阿尔法出现在《休闲数学》杂志>跨度>31(3)γγ

γ关于完备数的一个推广

α,α,β,β,β,α,β,β,β,β,α,β,β,β

γ

约瑟夫·L·PE

IDEN系统工程工具与统计

{/SPAN>α,α,β,β,β,β摩托罗拉

{/SPAN>α,α,β,β,β,β西湖库克路21440号

{/SPAN>α,α,β,β,β,βIL鹿苑60010号

α,α,β,β,β,βEmail:AJP070@ EMAL.MOT.com

γ

1。第二章概要

γ

本文给出了一个关于算术函数的完备数的概念:

一个算术函数f 产生一套 F-完全数. 在许多例子中,有两个是正规定义的小扰动,在这两个序列中,出现了奇完全数。(情况可能类似于通常的完美数字吗?)此外,本文还推广了友好对和社会链。对于喜欢挑战的人来说,奥秘和公开的问题比比皆是。也有数学软件代码在他自己的探索中启动读者。

γ

2。第二章预赛

γ

在这个讨论中,意味着自然数。函数称为算术的如果它们的域是整数集。为了简单起见,本文中的算术函数也将是整数值的,并且在其域中包括自然数集。

γ

三。完美是在眼中的情人

下面的推广将完美数相对于算术函数f,在该方案下,通常的完全数。

6, 28, 496,8128, 33550336, 8589869056…

出现在许多完美数中的一个吗?

设n具有适当的除数d,D,DK. (A)真因子n是除n本身以外的n的除数。完美如果n是它的适当除数的和,也就是说,

哪一个可以写为

其中{ id是由ID(n)=n定义的身份函数,这表明,对于一个推广,用任意的算术函数f替换ID。

对于一个算术函数f,F-完全数数字n是这样的吗?

何处,D,DK是n的适当除数。

因此,一般的完全数是ID完全数,其中ID是恒等函数。

4、两个典型完全数序列

G(n)=n+1的G-完全数的ω序列

4, 10, 44、2336, 8896, 34432、449295、…

以及g(n)=n-1的第一g-完全数是

12, 196, 368,1696, 30848, 437745…

这些在整数序列在线百科全书中出现。 http://www. A06229A606230,分别为。每当OEIS中出现一个序列时,它的OEIS数就出现在OEIS中。

对于例子,考虑G完全数44。44的真因子是1, 2,4, 11, 22。g(44)=45 =23+12+5+3++2=g(22)+g(11)+g(4)+g(2)+g(1),证明44是g-完满性。

这里是生成G-完全数的Mathematica代码。

γ

显然,它可以对其它函数进行修正,从而得到其它完全数序列。

5、寻找模式

欧几里得表达式2可以生成(平凡)偶完全数。N-1(2)N- 1),用素数n制造(2)N- 1)素数。人们能找到一个类似的表达式,例如G完全数吗?欧几里得公式很可能是在完美的素数的素数分解中寻找模式的。例如,下面的Mathematica代码

求前七个完全数产量的素数分解

其中,例如,496的因子分解可以被读出为2。X 31(从第一行中{{ 2,} 4 },{ 31, 1 })。很容易观察到完全数是乘积。 2的幂和素数,3, 7, 31,127, 8191,?事实上,在OEIS上对这个素数序列进行快速搜索将其识别为梅森素数序列。

g/Excel的G-完美数的相似实验 产量

虽然几个G完美数遵循幂素数为2倍的幂的形式,但第一个则是2的幂,而第七个则不具有2作为素数因子。另外,前六个数最多有两个素因子,而第七个数有五个。这些数字似乎唯一共同的性质是:每个素数>2都有多重数1,但甚至可以用较大的G完全数来证明。

比较K=前四(n+k)-完美数的方法 3、2、1, 0, 1、2, 3揭示了更多的不规则行为,如以下列表中所示。

γ

K α,α,β,β,β,β前四均值 (n+k)-完全数

它们分别是>跨度>60.25

第二章α,α,β,α,β,α,β,α,β,α,β,α,β,β,α,β,β,α,β,β,α,β,β,α,β,β,β,α,β,β,α,β,α,β,β,α,β,β,α,β,β,α,β,α,β,β,α,β,β,α,β,β,α,β,β,β

α,α,β,β,β,α,β,β,β,β,α,β,β,β第二章五百九十八点五零

α,α,β,β,β,α,β,β,β,β,α,β,β,β阿尔法二千一百六十四点五零

第二章阿尔法- 1第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二章五百六十八

第二章阿尔法- 2第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、三十七点五零

第二章γ阿尔法- 3第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、第二、阿尔法五万三千六百三十七点五零

γ

6、奇完美数及其他开放问题

从这些考虑中可以肯定的是,生成G-完备数的表达式远不是显而易见的。我们发现了一个类似的情形,其中G完全是个数。读者被邀请解决这些明显困难的公开问题。

然而,并不是所有都是混沌和黑暗:出现在上述G和G g-完美数列表中的最后数是奇数。最后,在偶次完全数的初始运算之后,出现奇完全数(即使它们是n- G或γg-完全)。这能反映出通常完美的数字的相似情况吗?在写作的时候,所有已知的完全数都是偶数,但也许在一个非常大的神秘领域里,有一个奇怪的数在那里等待着。

7、更多实例

显然,除了上述简单的函数外,其他函数f也可以使用。f f增长过快,则称f(n)=n那么,在另一个极端,如果f增长太慢,它可以产生许多完美的数。例如,不难看出φ-完全数是2的幂,D完全数是素数的平方。φ(n)表示Euler函数,给出了n个数的相对素数,小于n;d(n)表示π的除数的数目。-完美数字,在哪里常数函数映射每个数为1,都是素数。(任何非零数,除1乘)外均可使用。完全数由所有数组成>1。

然而,有很多有趣的F。当然,F的选择是有意思的。然而,大多数人会同意,应该有相对较少的F完全数。最好的是,前几位f完全完备性数应该有一些显著的性质或模式,这是一个一般猜想。或者,在G和G完全数的情况下,它们应该抵抗简单的分类,从而挑战一个找到封闭形式的发生器。

这里还有几个例子。同样,这些序列中的每一个都邀请搜索一个γ闭形式生成器。

回想一下西格玛(n)表示n序列的除数之和。西格玛-完美数字开始

198, 608, 11322、20826, 56608、3055150…

A066 218例如,198的适当因子是1, 2, 3、6, 9, 11、18, 22, 33、66、99,以及它们的和。西格玛值=1+3+4+12+13+12+39++36+48+144+156=468====西格玛(198)。因此,198是西格玛完美做奇数西格玛-完美的数字存在吗?

设{ H(n)=西格玛(f(n))。H-完备性数的序列开始

2, 88, 328,5128, 9075,…

A066 226再次,在序列中出现一个奇完全数。

j(n)=ω的J-完全数的ω序列西格玛((n))开始

2, 4, 28,40, 448,…

A06228不存在10以下的术语。. 还有其他条件吗?这是无穷序列吗?

F~*甚至可以是一个超越函数定义的算术函数。<(n)n(n)前几个k完全数是

3, 6, 10、34, 50, 91、222, 364, 1485、6640、…

A066 245

在这些过程中,这些例子只略去了海洋完美数序列的海洋表面。也许读者会很高兴地体验自己的功能,在这个过程中发现一些吸引人和美丽的东西。

8、广义可数和可交换链

F-亲和数 同样定义,具体地说,让D(n)定义为

α,α,β,β,β,β

何处,D,DK是n的适当除数,然后是A,B形式。F-亲和对 如果f(b)=ωd(a)和f(a)=d(b)。

发现明显不相关的数之间存在某种显著的关系总是令人愉快的。友好的一对220, 284的发现者一定很高兴。我已经满意地发现了对G(n)=n- 1和三对G(n)=n+ 1的两对友好的对。下面是G-友好对:

100, 110;1806, 2402;1872, 3742。

A0665

例如,100的适当除数是1, 2, 4、5, 10, 20、25, 50。G应用于这些因子除以0, 1, 3,4, 9, 19,24, 49,其和为109。d(100)=γg(110)。110的适当因子是1, 2, 5、10, 11, 22、55。应用于这些除数的g分别为0, 1, 4、9, 10, 21、54,其和为99。d(110)=γg(100)。因此,100, 110形成G友好的对。

γ

G-亲和对是

36, 62;168, 326。

A06505

只有一个西格玛-友好的对,其成员不超过4000:312, 584。一个可以修改上面的Mathematica代码,用于处理完美的对数。然而,对可和睦对的穷举搜索在计算上是不可行的。

读者可以添加到这些列表中吗?

在一般情况下,人们可以搜索F-可数链. 例如,A人群社交链的长度是3。目前还不清楚人群是否存在(参见[W])。相应地,一个F群是A、B、C的三倍数,其中d(a)=f(b),d(b)=f(c),d(c)=f(a)。读者能找到一个F群来寻找函数f吗?

γ

γ

γ

推荐信

γ

γ[a ]安德鲁斯,G?多佛出版公司,纽约州1994。

γ〔b〕贝勒,A.在数论中的结论?多佛出版公司

第二章纽约1964。

第二章[ Sloane ] N.整数序列在线百科全书在以下

第二章URL:http://www.

γ

威尔斯,D.H.企鹅好奇和有趣的数字字典?阿尔法

γ企鹅书籍,第1998页。

γ