一张邮票有几种折叠方式？

你最后一次使用邮票是什么时候？即使是很久以前，你也可能手里拿着一条邮票。也许你甚至试着把它叠成一堆，一张邮票宽，这样纸条更容易储存。你有没有想过有多少方法可以做到这一点？

这个问题是卢卡斯说的¹在1891年以及120多年后的今天，仍然没有一个公式可以回答这个问题。Stéphane Legendre最近的一篇论文²回顾问题并添加一些新结果。

首先带标签的箱子考虑到可以区分邮票（如上图所示）。对于数学模型，可以对其进行标记沿着展开的条连续。目标是找到所有可能的堆栈邮票宽度和邮票很高。

下图显示了条带的所有可能性邮票。水平段表示图章，而垂直段表示穿孔。此外，每枚邮票的标签都在其旁边。

这些数字串建议考虑数学中一个有用的概念，即置换。从堆栈顶部到底部向下读取标签，我们可以明确地识别具有排列的折叠。有趣的是，并非所有可能的排列都能产生可行的折叠：例如，排列不是折叠，因为会出现交叉。

科勒解决了哪些排列与褶皱相对应的问题^三1968年：

排列是折叠的当且仅当不等式都不是

也不会发生任何循环重排和具有相同奇偶性（奇数或偶数）。

请注意，在示例中在上面，不平等产生于和.

至于折叠式的数量问题，圣拉格⁴1937年观察到：

集合的元素数的折叠标记的邮票是

,

哪里是集合的元素数属于-类型的折页，即顶部印有1。

这样可以专注于场景有用的是，可以使用深度树以归纳的方式构造。下图显示了描述集合的树对于.

事实证明，在第二级以下，左子树和右子树在拓扑上是相同的。原因是如果是折叠，然后是“反向”排列也是一种折叠。

因此，每次折叠左子树中唯一与折叠关联在右侧子树中。这意味着是公平的更重要的是，问题可以简化为关注类型的折叠.伦农⁵提出了一种使用深度优先搜索列出这些折叠的算法。

上述结果可以计算出标签文件夹的数量最多为其中373849292477935264200种可能性出现。整个数字列表可以作为整数序列在线百科全书的序列A000136进行检查⁶.

这个空白邮票箱Legendre也考虑了这一点。在这种情况下，邮票没有标签，因此必须根据其形状来区分折页。特别是，不同的标记折叠可能会导致相同的未标记折叠。例如，考虑图2第一行中的第二和第四种情况（从左到右），它们是另一种情况的反射。

幸运的是，还可以使用树归纳构造相应的未标记折叠集。下图显示了空白邮票.

同样，数字已知不同的未标记折叠，其中9346232311986692725748可能性出现了。整个数字列表作为整数序列在线百科全书的序列A001011提供⁷.

如果没有折叠数的公式，一个经典的问题是关于渐近性的。也就是说，当生长？Legendre引用了几位作者的话来支持这位将军认为-折页的形式，使用当然是未知的常数。也就是说，指数增长。

为了估计，Legendre显示了上述所有情况下的折叠数，，共享相同的然后，他使用最已知的值来获得精确到小数点后十位的估计值。

总的来说，这是一个很好的问题回顾，尽管看起来无害，但由于组合数量的指数增长，在不太大的情况下会爆发。