细节

快照1:step函数的图形和不使用zeta零的公式

快照2：图形以及使用30对zeta零的公式

快照3：一个特写显示没有zeta零的公式错过了，但当使用40对零时，公式非常匹配

本演示使用以下公式计算:

,

哪里是黎曼zeta函数的复零点。参见[1]。

zeta函数的前三个复数零点近似为,、和。零出现在共轭对中，因此如果是零，那么也是重要的黎曼假设是一个未经证实的猜想，即所有这些复零点都有实部1/2。到目前为止，已经证实复数零确实有实部1/2（见[3]）。

如果您使用滑块选择一对zeta零，那么上述公式中的第一个和实际上是与第一对共轭zeta零对应的两个项的组合和因此，当这些术语相加时，它们的虚部会抵消，而实部会相加。这个应用于第一个和是将每对zeta零的两个项组合在一起的有效方法。

请注意，第二个和的形式与第一个相同，只是第二个总和延伸到zeta函数的所谓“平凡”零点上，即，第二笔金额很小，当很大。

公式中的主导项为，它是无平方整数的密度，即整数的极限比例是平方自由的方法.

所有已知的zeta零点都有重数1，这是公式假设的。在这些值哪里跳转自到，公式收敛到中点，，作为接近无穷大。

当我们在第一个和中包含更多的zeta零时，我们会更紧密地复制step函数中的跳跃这意味着黎曼zeta函数的零点不知怎么知道哪些整数可以被素数的平方整除。

要证明上述公式，请参见[3]。定义为1，如果是平方自由的，否则为0。那么这个身份就成立了（见[2]）：

.

当我们将佩伦公式应用于这个恒等式时，我们得到了上面的等式.

参考文献：

[1] X.古尔登，“黎曼-泽塔函数的10^13第一零点和超大高度的零点计算。"

[2] G.H.Hardy和E.M.Wright，数论导论第四版，牛津：牛津大学出版社，1965年，第255页。

[3] H.L.Montgomery和R.C.Vaughan，乘数理论：一、经典理论，剑桥：剑桥大学出版社，2007年，第397页。