双色定理

证明：考虑这样一张地图上的任何国家c。现在考虑任意n个数，即距离c n的国家集D（n）。也就是说，如果一个国家可以从c以n步或更多步到达，那么它就位于D（n）中。当n=0时，集合由国家本身组成。对于n>1，D（n）中国家的所有邻国都位于D（n-1）或D（n+1）中；如果D（n）中的两个国家是邻国，那么它们位于D（n-1）边界的角点将被奇数个国家包围！因此，如果n是偶数，我们可以用c的颜色给D（n）上色；如果n是奇数，我们也可以用另一种颜色给D。

试图将此证明扩展到四色定理结果证明是非平凡的.

事实上，每一个rp条件适用的映射为“拓扑等同于“这样的地图。我们可以证明“我的”映射的另一种方式的定理。

对于带有的地图0直线，定理是微不足道的真实。现在假设我们要添加线（直线或圆形）。我们设置了一个方向沿线，以及轻弹它上面所有国家的颜色左边这将不带新线的地图的合法双色转换为带新线地图的合法双色。通过归纳法，我们看到这样的地图可能是双色的。