F}$叶子的1形式，我们将用$\psi_{\nu}$。围绕循环的$\psi_{\nu}$的积分${\cal F}$的叶是循环的线性化完整性，形式$\psi{\nu}$为零$\nu$定义不变横向测度的准确时间叶理。如果将$\nu$乘以正函数$a$，$\psi_{nu}$更改为$\psi.{nu}+d_{cal F}（lna）$，因此$[\psi_{\nu}]$是切上同调中定义良好的类叶理${\cal F}$的叶理}。在任何正则Poisson流形上，正则沿着叶子的辛密度给出了它们之间1-1的对应关系辛叶片理的横向密度和环境歧管上的密度。给定横向密度$\nu$，我们可以将泊松张量应用于闭合形式$\psi_｛\nu｝$沿着叶子获得局部哈密顿向量场切线到叶子，它正好是模向量场$\phi{\mu}$与$\nu$对应的密度$\mu$关联。当辛叶叶理与余维1共向时横向密度由1形式的$\lambda$给出，它可以消除树叶。可积性意味着$d\lambda=\alpha\wedge\lambda$表示1形式的$\alpha$，定义为$\lambda$的倍数。这个对叶的$\alpha$限制仅取决于$\lambda$和实际上是$\psi{\lambda}$。当泊松结构为unimodular，可以选择关闭$\lambda$形式，以便$\alpha\wedged d\alpha$，表示{\bf Godbillon-Vey叶理的}类为零。因此，一个非暴力的戈德比朗·维类意味着非一致性。更强，但更多很难证明Hurder-Katok定理引用于引文{co:非对易}第261页，确定了Godbillon-Vey类的非泛化意味着任何不变横向测度，光滑与否。\无音（noindent）{\bf Example.}在组$PSL（2，\reals）$上，我们有左变量向量的基$（加粗{1}，加粗{2}，加粗{3}）$字段，满足交换关系$$[\bolde{1}，\bolde_{2} ]=\黑体{3}，~[\黑体}3}_{3} ，\bolde_{2}]=-\bolde_2}.$$这些传递到任意商$PSL（2，\reals)/\Gamma$由离散子组$\Gamma$从左侧起作用，如执行对偶基$（\omega{1}，\omega}，\ omega{3}）$。我们考虑泊松结构$\pi=\bolde{2}\wedge\bolde}$密度$\mu=\omega{1}\wedge\omega}\wecked\omega_{3} $的模向量字段是$-e{2}$。如果$\Gamma$是紧致黎曼曲面$M$的基本群，则$PSL（2，\reals）$是$M$，$\bolde_｛3｝的单位切丛$是庞加尔{e}度量的测地线流，叶理由$\pi$的辛叶是稳定流形的叶理。这个沿着叶子的辛形式是自然的面积形式切丛上的诱导度量，并且模向量场是激素循环流的发生器！因为$e_{1}$是方向在不稳定流形中，如果我们绕着闭合测地线运动模1形式（即$\omega{3}$）的积分必须是非零，所以模块类不是平凡的。在这个例子中，我们可以很容易地计算Godbillon-Vey类。拿$\omega_{1}$作为我们的横向密度$\lambda$，我们有$d\omega_{1} =\omega_1}\wedge\omega_3}$，so$\alpha=-\omega_{3}$，和$\alpha\weedged\alpha=\omega_{3}\weedge d\omega_}=-\omega_{3} \wedge\omega{1}\wedge\ omega{2}，$一种卷形式，它给出了一个非零Godbillon-Vey类。将我们的讨论与\引用{co：非对易}。据说，当马厩叶理“悬浮”在横向密度束上由此产生的II型叶理与星座运势。我们对这种情况给出了几何解释第\ref{sec-weights}节中的horcycle流。$S^{3}$上的珊瑚礁叶理提供了另一个有启发性的例子。它的模类是非零的，因为围绕中心圆环的完整性排除了平滑的存在正不变横向测度。然而，线性化在环面周围，全息为零，因此模向量场可以是这里归零。由于所有其他叶子都是平面，因此模块化向量场在每个叶子上都是哈密顿量，但不是全局哈密顿量。另一方面，在这种情况下Godbillon-Vey等级为零。（请参见示例\cite{ta:topology}。）正则泊松流形的情况表明任意泊松流形$P$。应考虑$P$上的密度作为“编码”的一种方式，通过辛叶，模向量场测量该横向测度在完整性“。这一观点可能对定义横向结构、完整性和奇异叶理的模块类。（比较\引用{da:feuilletages}和\引用{su:holonomy}。）在我们的讨论中可以找到这方面的进一步见解第\ref{sec-groupoids}节中的李代数体。给定流形$M$的任何叶理，余切束$P$沿着叶子是一个自然泊松流形。A横向密度第一层叶理拉回横向密度辛叶理$P$，模块化1型拉回相应地。因此，余切丛的模向量场叶理是由模块1形式的叶理。这样，泊松的模块化结构流形是泛化，也是叶理构造。最后，我们注意到Mikami云母{mi:叶理}也研究了泊松几何背景下的Godbillon-Vey类。\部分{内在完整性}\标签{sec-completeness}算子代数的模流总是实数。对于泊松流形，模向量场仅当实数操作完成时，才定义实数操作。对于给定泊松结构，这种完整性可能取决于选择了模块类的代表。（例如，任何辛流形上的哈密顿向量场是模向量场。）我们称泊松流形{\bf本质完备}如果模类的｛\em-some｝代表是一个完整向量字段。内在完备性显然是泊松的不变性质歧管。如果能对这个属性，以及对其含义的一些解释（也许在与某种量化形式的联系），但我们必须满足我们这里有一些例子。具有泊松结构$\{x，y\}=y的$\reals^{2}$的开放子集$本质上是完整的，当且仅当它包含全部或没有$x$-轴，因为每个模向量场都是常量该轴上不为零。当然，每个辛流形都是本质上是完整的。另一方面，即使是正则泊松歧管可能无法在本质上完整。例如，尽管描述了$\reals^{2}\times S^{1}$上的泊松结构在上一节中，本质上是完整的当$g'（0）\neq 0$时，区域$y<1$不是本质完整的。（不清楚当$g'（0）=0时会发生什么。）$这来自跟随引理。\开始{引理}\标签{lemma-cylinder}关于具有辛结构的柱面$（-1,1）\times\reals$$dy\wedged d\theta，$每个完整的局部哈密顿向量场是全局哈密顿量。\结束{引理}{\bf证明}设$X$是局部哈密顿向量场，$\alpha=X\backl（dy\wedged d\theta）$。$\alpha$围绕循环的积分环绕圆柱体的区域通量通过$X$流下的循环。由于圆柱体的面积有限通量必须为零，所以$\alpha$是精确的，而$X$是全局的哈密顿量。{\bf量化宽松}\{李代数体和群胚的模类}\标签{sec-groupoids}叶理和李泊松示例是更多一般施工。给定李代数体${\cal a}$，对偶束具有自然泊松结构。模向量场这种结构相对于适当选择的密度是相切的到${\cal A}^{*}$的纤维和每个纤维的平移不变量纤维。因此，这个向量场可以用${\cal A}^{*}$。因此，它是李代数体的1-余弦${\cal A}$的上同调；原来是一辆摩托车其上同调类定义良好。因此，我们重视每个李代数体都是其第一个李代数体中的{\bf模类}上同调。事实上，这个类可以直接用谎言来定义代数体本身。我们在这里总结了详细的讨论可以在\cite{ev-lu-we:poincare}中找到。给定$P$上的李代数体$\alg$，我们引入丛$Q_{\alg}=\wedge^{top}\alg\otimes\wedge^{顶部}T^｛*｝P$。当$\alg$是$TP$的可积子丛，这是其截面是（不一定是不变的或正的）横向光滑的测量相应的叶理，所以我们应该考虑$Q_{\alg}$的部分通常是“到$\alg$的横向度量”事实证明，李导数之间的“差异”$\wedge^{top}\alg^{*}$和$\weedge上的运算符^{顶部}T^{*}P$在行束$Q_{\alg}$上定义$\alg$的表示。此线束的任何无处消失的部分（或其方形，in如果“横向空间不可定向”）具有“散度”它给出了一个不变定义的类$\theta{\alg}$$A$的{\bf模类}，在$\alg$的李代数体上同调中（带有平凡线束中的系数）。这个构造使用上的泊松结构再现了上面定义的类$\alg^{*}$。由于泊松流形的余切丛是李代数体，我们可以考虑这个李代数体的模类。但是谎言$T^*P$的代数体上同调就是$P$的泊松上同调，事实上，我们回到了泊松的模块类流形$P$本身，如果对$P$上的每个密度$\mu$构造一个截面首先将$\mu$的“方形”作为$Q_{TP}$，然后在同一行束中求其平方根。我们现在转向李群胚。再一次，我们在这里简要介绍一下将在中详细介绍的结果\引用{ev-lu-we:poincare}。李代数体的模类是事实上，a的模类的无穷小化相应的（局部）李广群，可以定义为右变量和左变量“measures”，如中所示\引用{re:groupoid}，第1章，第3节。对于具有Lie的Lie广群代数体$\alg$我们可以给出模块化类的描述，该类不需要分别选择Haar系统和在此基础上的措施。相反，我们选择$Q{\alg}$的一部分，它扮演这两个角色对象。事实上，可以显示$G$在行束$Q_{\alg}$上的自然方式，因此$Q_{\alg}$将此操作转换为$G$上的1-循环，并具有值在实数的乘法组$\reals^{times}$中；这个循环被称为带有的广群的{\bf模函数}尊重给定的部分。\脚注{乘幂这个函数给出了von Neumann的模自同构群广群代数；参见\引用{re:groupoid}，第115页。}平凡化对应于零余循环，其上下边界给出模块函数中的更改，因此{\bf模块类}是$H^{1}（G；\reals^{times}）的定义良好的元素$这个模块化类别的差异（更确切地说代表循环）沿着$G$的恒等式给出模块李代数体$\alg$的类。当$\alg$是泊松流形$P$的余切丛时，则群胚$G$可以被视为$P$的辛群胚，如果它存在。\脚注{参见\引用{co-da-we:groupoides}或者引用{va:讲座}讨论辛群胚，以及\引用{we-xu:extensions}将泊松自同构提升到广群自同构。}这提供了以下图片。给定一个$P$上的密度$\mu$，其模块流\脚注{此中的所有流如有必要，段落将是本地的。}以自然的方式提升到辛群胚在辛群胚$G$上的流动自形。这个提升流是哈密顿量，由$G$上模函数$f$的对数。当$f$是$P$上函数$h$的上边界，是$h$是$P$上模流的哈密顿量。在这种情况下，我们现在可以给出模块流的精确含义``内部“”。（比较{re:groupoid}，第111页）即通过这个群体本身的源映射将$f$拉回到$G$在$G$上生成一个哈密顿流，从而移动恒等式部分精确到$\Gamma（P）$群的一个单参数子群$G$中的拉格朗日双截面。此1参数的作用$G$上共轭子群正是提升模块流，并且它对标识部分的限制作用是模块流自身。但组$\Gamma（P）$应被视为本质上是经典的“量子化”代数的（乘数代数limit是$P$上的函数。（$\Gamma（P）的李代数$由$P$上的实值函数组成，这是经典的量子化代数的自共轭元素的极限。）这里我们注意到$\reals^{times}$值的1-循环$\phi$位于辛群胚$G$产生一个单参数群$G$的群胚代数在两种不同方式下的自同构：首先乘以幂$\phi^{it}$（参见\引用{re:groupoid}），其次是$\log|\phi的哈密顿流|$. 这两组自同构之间的关系不是我们完全清楚，但它必须以某种方式涉及通道，通过从群胚代数出发的{we-xu:扩展}中的量化$G$到基础泊松上函数的量化代数歧管$P$。我们还注意到辛群胚$G中的反演映射$应为中*-运算符的规范转换$P$上函数的量化代数，但可能还需要是傅里叶积分算子理论中的“振幅”。我们怀疑该振幅与模块功能有关，通过后者的算子代数结构，如中所述\引用{ri-va:bounded}。我们还怀疑与平方的关系群胚上函数的“hopfoid代数”中的对极，这将引导我们回到前面提到的量子群的概念在第\ref{sec-examples}节末尾。\第{节重量的流动}\标签{sec-weights}在冯·诺依曼代数理论中，模流导致两个类型II和类型III的代数之间的传递方式第节，我们讨论这些结构的泊松类比。给定具有正密度$\mu$的泊松流形$P$和相应的模向量场$\phi{\mu}$，我们可以构造此模流的$P$的泊松半直积（偶数如果不完整）。交叉乘积的泊松模拟由单参数自同构群构成的代数定义为跟随。给定泊松流形$P$上的泊松向量场$\phi$，我们定义{\bf半直积}\脚注{这种结构可能是参见{kr-ma:哈密顿量}第2节或附录\引用{我们：泊松几何}。这个名字来源于这样一个事实：$P$是群作用于其上的李代数的对偶自同构，构造产生半直的对偶乘积李代数。}是$P\乘以T^{*}\reals$的商$\reals$的对角作用，作用于它自己的余切按左侧翻译捆绑。虽然这种结构看起来根据$\phi$与流的集成，我们可以识别与$P\times\reals^{*}$的商，其中诱导泊松结构纯粹是根据李代数作用由要求$P$和$\reals^{*}$上的投影为泊松映射，$\{f，\tau\}=\phi\cdotf$，其中$f$是上的任何函数$P$和$\tau$是$\reals^{*}$上的标准坐标。（选择我们的符号是为了说明构造可以扩展到替换$\reals$的情况通过泊松向量场作用于$P$上的任意李代数。）我们用产生的泊松结构表示$P\times\reals^{*}$按$P\times_{\phi}\reals^{*}$。如果向量字段$\phi$为全局哈密顿，那么一个哈密顿函数的选择在$P\times_{\phi}\reals^{*}$和直接积$P\times\reals^{*}$（请参见引用{kr-ma:hamiltonian}）。更一般地，半直积的泊松同构类取决于关于$\phi$模全局哈密顿向量的等价类字段。将半直接积结构应用于模块流，我们获得泊松流形$P\times_{phi_{mu}}\reals^{*}$，其中由泊松流形$P$本身决定同构。（这是泊松对应的结果\引用{ta:automorphisms}，其中确定了十字架模块流的乘积与重量有关。）事实证明$P\times_{\phi_{\mu}}\reals^{*}$是一个幺模泊松流形；事实上，检查$\mu\wedge e^{\tau}d\tau$是否为密度不变。由${bf-mod}（P）$表示的{bf-flow of weights}定义为空间上向量场$\frac{\del}{\del\tau}$的流$P\times_{\phi_{\mu}}\reals^{*}$的叶子。在$P$是正则泊松流形的情况下，引入的对象上面有一个相当简单的描述。辛叶$P\times_{\phi_{\mu}}\reals^{*}$是辛的覆盖$P$的叶子；事实上，它们是平行（多值）部分对于沿着束上$P$的辛叶的平面连接$P\times\reals^{*}$在识别$P\temes\reals时$辛叶的横向密度空间叶理化（通过横向的指数和乘法与$\mu$关联的密度），此连接只是常见的Bott连接。这给出了一个完全内在的描述（对应于第496页的“功能结构”\半直积流形$P\次的引用{co:非对易}）_{\phi_{\mu}}\reals^{*}$以及权重流：流由$\reals^{+}$的操作通过``多值不变横向密度空间辛叶叶理。注意，与模块流本身不同，权重流取决于只在辛叶上。事实上，它与精确到叶理代数的权重流引用{co:非对易}第58页的命题9c。我们还注意$P$的任何一组泊松自同构都是自然的重量的流动。从一般泊松流形到幺模的第二种方法一种是通过模块流进行划分。当然，结果是商，我们用$P/\phi_{\mu}$表示，是一个流形，甚至局部地，仅当模向量场等于零时或者不为零。在后一种情况下，至少可以显示形式上（即不必担心商的整体结构空格）半直积$P\times_{\phi_{\mu}}\reals^{*}$与泊松流形等价商空间。（局部地，半直积是商空间的乘积通过2维辛流形。）我们可以直接证明$P\times_{\phi_{\mu的叶空间}}\当$P$是正则的时，实^{*}$和$P/\phi_{\mu}$是同构的而$\phi{\mu}$并不是零。为了做到这一点，我们限制注意力每次到$P$的一个辛叶${\cal O}$。设$F\subset T{\cal O}$是$\phi的辛正交空间_{\mu}$；它也是闭合1形式$\psi{\mu的空束}$通过上的辛结构对应于$\phi_{\mu}$${\cal O}$。选择${\cal O}$上的向量字段$X$，以便$\psi_{\mu}（X）=1$，并让$\tilde{X}$作为其水平提升到${\calO} \times\reals^{*}$用于“Bott连接”$\波浪线{X}$是一个完整的向量场，并且$d\tau（\tilde{X}）=1$，所以坐标函数$\tau$是${\cal O}\times的每个叶上$\reals^{*}$的一个分支_{\phi_{\mu}}\reals^{*}$。因此，每种类型的交叉点带有$\tau^{-1}（0）$的叶已连接，并且必须是叶理${\cal F}$由$F$决定。因此，辛叶${\cal O}\times_{\phi_{\mu}}\reals^{*}$的空间同构于${\cal F}$的叶空间。另一方面，这是一个基本事实关于辛叶的泊松约化${\cal O}/\phi_{\mu}$的空格与${\cal F}$的叶空间。特别地，$P\times_{\phi_{\mu的辛叶空间}}\第节中$PSL（2，\reals）/\Gamma$示例中的reals^{*}$\ref{sec-regular}与激素环的叶子空间相同叶理。（当$P$的辛叶为二维时包$F$与$\phi_{\mu}$的跨度相同。）这个对应于p。引用{co：非对易}的58。为了结束本节，我们建议研究中讨论的von Neumann代数的不变量$R$和$S$\引用{co:非对易}。\{幺模泊松流形的基本类}\标签{sec-fundmental}设$（P，\pi）$是维数$n$的幺模泊松流形。对于简单地说，我们将假设$P$是定向的。\脚注{一切如果我们使用形式，我们也会在不可定向的情况下工作，同调，以及具有扭曲系数的上同调。当$P$为非紧，我们使用局部有限链的同调来确保庞加尔对偶从开始连续获得$P$上的不变正密度$\mu$封闭的$n-2$-形式$\pi\backl\mu$，de Rham上同调类H^{n-2}（P；\reals）$中的$[\pi\backl\mu]\和对偶同调H_{2}（P；\reals）$中的类$\sigma_{\pi}（\mu）。当$P$为非紧，我们使用局部有限链的同调来确保庞加尔对偶。设$I（P，\pi）$是不变正密度的凸锥$I_{1}（P，\pi）$它的归一化元素的凸子集（即。满足条件$\int_{P}\mu=1.$）我们说$（P，\pi）$有{\bf有限类型}，当$I{1}（P，\pi）$不是空的。$I（P，\pi）$和$\sigma_{\pi}$下的$I_{1}（P，\pi）$是凸锥${\calC} （P，\pi）$和凸在$H_{2}（P；\reals）$中分别设置${\cal C}_{1}（P，\pi）$，其元素我们称为{\bf基本循环}和{\bf规范化基本循环}单模泊松流形。如果$（P，\pi）$是维数$n=2m的连通辛流形$辛形式为$\omega$，由$\omega ^{m}$定向，则$I（P，\pi）=\{c\omega^{m}|c>0\}$。如果$P$有有限辛体积，那么它是有限类型的，并且$I{1}（P，\pi）=\{\omega^{m} /v（m）\}$，其中$v（P）=\int_{P}\omega^{m}$，即$n！$次辛体积。由于$\pi\bull\omega^｛m｝=\omega^｛m-1｝$，如果我们用$u{omega}$表示$\omega^{m-1}$的对偶同源类，然后${\cal C}（P，\pi）$是通过$u_{\omega}$的光线，${\calC} {1}（P，\pi）$由单个类$u{\omega组成}/v（P）.$请注意，配对$\langle[\omega]，u_{\omega}\rangle$根据定义是$\int_{P}\omega\wedge\omega^{m-1}=v（P）$，因此${\cal中的同源类C} {1}（P，\pi）$被规范化，以便它与辛的配对类$[\omega]$等于1。接下来假设$（P，\omega）$是$2k$-dimensional的包连通辛流形；即其辛叶为平滑纤维$\gamma:P\rightarrow M$。让$\omega$是$P$上的2表格（不一定关闭），限制为每个叶$P（y）=\gamma上给定的辛结构$\omega（y）$^{-1}（y）$。$P$上的不变密度如下所示$\omega^{k}\wedge\gamma^{*}\nu$，其中$\nu$在卷上运行$M$上的元素与$M$对应的方向一致到$P$的给定方向。（这是根据相应的关于向量空间精确序列上的密度的事实。）这个相应的闭合形式$\pi\backl（\omega^{k}\wedge\gamma^{*}）$等于$\omega^{k-1}\wedge\gamma^{*}\nu$。就同源性映射而言$i（y）：H_{2}（P（y））；\reals）\rightarrow H_{2}（P；\reals）$由包含，$\pi的对偶同源类\然后是backl（\omega^{k}\wedge\gamma^{*}\nu）$$\int美元_{P} 我（y） u_{\omega（y）}\nu$，因此${\cal C}（P，\pi）$由的叠加（具有严格的正权重）辛叶的基本循环，插入$H_{2}（P；\reals）$通过包含映射。（这些插入的同源性分类是因为纤维的内含物是合适的地图。）{\bf备注}假设$\pi=0$。那么任何$\mu$都是不变的，但是$\pi\backs\mu$总是零，因此${\cal C}（P，0）=\｛0\｝$。这与每个辛叶都有$H_{2}=\{0\}$。要确定辛流形，我们首先注意到$\int_{P}\omega^{k}\wedge\gamma^{*}\nu=\int_{M} v（v）（P（y））\nu，$使$（P，\pi）$具有有限当叶子的辛体积函数为$M$上的本地$L^{1}$。特别是，$v（P（y））$必须是有限的几乎所有$y$。（请注意，局部$L^{1}的类$函数由$M$的平滑结构决定。它独立于$\nu$，始终可以选择它来生成给定的本地$L^{1}$函数的积分等于1。）%***有算子代数版本吗？这需要%每个纤维代数（一个因子？）都有一个正则实%``维度“”在到达奇点时爆炸。一个人可以%想象一下用“矩阵代数的阶跃函数”来做这件事，因为%这些具有具有自然归一化的规范跟踪。对于%类型$II_{1}$algebras，情况似乎不同：%没有自然的“大小”。一个相关的问题是代数%通过量化一个有限体积的球而获得的“大小”是有限的。%事实上，量子代数在其中是什么还不清楚%情况，超出形式量化***现在对于$\nu$，$\omega^{k}\wedge\gamma^{*}\nu$是归一化后我们有$$\int_{M}i（y）u_{\omega（y）}=\整数_{M} 我（y） \frac{u_{\omega}（y）}{v（P（y））}v（P正规化的$H_｛2｝（P；\reals）$中图像的$M$上的积分辛叶关于正规化的基本圈测量$v（P（y））\nu$。换句话说$P$的归一化基本循环是“开凸包”插入的规范化叶片周期。如果$（P，\omega）$是连接的有限并集可能具有不同维度的子流形，然后是基本流形循环再次通过取组件的基本循环。上述示例表明，任何单模泊松流形应该被认为是辛叶的基本循环的叠加。这个下一个示例将在本例中为这个观点提供一些含义其中$P$是紧的，但辛叶不是有限型的。设$P$是具有平移不变泊松结构的3-环面其辛叶通过平面形成叶理，每个它在环面上很致密。就坐标而言$（x{1}，x{2}，x{3}）$（定义的模${\Bbb Z}$），我们可以写$\pi=（\frac{\del}{\delx{1}}+a{1}\frac}\del}}{\Delx{3}}）\wedge（\frac｛\del｝｛\del x_｛2｝｝+a_｛2｝\frac｛\del｝｛\del x_｛3｝）$，其中$a{2}$和$a{3}$是非理性的，并且具有非理性比率。这个密度$\mu=bdx{1}\wedgedx{2}\weeddx{3}$只是不变的当$b$是常量，并且当$b=1$时进行了规范化；事实上，$\pi\backl\mu=b（dx_{3} -a个_{1} dx公司_{1} -a个_{2} dx公司_{2} ）$，仅在以下情况下关闭$b$沿着叶理的叶子是恒定的。如果我们用$c{ij}$的定向积的基本同调类$i$th和$j$th坐标圆，同调类对偶于美元（dx_{3} -a个_{1} dx公司_{1} -a个_{2} dx公司_{2} ）$是加元_{12} -a个_{1} c（c）_{23}-a_{2} c（c）_{13}$. 这是唯一的标准化基本循环，生成基本循环射线。它应该被认为是任何叶的插入基本类。具有相同辛叶的最一般泊松结构叶理的形式是$c\pi$，用于某些无处消失的函数$加元。不变密度现在的形式为$b|c^{-1}|\mu$正b，基本周期射线保持不变（直到符号$c$），而标准化基本周期被乘以按$（\int_{P} c（c）^｛-1｝\mu）^｛-1｝$。因此，这个同源类是泊松结构不变量；我们引用{he-ma-sa:lemme}证明当辛叶理是平移不变量。我们以一个问题和一句评论结束这一节归一化基本循环有一个紧闭包？看起来这些周期可能与Ruelle-Sullivan海流有关叶理\云母{ru-su:currents}和群的相关电流Brylinski研究的作用{br：非对易}。\开始{书目}{99}\bibitem{ba-fl-li-st：变形}Basart，H.、Flato，M.、Lichnerowicz A.和Sternheimer，D。，变形理论在量化和统计中的应用力学，《数学与物理学》，1984年，第483-494页。\bibitem{br：非对易}Brylinski，J.L.，非交换Ruelle Sullivan型电流。{\em《格罗森迪克节日》，第一卷，伯克{a} 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