朗福德问题

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朗福德棉被

朗福德的问题是什么!?

积木堆叠起来。。有规律吗?

朗福德问题是以苏格兰数学家C·达德利·朗福德命名的他曾观察到儿子玩彩色积木。他注意到孩子把三对彩色积木堆成一块红色对之间,蓝色对之间有两个方块绿色对,如上图所示。

Langford添加了一条黄色线对,并提出了四条线对的解决方案:

四对彩色方块

这些针对3对和4对的解决方案是独一无二的。颠倒顺序并不重要,因为你要做的就是倒立,或者,绕到安排的另一边从那边看。

从颜色到数字,上述数字分别为312132和41312432。朗福德1958年向数学公报给了一个分别排列7、8、11、12和15对数字。他指出,安排5、6、9或10双似乎是不可能的,所以他呼吁进行理论上的处理——“n”的哪些值是可解的?

Roy O.Davies找到了“n”可解性的关键

证明5、6、9、10等不可能的理由相当简单,可以在罗伊·O·戴维斯的论文中找到,关于朗福德问题II《数学公报》,1959年,第43版。

一般来说,戴维斯证明了“n”必须是四的倍数,或者少一。在论文末尾的评论中,戴维斯想知道有多少解决方案对于不同的n,并声明(错误地!)对于n=7,有25个解决方案。

细节。一般考虑排列中的一对k,其中k是从1到n的任意数字。如果第一个k位于位置p,则另一个k必须位于位置p+k+1。例如,在一个排列中,一可能位于位置8和10,位置9将它们隔开。

假设p的所有不同值(给定对的第一个数字的位置)都存储在数组“p”中,因此p1保持前导(最左边)1和P的位置2保持领先地位。每对的前导数字的位置保持在P中1通过Pn个.

我们可以形成数字的总和(Pk个)和(Pk个+k+1)对于k=1,2,。。。n.(名词)。但所有单个数字的位置必须按一定顺序为相同的数字(1、2、…2n)。因此,(2P的k=1,n的总和k个+k+1)可以等同于1,2,…的总和。。。2n,即n(2n+1)。

重新排列项以求解P的总和k个的,必须是整数。这就是关键!也就是说,无论给定解决方案的总和是什么,它是一个整数。最后一步留给读者,这表明n必须是4m或4m-1的形式,这样事物才能积分。

有关更简单的解释,请参阅下面的“奇偶校验是解决问题的关键”。

数学游戏、设计电子学和《每日电讯报》

马丁·加德纳摆姿势 n=4在一组短问题中数学游戏1967年11月,科学美国人.当月,他告诉读者,5双或6双鞋无法解决问题,但有25种独特的安排n=7,没有引用引用。(后来发现n=7有26个解。)

1967年12月,加德纳解释道当n是任意倍数时,Langford问题已被证明是可解的四个或少一个。马丁说,没有人知道如何确定不同解决方案的数量对于给定数量的线对,除非经过彻底的试验和错误。

挑战已经结束,一个流行的计算问题已经准备就绪。

应该注意的是,大约在同一时间,问题也出现在设计电子学每日电讯报,均为英国出版物。因此,英国和其他地方的人们发现自己在研究朗福德问题。

程序员,启动您的计算机!

1968年初,作为一名大学新生,我(约翰·米勒)编写了朗福德问题的程序,找到了n=7的26个(不是25个!)解和n=8的150个解。其他四个人在电脑方面也做了同样的事情。另外两个解决n=7用手.此外,E.J.Groth破解了n=11(17792溶液)和n=12(108144)。马丁·加德纳出版这是他1968年3月专栏的结果。

自1968年以来,许多人使用各种技术计算了15、16、19和20的解的数量。23、24和27由一个小组计算。27和28是由另一个团队计算的。

由于修剪(?),平面解决方案(如下)的强度较小。P31和P32于2018年测定。

2021年-估计L(2,n)的渐近公式

Zan Pan博士的一篇论文告诉我,该论文给出了一个估计Langford和Skolem序列数量的渐近公式!本文详细介绍了该公式,并用估计值与实际值以及百分比差异的表格证明了其性能。更多评论尽快(2022年秋季?),有一页专门介绍潘博士的工作。

这项工作反映了朗福德问题的内在本质吗?此Langford页面上的其他结果是枚举或代数方法计算。(当然上帝的公式将是某种基于整数的组合公式。)

这里有一个直接链接到赞潘论文的当前版本,关于Langford序列个数的猜想,其中包含他的联系信息。链接更新日期:4/17/22[PDF格式]

L符号

我们使用符号L(2,n)表示n对块的Langford问题的唯一解的数量。朗福德问题有几种不同的形式。我们使用字母L、V、P、Q表示这些变体的解决方案数量,如下所示。

请参见下面的变体、平面解决方案和末端运行平面解决方案。


完整符号

我们使用符号L(s,n)或V(s,n)表示(L)angford问题或Nickerson(V)变量的解的数量,其中:

示例:L(4,24)=3,表示有三种解决方案四胞胎,n=24。

我们有时也使用相同的符号来表示所有解的集合,无论是已知的还是未知的。因此,在标量上下文中,L(s,n)是一个整数。在另一种情况下,它可以指的是一般的特定问题(无论如何,就目前而言)。

让我们也用P(2,n)来表示n对的平面解的数目。例如:P(2,8)=4。

Molinari建议使用Q(2,n)表示n对的最终平面解的数量。例如:Q(2,8)=24。Q序列尚未添加到解决方案表中。JM 2018年3月。

活动时间表

以下是Langford的工作时间表(2002-2022)迈克·戈弗雷,Ron van Bruchem,米夏·克拉耶基,克里斯托夫·贾利特(Christophe Jaillet)、阿兰布(Alain Bui)、,Assarpour-Liu团队,鲍里斯·迪米特洛夫,罗里·莫利纳里,赞潘,约翰·米勒。

廉价时间线图

有关完整的带注释的时间表,请访问[时间表页面].

朗福德问题的变分

朗福德问题的尼克森变体

Langford问题的一个变体是每个k对的第二个数字出现在第k位之后第一个,因此在两个k。单数变体n=4的解是42324311。R.Nickerson证明,只要n是4m或4m+1的形式,这是可能的。参见参考书目。

请注意,变量中的1总是在一起。[所以这个变量就像给经典问题添加了一对0——两个零之间没有块。Skolem变量?]

高阶Langford序列

也可以使用三元组进行安排,其中每个三元组与三元组中的中间元素分开,就像这个安排一样。这里的9之间还有其他9个数字:

9个三重态的解

九个三胞胎[1-9]可以三种方式排列。其他结果见下表。对于任何形式为9k-1、9k、9k+1的n≥9都可以实现这种三重序列。数学上,我们将其写成n≡(-1,0,1)mod 9,发音为n是模9-1、0或1的同余[也可以写入n≡(0,1,8)mod 9。]


细节。Frank Ruskey找到了至少一个n=26,27,28的三重数解,35,36,37,44,45,46,53,54,55,62,63,64(26,27,28的溶液也由Brad Jackson在圣何塞州立大学发现)。这些序列的存在是莱文的论文证明了这一点。

三重态排列也可以用尼克森变型来完成。我怀疑带三元组的变体的可解性标准是n≡(0,1,2)模9。[这不是在报纸上吗??]

四胞胎?

根据莱文定理,除非n≡-1,0(mod 8),否则不存在完美的4序列。(中的定理2完美3-序列的存在性真的吗?我不认为这是字面意思。我不知道从哪里得到同余--2020年1月)

据报道,对更高阶的广泛搜索发现了解决方案四胞胎对于n=17、18、19、20及以后,结果是n=24。(斋藤和哈亚斯卡的这些结果似乎有缺陷!他们建造了一个特殊用途的电路来执行搜索。研究有待继续……)

Saito&Hayaska声称n≤24没有已知的五倍体,n≤21没有六倍体。

平面解决方案

解决方案的一个子集是平面如果连接所有线对的线可以在不交叉的情况下绘制,如D.E.Knuth提供的n=8的以下示例:

n=8的平面解(Knuth)

连接必须简单、直接,而不是从上到下进行末端绕流。

这是OEIS.org上的序列号A125762,包含在下面的解决方案表中。Knuth计算得出n=28。

鲍里斯·迪米特洛夫(Boris Dimitrov)的第二个项目独立确认了Knuth的价值观,他目前(2017年)正致力于推广这些结果。我们有一页Boris的作品:[酒店雇员和饭馆雇员].

Rory Molinari也证实了Knuth的结果,并将已知解推广到P(2,32)。

锻炼。改编经典搜索算法或发明自己的算法算法X仅生成给定n的平面解。

末端运行平面解决方案

罗里·莫利纳里(Rory Molinari)探索了平面度的变化,允许连接线绕过布置的末端,以避免交叉。请参阅其页面上的“结束跑步”部分[链接].

末端管路平面解决方案

哥伦比亚变体

哥伦比亚的一个变体——必须使用一个“哨兵对”,每个对之间只能有一个数字!我们称之为哥伦比亚变体.

哥伦比亚变体显示哨兵对

坦顿的椅子

10个学生围成一圈坐着。一个学生可以顺时针移动1个位置,一个学生顺时针移动2个位置,另一个学生逆时针移动3个位置,依此类推,直到第十个学生顺时钟移动10个位置(回到自己的座位上),最后每个座位上还有一个学生2018年12月30日,@jamestanton发了推文。

学生们坐成圆形。。。

随后进行讨论!Tanton的椅子和Langford Pairs一样吗?查看我的调查坦顿的椅子.

枚举

与枚举有关的节。。。

解决方案表

经典问题和已知变量的解决方案表。[]

贡献者

贡献者列表(适用于谷歌):安德鲁·伯克,Assarpour-Liu团队,贝尔纳多·雷卡曼·桑托斯,鲍里斯·迪米特洛夫,C.达德利·朗福德,戴夫·摩尔,唐纳德·克努思,E.J.Groth,弗兰克·拉斯基,弗雷迪·巴雷拉,弗雷德里克·格罗斯,Glen F.Stahly,约翰·博伊尔,约翰·米勒,Krajöcki团队,马尔科姆·霍尔杰,迈克·戈弗雷,理查德·诺布尔,罗伯特·史密斯,Ron van Bruchem,罗里·莫利纳里,罗伊·戴维斯,斋藤和哈亚斯卡,托马斯·斯塔伯德。

贡献者及其贡献详细表:[]

构建单一解决方案

假设您希望看到n=100的一个解决方案为了你自己的满意。

在一篇论文中,Roy O.Davies给出了构建单个的解决方案任何有效n。使用此模式,计算机程序可以立即生成n=40000或其他较大数字的解决方案。有关一些示例,请参阅下面的图形部分。A类Perl程序包括在内供您检查/参考。

Dave Moore提交一种方法根据他所观察到的,为你的启迪。您可以在graphical上看到他的方法的图形表示陈述页面如下。[只需将图形添加到dave-moore-html即可!]

斯蒂芬·斯卡特古德(Stephen Scattergood)对戴夫·摩尔(Dave Moore)的方法做出了贡献(努力完成它),并分析了平面解。[应该在这里更好地总结史蒂夫的工作!]Scattergood说:通过研究这个问题,人们学到了很多。。。不一定能解决很多问题,但可以解决很多你尝试使用的方法。

奇偶校验是可解性的关键

一对数1,1,2,2,3,3,…的排列。。。n、 n将有2n个位置,编号为1..2n。一半的位置将被奇怪地编号,另一半将被均匀地编号。

偶数对将占据奇数位置一个均匀的位置,无论这对搭档在哪。例如,如果左2位于位置1,则右2必须位于位置4。这是令人鼓舞的平衡平价!

然而,奇数对将采用两个奇数位置或两个偶数位置。因此,奇数对必须成对出现才能保留奇偶校验如果有希望全面覆盖所有位置。所以,必须有偶数个奇数对。只有当n是3、4、7、8、11、12、15、16。。。,4米-1,4米。

锻炼。这是否意味着一半的奇数对必须位于偶数位置,一半位于奇数位置?这对偶数对意味着什么?

朗福德机器动画

显示一个假设朗福德机器找到n=7(七对彩色块)的一个解。

YouTube上的Langford Machine动画

点击图片激活YouTube视频。找到第一个解决方案后,机器停止。机器状态为:

1初始化F成对测试配合S换档O测试溢出(到达移位寄存器的末尾)I插入对R删除配对(返回移位寄存器)P将堆栈弹出到移位寄存器的位置1U将对推回对堆栈Z倾向(终止)

通过删除较低的对并继续搜索,可以找到连续的解决方案。请参阅我下面的算法注释中的“基于数组的非递归算法”部分。

算法解决方案注释

在本页中,详细介绍了朗福德序列。[算法解决方案注释]

图形表示

在这个页面上,您将看到代表朗福德序列。[图形表示]例如,下图将19的状态显示为那是1997年1月30日。蓝色代表偶数,黄色代表奇数。

表示n=19解决方案的嵌套小门

哥尼斯堡大桥?

这是一个有趣的8对块的路径图[5286235743681417]。不要穿过黑线-按照红色箭头。注意两个4号之间有4个街区的循环,依此类推。这就像是在一个城市里旅行,而不必走过任何一座桥!

平面图中的奇异循环

上面的图表是我在G4G11上演讲的一部分。(请参阅下面的我的G4G11演讲和论文。)

力定向图

朗福德图有2n个节点和3n-1条边。该图将有2个2级节点和2n-2个3级节点。这是因为两个端块要么有左连接,要么有右连接(不是两者都有),再加上每个端块都有一条边作为它们的孪生边,形成两条边。内部块都有一个左、右和配对边,用于三条边。

单击下面的以播放Q(2,12)的Q平面解的力定向图。

力定向图

L(2,11)的溶液如上所示。你能说出哪个点代表两个端块吗?

非常奇怪的观察

这关系到获取L(n,2)的第一个解。N=39和N=47需要数十亿次操作,而其他n只需要数百或更少。为了让事情变得更奇怪,相邻n有时需要精确的操作次数才能达到第一次解决方案,即使它不可能是同一个搜索树。(或者可以吗?)。[非常奇怪的观察]

基于朗福德问题的艺术、音乐、神秘和困惑

朗福德被子:由于三元组的部分重叠,黄色的被子在一起。

朗福德问题的硬件

对于我在WSU(1972)的毕业论文,我设计(但没有构建)了一个序列用于搜索算法的逻辑电路。

日本宫城理工学院斋藤和坂设计建造用于检查解决方案是否存在的专用计算机各种高阶元组。他们的结果值得怀疑!参见参考文献。

20世纪60年代,E.J.Groth使用朗福德对构造整数乘法电路。需要参考!Knuth在他的第4a卷中提到。

C.D.朗福德传记

查尔斯·达德利·朗福德于1905年10月16日出生于伦敦附近的海盖特。他12岁时感染了脊髓灰质炎。

朗福德最初是一名工业化学家,也是英国皇家化学学会的成员。他成为一名充满激情的数学老师,思考各种数学问题,在《数学公报》上发表了30条注释。他与Martyn Cundy合著了一篇关于铰链解剖的论文,并与Harry Lindgren通信。后来,他搬到了苏格兰的埃尔希尔。

1967年和1968年,我们一直在努力解决朗福德使用电脑的问题,当时我们几乎不知道他正在死去。1969年1月11日,他在吉尔万去世,享年63岁。他的儿子查尔斯·安德鲁·兰福德于1938年出生于吉文。朗福德被埋葬在苏格兰艾尔郡的吉尔万,位于东杜恩(吉尔万)公墓。

尚不清楚朗福德自己是否通过一个基于LP的拼图游戏赚钱。

参考书目和其他注释

这个参考文献在另一页上。单击以访问该页面。

可能性的证明利用了排列中成对的位置及其必要的分隔。要使其全部成立(整数),n的形式必须为4m或4米-1。

罗伊·戴维斯(和其他人)的论文给出了构建任意给定n的单个langford序列(排列),作为示例解不仅是可能的定理的(构造)证明但n的每个可行值至少存在一个。

马丁·加德纳在年重温朗福德的问题数学魔术表演由ISBN的Alfred A.Knopf出版0-88385-449-X,第一版和第二版。

《计算机编程艺术》(TAOCP)第一卷于1968年出版。TAOCP第4a卷(第7章),组合搜索,用朗福德问题来说明!

我的G4G11演讲和论文

这是我在G4G11上提交的PDF文件,兰福德问题,混合:[PDF](PDF格式).

以下是我关于朗福德问题的12分钟G4G11演讲视频:

兰福德问题,混合

我将在G4G14上提交的论文的PDF,Langford问题带来更多乐趣:[PDF将于2022年3月发布].

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约翰·米勒,俄勒冈州波特兰市。

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