多对数幂级数的收敛性

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证明了幂级数族的收敛性.单位圆盘上哪一个收敛于解析函数. 左边的图形显示了部分和逼近的图形,右边的图是解析函数,这是级数的极限。两个表面上的小黑点代表单位圆盘上相同复数的对应图像,通过改变它的模数和参数(最低两个控件),可以在单位圆盘周围移动。通过增加截断参数,可以使误差的模数(差值)和近似)任意小,除了在级数不收敛的边界上的点。

贡献:安德烈杰克科茨洛夫斯基γ(2011年3月)
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快照


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左边的图形显示了部分和的绝对值的图。,那里的价值由参数“截断”控制。函数的参数的值反映在图的色相中。右边的图形(你可以隐藏以加速更新)显示了极限函数的图。. 当所有的级数收敛在单位圆盘的内部时,边界上的行为取决于. 该系列从未收敛于边界,因为它在任何地方汇聚,除了为了它无处不在。在这种情况下截断参数的大值引起出现在边界处的不连续性的图(参见第一快照)。部分和定义的函数当然是连续的,明显的不连续性是由于数值不稳定性。

这一论证的灵感来源于一部分数学软件程序〔1〕。

参考

〔1〕W. T. Shaw,用Mathematica进行复杂分析剑桥:剑桥大学出版社,2006。



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