光滑实函数空间的分歧集

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左图显示了多项式平面上的完全分叉它由两个超曲面组成。第一个以蓝色显示,称为苛性碱,由具有退化临界点的多项式组成(一阶导数和二阶导数在同一点消失)。第二个以红色显示,称为麦克斯韦集合,由临界值一致的多项式组成。全分岔集将平面划分为七个等价多项式分量。右边的图显示了定位器在左边的图中选择的多项式的图形,也可以选择显示其一阶和二阶导数的图形。

贡献者:安德烈·科兹洛夫斯基 (2012年9月)
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快照


细节

本演示中考虑的示例说明了光滑实函数奇点理论中的一些基本概念,摘自[1]第7页。

两个功能如果它们可以通过自变量和因变量的平滑变化相互转换,则被认为是等价的。函数的临界点是函数导数消失的点。如果该点的第二个微分是非退化二次型(对于,这仅仅意味着二阶导数不为零)。

在所有函数的函数空间中,退化函数(包含退化临界点的函数)形成一个超曲面(余维1的子流形),称为分支集,通常由不同维的光滑流形以特殊方式相邻组成。

全分岔集由焦散集(在相应的光学问题中,它是光集中的点集)和麦克斯韦集(由于相变理论中的麦克斯韦规则:某些函数的两个临界值的重合)组成。

一个典型的函数只有非退化临界点,其局部结构完全由莫尔斯引理描述。从全局上看,临界点集并不决定函数是否等价。然而,如果我们去掉全部分岔集,那么同一分量中的两个函数是等价的。全分叉集由六个点和10个区间(两个无限区间)组成。

由于光滑函数及其分岔集是无限维的,因此很明显不可能在计算机上演示它们的完整空间。相反,我们可以用一种方法来说明有限维子空间,这种方法可以捕获位于特定余维的分叉集部分的性质。这里考虑的多项式空间是光滑函数空间的一个双参数子空间:它是这个无限维空间的二维子流形。这里考虑的多项式空间与全分支集的交集是横向的。这意味着本演示中的分岔集图也提供了位于余维小于或等于2的层中的函数空间分岔集奇点的正确图。

参考

[1] V.I.阿诺德,奇点理论及其应用纽约:Lezioni Fermiane,1993年。



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