古德斯坦定理

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数理逻辑我是说,古德斯坦定理是关于自然数经证明鲁本古德斯坦1944,指出每一个古德斯坦序列最终终止于0。Kirby与巴黎[一]表明它是无法证明在里面皮亚诺算法(但是它可以在更强大的系统中被证明,比如二阶算术这是一个真实的第三个例子,在Peano算术中是不可证明的。Godel不完备性定理格哈德·根岑ε不可证明性的1943个直接证明0个Peano算法中的归纳法。这个巴黎-哈林顿定理是后来的例子。

Laurence Kirby和杰夫巴黎引入图论水螅游戏与“古德斯坦”序列相似的行为:“水螅”(以神话多头命名)勒纳水螅是一棵有根的树,一个移动包括砍掉它的一个“头”(树的一个分支),水螅根据一定的规则生长有限数量的新的头。Kirby和巴黎证明水螅最终会被杀死,不管海格立斯用来砍头的策略,尽管这可能需要很长的时间。就像古德斯坦序列,Kirby和巴黎表明,它不能被证明在Peano算术单独。[一]

遗传基础N表示法[编辑]

GoordSin序列是根据一个称为“遗传基”的概念来定义的。N符号”。这个符号与通常的基极非常相似。N位置符号,但通常的符号不足以满足古德斯坦定理的目的。

普通基地-N表示法N是一个大于1的自然数,任意的自然数被写为幂的倍数之和。N以下内容:

各系数满足<N,和0. 例如,在基2中,

因此,35的BASE-2表示为100011,这意味着2个+2+1是的。类似地,在基3中表示的100为10201:

注意,指数本身不是以基数写成的。N表示法。例如,上面的表达式包括2和3,5>2, 4>3。

转换基数N遗传基底表示N符号,首先重写基中所有的指数。N表示法。然后重写索引中的任何索引,并以这种方式继续,直到表达式中出现的每个数字都已转换为基。N符号。

例如,在普通BASE-2符号中的35是2个+2+1它是用遗传的BASE-2记号写成的。

使用这样的事实5=22个+一。类似地,遗传基-3标记中的100是

古德斯坦序列[编辑]

这个古德斯坦序列 G)一个数字是一个自然数序列。序列中的第一个元素G本身。得到第二个,G(2),写入在遗传Base2符号中,将所有2s转换为3s,然后从结果中减去1。一般来说,N(++1)-st学期GN(++1)关于古德斯坦序列如下:

  • 以遗传基础为基础Nγ+1代表GN
  • 替换每一个基的出现-Nγ+1具有Nγ+2是的。
  • 减去一个。(请注意,下一个词既取决于前一个词,也取决于索引。N(第三章)
  • 继续,直到结果为零时,序列终止。

早期的古德斯坦序列很快终止。例如,G(3)终止于第六个步骤:

底座 遗传记数法 价值 笔记
2个 用BASE-2记号写3
将2转换为3,然后减去1
将3转换为4,然后减去1。现在没有更多的4秒了
没有剩余的4S切换到5s,只减去1。
没有5秒切换到6秒,只减去1秒。
没有6秒切换到7秒,只减去1秒。

后来的GoodStin序列由于大量的步骤而增加。例如,G(四)奥伊斯A056193启动如下:

遗传记数法 价值
26个
41个
六十
八十三
一百零九
二百五十三
二百九十九
1151年

要素G(4)持续增加一段时间,但在基数上他们达到了最大值留在那里等待下一个步骤,然后开始他们的第一个和最后的下降。

值0达到基准。. (奇怪的是,这是一个胡道尔数以下内容:. 这也是所有其他起始值大于4的基的情况。[需要引用]

然而,甚至G(4)没有给出公正的好主意。怎样很快,Gooistin序列的元素可以增加。G(19)增加得更快,开始如下:

遗传记数法 价值
十九
625个597个四百八十四九百九十

尽管这种快速增长,古德斯坦定理指出每个古德斯坦序列最终在0终止。,不管开始的价值是什么。

关于古德斯坦定理的证明[编辑]

古德斯坦定理可以证明(使用Peano算法之外的技术,见下文)如下:给出一个Goothe施泰因序列G),我们构造了一个并行序列。)的序数这是严格减少和终止。然后G)必须终止,并且只有当它到达0时才能终止。这种证明的一个普遍误解是相信G到0因为它是由事实上,事实是支配G根本不起作用。重要的一点是:G)存在且仅当存在(并行性)。那么如果终止,所以GG只有在0时才能终止。

我们定义一个函数计算遗传基础代表U型然后替换每一个基的出现。与第一无限序数ω。例如,是的。

每个术语N)序列然后定义为F型GNN+ 1例如,G(3)(1)=3=2+2个(3)(1)=F型(2)+2个,2)=ω+ω=ω+1. 序数的加法、乘法和幂数都有很好的定义。

我们声称以下内容:

GN)应用第一个,碱基变化生成GoodoStin序列的下一个元素的操作,但在第二个元素之前负1这一代的运作。观察到是的。

然后很清楚,. 现在我们应用负1操作,以及作为例如,,所以,这是严格较小的。注意,为了计算f(g(m)(n),n+ 1)我们首先需要写作GN)遗传基础N+1个表示法,例如表达式要么没有意义,要么等于是的。

因此序列严格减少。作为序数的标准顺序有根据的一个无限严格递减序列不能存在,或者等价地,每个严格递减的序数序列终止(并且不能是无限的)。但是N)直接从GN因此序列G)也必须终止,意味着它必须达到0。

虽然证明了古德斯坦定理是相当容易的,柯比-巴黎定理我是说,[一]这表明Goodotin定理不是Peao算法的一个定理,是技术上的,相当困难。它利用了可数非标准模型Peao算法。

扩展的古德斯坦定理[编辑]

假设定义了Goothe施泰因序列,从而代替了替换每一个基的出现。具有+1个它取代了它。+2个. 这个序列还会终止吗?更一般地说,让我是说,我是说,……是任何整数序列。N+第一学期GN+ 1)关于扩展的Goothe施泰因序列遵循如下:以遗传基础N代表GN),并替换每个基的出现。N具有N+1个然后减去一个。N=F型GNN如下:采取遗传基础N代表GN),并替换每个基的出现。N与第一无限序数ω碱基变化Goothe斯坦序列在进行时的运算GN)到GN+ 1)仍然没有改变价值F型例如,如果N=4个如果N+1个= 9,然后因此,序数严格大于序数

作为起始值函数的序列长度[编辑]

这个古德斯坦函数我是说,定义为Gooistin序列的长度是从N是的。(这是一个总功能因为每个古德斯坦序列都终止了。可以通过将其与函数的各种标准顺序索引层次(例如函数)相关联来进行校准。哈代层次及其功能快速成长阶层L·B和Wainer:

  • Kirby和巴黎(1982)证明了
具有大致相同的增长率(这与更确切地说,支配对于每一个,和支配
(任意两个函数我是说,据说支配 如果对于所有足够大的(第三章)
  • CiCon(1983)表明
在哪里?是投入的结果N在遗传Base-2符号中,然后用ω替换所有2s(如在古德斯坦定理的证明中所做的那样)。
  • Caice(2007)表明:具有然后
是的。

一些例子:

N
3·2四亿零二百六十五万三千二百一十一2×6.895080803×10一亿二千一百二十一万零六百九十四
>(4,4)>
>(6,6)
>(8,8)
>(3,3)=(61, 61)(61, 61)
十二 >F型ω+1(64)>Graham数
十九

(用于阿克曼函数Graham数界限见快速增长层次结构中的快速增长层次函数(第三章)

可计算函数的应用[编辑]

古德斯坦定理可用于构造一个整体可计算函数Peao算法不能证明是完全的。一个数的Goothe级数可由A有效地枚举。图灵机地图的功能N对于Gooistin序列所需的步骤数N终止是可由特定的图灵机器计算的。这台机器只列举了古德斯坦序列。N并且,当序列到达时返回序列的长度。因为每个GoodoStin序列最终终止,这个函数是完全的。但是Peao算法不能证明每个GoodSin序列终止,PeNO算法不能证明这种图灵机器计算总函数。

也见[编辑]

工具书类[编辑]

  1. ^ C类 Kirby,L.;巴黎(1982年)。PeaNo算法的可访问独立性结果 (PDF)是的。《伦敦数学学会通报》是的。14个(4):285。西塞克斯γ10 1.1.107.3303是的。DOI以下内容:101112/BLMS/144.895是的。

参考文献[编辑]

外部链接[编辑]