[seqfan]反卡迈克尔数的密度

[托马斯·奥多夫斯基]

亲爱的读者们，
我有一个有趣的问题：
A121707的渐近密度是多少？
请参阅中的最后一条评论
https://oeis.org/history/view？seq=A121707&v=129
这些是数字k>1，这样p-1就不会对每个素数p除以k-1
除以k。
奇数k>1，使得k与伯努利分母互素
B（k-1）。
数字k>1是反Carmichael当且仅当gcd（k，b^k-b）=1 for
一些b。
对于b=2，我们得到了密度稍低的类似数字。
卡尔·波梅兰斯（Carl Pomerance）：
我相信不难证明这个集合具有渐近性
密度d，0<d<1。
对于每个素数p，让S_p表示
n==p的n>p集（mod p（p-1））。
因此，每个S_p都有
密度1/（p^2-p）和S_p的并集是
不抗卡迈克尔的复合材料。
根据这一特征，
可以证明非反Carmichaels的密度
存在并且严格介于0和1之间。
此外，还包括排除
参数将允许人们精确计算密度
如果有人想这样做。
例如，p=2告诉我们
非反卡迈克尔。
那么p=3告诉我们
也可以加入3 mod 6，所以我们有2/3的密度。
5个mod 20数字也都是奇数，密度为1/20。
但它们在45 mod 60集合中与3 mod 6相交，因此贡献
从p=5算起是1/20-1/60=1/30，所以用p=2,3,5我们得到
非抗Carmichaels的密度为7/10。
无论如何，这个过程
迅速收敛。
例如，仅从上面我们就知道
非抗卡迈克尔病毒的密度在0.7到0.757之间
阿米拉姆·埃尔达尔（Amiram Eldar）：
似乎我们可以编写一个程序，根据
这些提示-有趣！
如何有效地计算这些数字？
使用前k个素数，对于k=1..8，我得到了如下的界
密度（如果我对过程的理解没有错）：
#素数密度
1 0.5
2 0.333333
3 0.3
4 0.278571
5 0.272944
6 0.268648
7 0.266932
8 0.264810
它能收敛到我们从直接计数中看到的结果吗？
我计算k=8第一素数的方法是“愚蠢的”，但
在以下范围内计算溶液的非常简单
LCM（p（i）*（p（ii）-1），i-1..8）=LCM（2，6，20，42，110，156，272，342）
= 232792560.
由于我的内存限制，我无法向上加p=17
计算机。
我的感觉是，必须有一种更快、更优雅的方法来
把它做好。
卡尔·波梅兰斯（Carl Pomerance）：
为了得到分布的尾部超过前k个素数，
对p运行求和1/（p^2-p）可以得到较低的估计值
超过k阶素数的素数。
当k=8时，总和<0.011，
因此，根据你下面的计算，我没有检查
反卡迈克尔数的密度在0.265之间
和0.253。
在我之前的电子邮件中，我正在计算互补物的密度
一组非反Carmichael数。
在前3个素数之后，
这套装置的密度至少为0.7。
1/（p^2-p）之和
从7开始的p（第4次素数）小于0.057。
所以非反卡迈克尔
密度在0.7到0.757之间。
前k个素数之间的包含-排除并不完全
直截了当的，正如我所写的，我还没有检查过你做了什么
它就在下面。
现在让我试试k=4，看看我们是否同意。
剩余类7 mod 42与3 mod 6完全不相交，
所以我们只需要考虑它与5模20的相互作用。
这是剩余类385 mod 420，因此
非反卡迈克尔的7是1/42-1/420=3/140。
因此
使用k=4，非反卡迈克尔至少具有密度
7/10+3/140=101/140，因此抗卡迈克尔病毒具有密度
最多39/140=0.27857。
这与埃尔达的观点一致。
也许有人会更好地使用这些想法。
顺颂商祺，
托马斯·奥多夫斯基
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https://oeis.org/A121707

https://oeis.org/A121707/A121707_1.pdf

https://oeis.org/A267999
和
https://oeis.org/A306097