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这个演示解决了第一类贝塞尔方程问题。该方程适用于弹性圆形薄膜,由极坐标系下的偏微分方程控制:
.
在这里,是坐标和时间的函数,是垂直位移和,一个与坐标和时间无关的常数,由膜的密度和张力决定。初始条件是和,.
在这个例子中,我们假设圆对称。因此可以从方程中删除项,得出贝塞尔方程的传统形式:
使用变量分离和分离常数将问题简化为两个常微分方程:
,
这些常微分方程的解是使用[1]中概述的常微分方程系列解的技术来完成的。一般解决方案的形式如下:
确定常数的边界条件,,、和是那个吗,意味着函数在周长上消失第一类贝塞尔函数,,可以用级数表示
然后使用,,等于,满足边界条件的解由下式给出
具有
贡献者:斯蒂芬·威尔克森 (2011年3月) (美国西点军校数学系)开放内容授权于抄送BY-NC-SA
这个例子来自[1],以及第8.7章中关于级数解和贝塞尔方程的讨论。另请参阅第10.5章。
参考
[1] J.R.Brannan和W.E.Boyce,带边值问题的微分方程:现代方法和应用简介纽约:John Wiley and Sons出版社,2010年。
斯蒂芬·威尔克森 “使用贝塞尔函数级数的边值问题” http://demonstrations.wolfram.com/BoundaryValueProblemUsingSeriesOfBesselFunctions公司/ Wolfram示范项目发布日期:2011年3月7日
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