理论背景

(缓存)
刷新 打印

理论背景



交互式几何中的问题


当用户与交互几何体交互时,一个用于进行交互几何体的系统应该如何运行?在某种意义上,这些要求与其他程序的要求相似:

  • 程序应该易于使用。
  • 用户不应该被程序的非自然行为所干扰。
  • 用户不应该被强迫进行不必要的输入而苦恼。
  • 计算结果应该是正确的。

不幸的是,在这些要求下,交互式几何是一个困难的课题。主要有两个原因:

  • 有些问题来自特殊情况即使在静态设置中也会发生这种情况。
  • 有些问题是真正充满活力自然。


静态问题


我们通常的“日常几何”中充满了特殊情况。两条直线可以相交,也可以平行。两个圆可以在一个或两个点相交,也可以根本不相交。因此,即使是静态结构,对于这种特殊情况,有时也很难得出正确合理的结果。例如,两条平行线的角平分线是多少?是否未定义?这两条线平行吗?它应该是一条与这两条线等距的线吗?

我们可以试着排除所有的特殊情况,根本不允许。然而,一方面,这将意味着排除非等熵情况,如平行线。另一方面,当我们允许在构造中移动点时,总是会发生相互依赖的元素被迫进入特殊情况。请注意,这仍然是一个静态问题!

这种静态问题的研究由来已久。十九世纪伟大的几何学家们意识到了这一点,正是由于他们的努力,大多数问题才得以解决。解决问题的关键是逐步将欧几里德几何扩展到更大的领域。首先,通常的平面被无穷远的元素延伸,导致射影几何. 然后扩展到代数结构复数. 这基本上移除了几何体中的所有特殊情况。

1870年左右,这些方法最终导致了一个完全一致的系统,这是数学上一个令人兴奋的发展。这个系统解释了欧几里德几何和非欧几里德几何的影响,如双曲几何。今天它被称为凯莱-克莱因几何为了纪念它的两个主要贡献者。

数学背景及其实现灰姑娘依靠这个常规设置。这样的话,灰姑娘可以处理所有的特殊情况,作为一个额外的好处,它能够做非欧几里德以及欧几里德几何。一个令人惊奇的事实是,通过使用这些一般原则,程序不会变得更复杂。相反,排除特殊情况允许一个更简单和直接的程序结构。


动态问题



对于交互式几何系统,还有第二类问题,在某种意义上比静态问题更微妙。不幸的是,它们会导致更严重的后果。假设您已经创建了一个包含点、线和圆的构造,特别是两个圆(或一个圆和一条线)的交点。当你移动鼠标时,程序必须决定每一个位置上从属元素的位置。然而,有一个问题。两个圆不是只有一个交点。他们有两个,我们从计算中得到两个。系统应该如何决定哪一个是你“想要的”?当你构造交叉点时,这个问题的答案很简单:取离当前鼠标位置最近的点。但当你开始搬家的时候,没有明显的答案。

最理想的是连续的程序在以下意义上的行为:
如果你用一个自由点做一个很小的移动,那么依赖它的元素也应该只移动一点点。



乍一看,这个要求总体上是否可以满足还不清楚。打开您最喜欢的交互式几何或参数化CAD系统,并进行以下实验:绘制一条水平线并构造两个半径相等的圆,其中心被约束为沿直线滑动。将圆移动到它们相交的位置,并构造两个圆的交点。现在移动一个圆,使其中心穿过另一个圆的中心。很可能你会看到交叉点突然从上一个交叉点跳到下一个交叉点。这就是我们迄今为止尝试过的所有系统中发生的情况。这种行为与我们对连续性的要求背道而驰:你做了一个小动作,一个从属点就会突然跳起来。

这不应该发生!


一开始,一个单一的跳跃点似乎只是一种可以忍受的好奇心。但是如果一个建筑的大部分都依赖于这个跳跃点,会发生什么呢?那么这些部分的建筑也会在没有事先警告的情况下发生跳跃。大多数交互式几何系统使用基于方向决策的启发式方法,有助于消除某些跳跃情况。但是,在每一个系统中,仍有许多问题没有解决。事实上,有证据表明,没有一种仅仅基于方向的启发式方法能够解决所有这些动态问题[KRg02],[KRG01]. 在一篇关于动态几何的文章中【实验室97】,Cabri Géométrie的主要设计师Jean-Marie Laborde用以下方式阐述了这一困境:

我认为我们需要一个真正的数学方法来处理将几何以某种方式扩展到更广泛(动态)系统的所有后果。如果我们想最大限度地考虑到作为动态几何核心的非静态对象的特殊特性,那么这个系统就不能是投影系统。


灰姑娘是第一个基于能够防止从属元素跳跃的理论的程序。这个理论也是基于复数的使用,复数被用来解决静态几何问题。

使用这个理论有很多好处。例如,它是产生正确基因座的基础。考虑一下三连杆机构第二个教程的例子。轨迹的生成是基于自由点移动时两个圆的交点的正确计算。在其他交互式几何系统中,您可能只得到figure 8曲线的一半。自动定理证明的方法,在整个过程中都在内部使用灰姑娘,也是基于这个理论。

重温“三道杠轨迹”


下面的段落应该给你一个印象,不同的数学方法和理论,形成了实现的基础灰姑娘.

射影几何



对于一个一致的几何设置来说,第一步也是最重要的一步是扩展通常的欧几里德平面,使其包含无穷远的元素。你可能听过“平行线在无穷远处相遇”这句话,当你从一座桥上沿着一条又长又直的铁轨看的时候,你可能会相信这句话。这个短语是射影几何的关键。无限元对几何的扩展消除了通常欧几里德几何的许多特殊情况。

射影几何有着悠久的传统。它的历史渊源可以追溯到著名画家阿尔布雷希特·杜勒和列奥纳多·达芬奇对透视法的研究。它的数学起源是加斯帕尔·蒙日他在1795年左右发明了一种叫做画法几何用于通过平面透视图表示空间配置。Monge观察到,关于平面几何构型的重要事实可以通过将这些构型视为空间构型的投影来推导。对这些投影中平行线的研究,最优雅的方法是通过在无穷远处扩展平面来完成的。

在透视图中,平行线实际上是相交的


这个射影平面由通常的欧几里德平面上的点和每个可能方向上的一个额外的“无限”点组成。射影平面的线是欧几里德线和一条特殊的“无穷远线”。所有无限点都位于无穷远线上。以下点和线之间的对称关系成立:

  • 每两个不同的点都有一条独特的连接线(它们参加).
  • 每两条不同的直线都有一个独特的交点(它们满足).

1822年左右,第一个将这些规则正式化的人是维克多·庞塞莱孟的学生,今天被认为是“射影几何之父”。在射影几何中,没有必要把平行看作是特殊的东西。它们仍然有一个交点,它恰好位于无穷远处。关于射影几何的可读性介绍,我们参考H.S.M.Coxeter关于这个主题的书[Cox49],[Cox63].


齐次坐标


不幸的是,在计算机上,我们没有几何对象作为原始数据类型。一个点或一条线必须用数字来表示:坐标。通常,平面上的一个点用(x、 是的)协调。一条直线可以由三个参数给出(a、 b、c)它的定义方程 轴+x+c=0. 然而,当我们想做射影几何时,这是不切实际的。每对坐标(x、 是的)表示一个有限点,在无穷远处没有表示。这个问题的解决办法在十九世纪上半叶逐渐明朗起来。从莫比乌斯开始重心坐标,通过齐次坐标最后导致格拉斯曼建立了多线性代数.

走出困境的方法如下。对于每个点,我们使用三个坐标而不是两个坐标,从而引入了一个三维坐标。考虑以下场景:将平面平行于xy公司-高度为三个空间的平面z=1,所以它不通过原点(0,0,0)。

将平面嵌入空间


每一点(x、 是的)由它的三维坐标表示(x、 是的,(一). 这些坐标是齐次坐标关键点。三维空间中的其他点会发生什么?几乎所有这些都将被解释为原始平面上的点:我们识别出所有相差非零倍数的三维点。例如,(4,6,2)和(2,3,1)描述了同一点。一般的空间坐标(,是的,z)用点来识别(x/z轴,y/z轴,1)原始平面的。这个过程称为脱均化。在某种程度上,原始平面上的每一点都对应于这一点所跨越的直线和三个空间中的原点。

但是,三个空间中有一些点与原始平面中的点不对应。形式的要点(x、 是的,0)不能用上述方法去均化,因为我们必须除以零。这些点精确地对应于射影几何的“无穷远点”。为了了解这一点,我们研究一个点在原始平面上逐渐移动到无穷大的行为。

假设移动点有(r,r). 作为r变得越来越大,该点在45º方向上逐渐接近无穷远点。看它的齐次坐标,我们看到它们的形式(r,r,1)~(1,1,1)/r). 作为r最后一个坐标的贡献越大,第一个坐标的贡献就越大。在极限情况下r等于“无穷大”,齐次坐标由无穷点(1,1,0)给出。你也可以试着想象穿过这个点的线和三维原点。当点接近无穷大时,这条线变得越来越水平,直到在极限情况下,它完全包含在xy公司-飞机。

对于线也可以给出类似的表示。为了这条线斧头+通过+c=0我们取参数(,b,c)作为直线的齐次坐标。与点的情况一样,我们识别这些坐标的非零倍数,因为它们不会改变相应方程的解空间。有一组参数(0,0,1)与有限线不对应。这是无穷远处的线。矢量(,b,c)一条直线的正交线是由相应的直线和三个空间的原点所跨越的平面。特别地,向量(0,0,1)与xy公司-在“无限”平面上

实际上,齐次坐标的代数概念提供了点和线之间的完全对称性。每个点或线由三个齐次坐标表示。一点(,是的,z)躺在一条线上(,b,c)如果仅当斧头+通过+捷克是零,这只是重写了直线方程。几何上,这意味着两个对应的向量在三个空间中是正交的。


复数


它不仅仅是几何学被扩展到了几个世纪。类似的过程也发生在数字上。也许人类最早考虑的数字概念是正整数:1,2,3…。从那时起,逐步扩展数字系统以包含更强大的概念是合理的。这个负数,的有理数,以及实数必须发明一个有用的独立系统。一定有不能用两个整数的商表示的数字的观察具有几何性质,可以追溯到公元前600年左右。毕达哥拉斯人观察到,没有有理数可以测量边长为1的正方形对角线的长度。通过应用毕达哥拉斯定理,这个任务相当于求一个数就这样²=2。这一发现导致了古代几何学基础的严重危机。

然而,扩展数字系统的故事并没有就此停止。其中一个可能带来最严重后果的扩展是引入复数. 是的Geronimo Cardano公司在他1545年的作品中大衍术他是第一个明确提出实数扩展的人。他是通过研究三次多项式的解而得出结论的。基于其他当代数学家的工作,他发现,这些解的完整系统表示只能借助于迄今为止未知的包含负数平方根的值。

复数是数的形式+·b,其中符号满足等式²=–1,和b都是实数。很明显,号码不能是实数,因为实数的平方永远不能是负数。复数系统和实数一样,在加、减、乘、除(当然不包括被零除)的四种基本算术运算下是封闭的。换言之,两个复数的和与积,以及它们的差和商,都可以用形式写出来+·b合适的参数b. 然而,与实数不同的是,复数系统在求多项式解的运算下也是封闭的。例如,考虑多项式


²–6+13=0。



你可以很容易地检查实数,但是没有复数和3–2一定要解这个方程。事实上,以下美丽的结果是真实的:每一个具有任意实系数或复系数的多项式方程在复数域中又有其全部解。

从某种意义上说,复数的发现是大多数现代数学的起点。许多数学理论都是在复数的基础上发展起来的。几何体也是如此。考虑两个圆的情况。根据它们的位置,它们可以有两个、一个或没有交点。


圆可以相交… ……或者没有。





找到交点的坐标等于解一个二次方程。对于实数,这个方程可能没有解。在这种情况下,圆不相交。然而,对于复数,解总是存在的。所以在视觉上不相交的圆的情况下,我们说交点仍然存在,但是它们有复杂的坐标,因此我们不能在真实平面上看到它们。

灰姑娘的数学核完全在复数上实现。所以当十字路口消失的时候,灰姑娘不必处理特殊情况,还可以继续计算。解只是有复杂的坐标。

如果两个复杂点用一条线连接起来会发生什么?一般来说,这条线也会有复杂的坐标。但是,如果这些点是所谓的共轭复数,这意味着它们的区别仅仅在于它们复杂部分的符号,那么它们的连接又是真实的。由于实系数二次方程的解总是复共轭的,因此两个圆的交点总是复共轭的。这就是为什么连接它们的线是一条实线的原因,不管这些圆在平面中位于何处,即使交点很复杂,因此是看不见的。灰姑娘将正确计算并画出这条线,独立于圆的位置。可能需要一段时间才能习惯这样一个事实,即中间结果可以消失,而依赖于它们的一些结构仍然可见。然而,这正是你应该期待的。考虑两个圆的半径相同的情况。那就行了垂直平分线连接两个中点的线段。如果你包括复杂的情况,你不必考虑那么多的特殊情况。

中间步骤消失的另一个例子是下面关于三个圆的陈述。画一条连接每对圆的两个交点的线。用这种方法得到的三个和弦在一个点上相交,不管这些圆是否相交。

中间点可能很复杂… …但定理仍然正确!





所以灰姑娘每一点和每一条线都由复齐次坐标. 这意味着,任何点或线都有一个六维(!)数学内核中的内部表示。这听起来很疯狂,但这是最自然的事情。


测量和复数



如果我们对射影关联理论感到满意,那么到目前为止提出的系统将是相当完整的。然而,我们也希望能够测量距离和角度。从某种意义上说,测量是最基本的几何操作。不幸的是,乍一看,射影几何似乎无法测量,因为在透视变换下,距离可以改变。实际上,很长一段时间以来,数学家认为射影几何学是做入射几何的“好玩具”,但不适合实际的东西:测量。

历史证明他们错了。有了正确的设置,射影几何这个通用测量系统。该系统统一并解释了各种测量方法。例如,它解释了欧几里德几何和双曲几何之间的关系。然而,花了很长时间才最终找到射影几何发挥其全部威力的代数环境。在现代术语中,关键对象被称为“Cayley-Klein几何学”。这是一个优雅和一致的数学方法,结合了射影几何和复数。


欧几里德几何与非欧几里德几何


这一发展的一部分始于非欧几里德几何学的发现。我们日常的几何学,以相对较高的精确度,由欧几里德的五个假设来描述。他用这些假设把几何学公理化。这几乎发生在2000年前。最后一个平行公理在最后一个发展中起着特殊的作用。一种表述方法是:“只要有人排队平面上的点P不是开的,还有正好一个线路贯通P不符合."

欧几里得在使用平行假设时非常谨慎。欧几里德的大部分阐述,例如完整的三角形同余理论,都是在没有明确需要这一公理的情况下完成的。今天,我们相对确定的是,欧几里得本人相信这一公理是其他四个公理的结果。但他无法证明这一点。在欧几里得之后,许多其他数学家也试图这样做,有些人甚至提出了证明。这些证据都是不正确的。

在十六到十八世纪,数学家们还发现了许多与平行假设等价的公式。最突出的配方之一是_“三角形内角之和为180度。”__如果这句话可以从欧几里得的前四个公理中推导出来,那么这将证明平行假设的依赖性。

证明一个公理是相依的,可以通过假设其相反并得出结论,直到出现矛盾为止。很多人尝试过,其中包括C、 高斯,J、 博雅,和N、 洛巴切夫斯基. 他们得出了一个又一个结论,但令他们惊讶的是,他们没有得出一个矛盾的结论,而是发现自己在发展一个美丽的几何体系:双曲几何. 欧几里得的平行假设按以下方式修改:“只要有人排队在平面和点上P不是开的,则会有多条线穿过P不符合."这个假设的结果是三角形中的角和总是小于180º。在1815年到1824年间,这三个人彼此独立,今天被认为是双曲几何的发现者,他们宣称他们的体系没有矛盾,仅仅因为他们找不到任何矛盾。他们可以用一个令人惊讶的事实证明,他们在一个平凡的假设下发展出了一个独特的内在美假设。

值得一提的是,大约在1816年,高斯很可能是第一个得出这些结论的人。然而,由于康德的哲学思想与当时的哲学产生冲突,他不敢发表。他们认为直线的性质是先验明确的。

如果你对数学史感兴趣,我们想给你介绍贝尔的书[Bel45a]、[Bel45b]还有斯特鲁克[第87章]. 作为双曲几何的介绍,我们推荐格林伯格的书[Gre74].

凯莱-克莱因几何



长期以来,人们并不清楚双曲几何系统是否真的没有矛盾。缺少的是这种结构的模型,一个满足欧几里得前四个公理和扰动的平行假设的数学对象。1868年,贝尔特拉米第一个建造了这样一个模型,但有一些小缺陷。然而,当普吕克的学生费利克斯·克莱因(Felix Klein)提出了我们称之为“凯莱·克莱因几何”的版本时,人们第一次看到了一般理论的全部美,【Kle28b】. 他给出的基本上是将双曲几何简化为欧几里德几何的构造,这意味着:“如果欧几里德几何没有矛盾,那么双曲几何也是如此。”这最终解决了围绕欧几里德第五个假设的所有问题。

Cayley-Klein几何背后的思想是使用射影平面,并区分一个特殊的圆锥曲线,即“基本对象”。定义了一种只依赖于基本对象的特殊全局测量。根据所选基本对象的类型,可以获得不同类型的几何图形:欧几里德几何,双曲几何,椭圆几何,相对论几何学,以及其他三个不重要的几何图形。


我们将不讨论Cayley-Klein几何的细节,但我们将介绍主要的定义并演示一些基本的效果。我们首先需要一个交叉比:四个点A,B,C,和D这个数字被定义为交叉线上的数字

(A、 B|C、 D) := ((空调)(B–D级)) / ((A–D)(B–C级),


在哪里(空调)表示点的通常“欧几里德距离”AC. 也可以定义交叉比,而不必参考欧几里德距离的概念,这对于系统地处理没有圆形结论的几何体很重要。

交叉比


交比在射影几何中具有重要的应用价值,因为它在透视变换下是不变的。所以,如果你有四点A、 B,C,D在一条直线上,集中投影到四个点A′,B′,C′,D′号在另一条直线上,那么两个四分之二点的交叉比是相同的。

同样地,四条线通过一个点的交比P可以定义为四个点的交叉比,这四个点是每条线与另一条不穿过该点的不同直线的交点P.

现在凯利-克莱恩几何的定义很简单。选择二次型


² +是的² +捷克² +exz公司+fyz公司=0。



这个方程的零点集描述了射影平面上的(可能是复杂的)二次曲线。这是几何的“基本对象”。两个测量点之间的距离和距离定义如下:AB接他们的线。这条线与基本物体的交点是两点是的. 计算交叉比(A、 B|十、 是的). 取这个数的对数,然后调用结果距离.

以类似的方式计算角度。两条线之间的夹角先把他们的相遇,也就是他们的交点。与基本物体相接的切线是两条直线P. 计算交叉比(五十、 米|P、 问). 取这个数的对数,然后调用结果. 通常,这两个函数乘以一些修饰常数rs为了与传统的测量定义相匹配。


距离(AB型) =r·ln公司(A、 B|十、 是的) 角度(长征) =s·ln公司(五十、 米|P、 问)



这听起来像魔术,但这就是你所要知道的。根据所选择的基本对象的类型,可以得到不同类型的几何体。到同构为止,有七种不同类型的几何体,你可以通过这种方式获得。基本圆锥曲线的三个最重要的选择如下:

  • 给出的圆² +是的² -z²=0:测量结果对应于双曲几何。
  • 退化圆锥曲线² +是的²=0:得到的测量结果对应于通常的欧几里德几何。
  • 方程式² +是的² +z²=0没有真正的解:结果测量结果对应于椭圆几何。


有两件事值得一提:

  • 欧几里德几何中的距离需要一点扭曲。Cayley-Klein几何公式总是产生零距离。这是因为在欧几里德几何中没有距离的“绝对”概念。每个长度必须与单位长度进行比较。在极限情况下,立即得到正确的公式。

  • 上述构造中的交点和切线不一定具有实际坐标。例如,在椭圆几何的情况下,基本对象根本没有实点。在这种情况下,基本物体与直线的交点总是复杂的。

公制部分灰姑娘是基于凯利·克莱恩几何。所有的长度、角度、正交性、圆等的计算都是针对一个基本对象。

最后,我们要展示至少一个由一般理论引起的影响。我们这样做是为了给你一个感觉,什么复数,交叉比,和射影几何与测量有关。

我们考虑欧几里德几何的情况。基本物体有方程² +是的²=0. 使用复数,这种二次型可以分解为两种线性形式:² +是的²=(1)·+·是的+0·z)² +是的=1平方米··是的+0·z). 要点:=(1,,0)和J:=(1,–,0)在欧几里德几何中起着特殊的作用。它们不受任何欧几里德变换的影响。我们可以这么说欧几里德几何是射影几何与J."

要点J有时被称为虚点圆,因为它们与圆有着非常特殊的关系:每个欧几里得圆都经过J. 为此,考虑齐次坐标系下的一般圆方程:



² +是的² +捷克² +exz公司+fyz公司=0。



现在插入坐标J. 利用复数计算规则,我们观察到圆方程是明显满足的。因此,我们可以说,圆是一个特殊的圆锥曲线,通过J. 有了圆的概念,就很容易定义等距离或等角度意味着什么。欧几里德几何的其余概念可以直接推导出来。关于Cayley-Klein几何的一个非常好的经典来源可以在【Kle28b】. 关于这些问题的现代处理方法,也包括对射影几何的广泛介绍,可以在[RGO09][RG11].


连续性原则


本手册前言中提到灰姑娘使用一些基本的新方法来避免不一致的行为。我们在前面几节中介绍的几何系统是一个封闭的框架,用于进行几何,包括测量。然而,到目前为止,还缺少一个对灰姑娘:动力学. 大多数其他的交互式几何或参数化CAD系统,由于对动力学的特殊效果处理得不满意而存在不一致性。例如,考虑“定理”三角形边的角平分线在一点上相交. 每对直线都有两条互相垂直的角平分线。根据角平分线的选择,上述陈述可以是真是假。现在假设你已经构造了这个“定理”的一个实例(也就是说,你选择了正确的平分线)。你开始拖动顶点,突然之间,毫无理由,一个角平分线翻转到另一个位置,“定理”变成了错误。这种情况可能发生在任何不采取额外措施从几何的动态方面解决特殊问题的系统中。


角平分线
一个三角形可以相交…
……或者没有。



让我们考虑另一个小型建筑。取两个圆圈和其中一个交点。当你四处拖动元素时,灰姑娘必须决定每一次鼠标移动你“指的是哪个交叉点”

首次尝试使用以下规则“跟踪”此交叉点是一个不错的尝试:始终选择最靠近上一个位置的交叉点因为这恰恰反映了连续性的定义。但是我们应该如何处理消失的十字路口呢?同样,在复杂的空间中实现了所有的东西,这也是值得的。灰姑娘交叉点永远不会消失,但是它们会变得复杂。所以我们必须追踪复杂空间中的交点,并使用上面的规则。

然而,这还不够。当分离两个先前相交的圆时,总会有一个位置使两个交点重合。在这种情况下,如何区分要点?这一次是解析函数理论拯救了我们。如果允许通过复杂空间的“绕道”,那么总有一条路径可以避免所有退化情况。同样,整个方法是可行的,因为所有的东西都嵌入了一个复杂的空间。

以下是在的“移动”模式下将鼠标从一个位置拖动到另一个位置时发生的情况的大致描述灰姑娘. 当你从位置移动一个点时A定位B:

  • 灰姑娘从生成路径AB通过避免所有退化的复杂空间。
  • 从属元素通过复杂空间进行追踪。
  • 路径上的中间步数根据所需精度进行调整。

为了追踪,灰姑娘使用自适应步长算法。您可以想象,当您拖动构造元素时,鼠标指针离开“真实屏幕”并在复杂的空间中漫游。

为什么这么努力?使用这些方法,我们可以确保元素不会无缘无故地“跳转”。所以,当你从一个正确的角度平分线定理开始,你就永远不能把它移到一个错误的位置。该理论也构成了可靠的随机定理检验和轨迹和动画函数的基础灰姑娘.

此页的参与者:里克特科滕坎普.
页面最后修改日期:2011年9月4日星期日[18:14:53 UTC],修改人:里克特.

此页面上的内容根据许可证.


菜单