\文档类[11pt，请求号]{amsart}%\集合长度{\hoffset}{-.5in}\集合长度{\voffset}{-.25in}%\连字符{斐波纳契}\邋遢的\使用包{amssymb，latexsym}\使用包{graphicx}\usepackage{url}%对url进行了很好的格式化\文本宽度=6.175英寸\textheight=9.0英寸\头部高度=13pt\钙粘土\标记字母\新命令{\monthyear}[1]{%\def\@monthyear{\大写{#1}}}%\def\@monthyear{\大写{Month-Year}}}\新命令{\volnumber}[1]{%\定义\@volnumber{\大写{#1}}}%\def\@volnumber{\大写{Volume，Number}}}\在BeginDocument处{%\定义\ps@普通{\ps@空\def\@oddfoot{\@monthyear\hfil\thepage}%\def\@evenfoot{\thepage\hfil\@volnumber}}\定义\ps@第一页{\ps@普通}\定义\ps@标题{\ps@空\def\@evenhead｛%\setTrue{运行头}%\def\谢谢{\protect\谢谢@警告}%\大写{The Fibonacci Quarterly}\hfil}%\定义\@oddhead{%\setTrue{运行头}%\def\谢谢{\protect\谢谢@警告}%\hfill\uppercase{超几何模板}}%\让\@mkboth\mark both\定义\@evenfoot{%\页面\hfil\@volnumber}%\定义\@oddfoot{%\@月\hfil\thepage}%}%\足迹=25pt\页面样式{标题}%}\制造者\新命令{\R}{{\mathbb R}}\新命令{\Q}{{\mathbb Q}}\新命令{\C}{{\mathbb C}}\新命令{\N}{{mathbb N}}\新命令{\Z}{{\mathbb Z}}\新命令{\minuse}{\scalebox{0.75}[1.0]{$-$}}\newcommand｛\Mod｝[1]｛\（\mathrm｛Mod｝\#1）｝%$\粗体符号{F_n}$%有时需要写85-90\理论风格{普通}\{方程式}{截面}中的数字\新定理{thm}{定理}[段]\新定理{定理}[thm]{定理\新定理{引理}[thm]{引词}\新定理｛example｝〔thm〕｛example｝\新定理{definition}[thm]{definition}\新定理{命题}[thm]{命题\新命令｛\helv｝｛%\fontfamily{phv}\fontseries{m}\fontsize{9}{11}\selectfont}\开始{文档}%%用正确的信息替换下面三行中的值\月份{月份}\卷编号{卷，编号}\设置计数器{page}{1}\title{超几何模板}\作者{卡尔·迪尔彻}\地址{数学与统计系\\达尔豪西大学\\新斯科舍省哈利法克斯\\B3H 3J5，加拿大}\电子邮件{dilcher@mathstat.dal.ca}\谢谢{加拿大自然科学与工程研究委员会和西西里岛皇帝腓特烈二世部分支持的研究。}\作者{Leonardo Pisano}\地址{Dipartitmento di Matematica\\比萨大学\\144 Via Fibonacci路\\56127意大利比萨}\电子邮件{leo@dm.unipi.it}\开始{abstract}此试卷在文档类\textbf{amsart}中排版，没有任何其他样式文件。字体大小和文本大小为易于更改；这里是11pt和6.175美元乘以9.0美元，分别是。这似乎与目前的格式非常接近的\textit{季度}---?.如果我们决定在文本{斐波那契季度}，我认为这是一个好主意，它将看起来像这样这种格式。%\空间{-3pc}\结束｛摘要｝\制作标题\章节{引言}这是第一个作者，仅供演示之用。就目前情况来看，它不会感觉；有关真实情况，请参阅\textit{the Fibonacci Quarterly}\textbf{38}（2000），342--363。测试{\helv-font命令}以查看其是否有效。超几何函数是纯数学和应用数学，它们包含了最特殊的函数，包括切比雪夫多项式。还有切比雪夫多项式和序列之间众所周知的联系与斐波那契数有关的数和多项式。然而，据我所知，除了一个小例外，直接联系斐波那契数和超几何函数之间以前建立或利用的。本文的目的是简要阐述超几何函数，只要与斐波那契和同源序列。有限形式的各种表示涉及二项式系数的和和无穷级数为获得。虽然其中许多人都很有名，但也有一些身份出现成为新的。超几何函数方法同样适用于其他序列，尤其是Lucas、Pell和相关的Pell编号和多项式，以及更一般的二阶线性递归序列。然而，除了最后一节，我们将限制我们对斐波那契数的关注，因为它是最突出的二阶递推的例子。\{超几何函数}节几乎所有数学和数学物理是高斯的特殊情况超几何级数}由定义\开始{方程式}\标签{1}_2F_1（a，b；c；z）=\sum_{k=0}^\infty\frac{（a）_k（b）_k}{（c）_k{\frac｛z^k｝｛k！｝，\结束{方程式}其中\textit{递增阶乘}$（a）k$由$（a=1美元和\开始{方程式}\标签{2}（a） _k=a（a+1）\cdots（a+k-1），\quad（k\ge 1），\结束{方程式}对于任意$a\in\C$。当$c=\-m$，其中$m=0、1、2、\ldots$，除非$a$或$b$等于$\减去n$，$n=0，1，2，\ldots$，以及$n<m$。它也很容易看到序列\eqref{1}简化为$n$in次多项式$z$当$a$或$b$等于$\减去n$，$n=0，1，2，\ldots$时。总共其他情况下，级数的收敛半径为1；以下是来自比率测试和\eqref{2}。由级数\eqref{1}称为高斯超几何函数。什么时候？没有与其他类型的超几何混淆的危险序列，\eqref{1}通常简单地表示为$F（a，b；c；z）$和分别称为超几何级数。功能。超几何级数的大多数性质可以在著名参考著作\引用{abram}、\引用{magnus}和\引用{erdelyi}（按完整性的递增顺序）。的证据可以找到许多更重要的属性，例如\引用{rainville}；另请参阅重要著作\cite{bailey}和\引用{slater}。在这一点上，我们只提到了特殊情况\开始{方程式}\标签{3}F（a，b；b；z）=（1-z）^{减a}，\结束{方程式}二项式公式。情况$a=1$产生几何级数；这就产生了术语textit{超几何}。根据需要，更多属性将在后面的章节中介绍出现。\部分｛斐波那契数｝我们将在斐波那契数和超几何函数。第一个是比奈公式\开始{方程式}\标签{4}F_n=\frac{1}{\sqrt 5}\left[\left（\frac{1+\sqrt 5}{2}\right）^n-\左（\frac{1-\sqrt 5}{2}\right）^n\right]，\结束{方程式}这让我们可以使用身份\开始{方程式}\标签{5}F \左（a，\压裂{1}{2}+a；\压裂{3}{2{；z^2\右）=\裂缝{1}{2z（1-2a）}\左[（1+z）^{1-2a}-（1-z）^}1-2a{\右]\结束{方程式}（参见，例如，引用{abram}，（15.1.10））。如果我们取$a=（1-n）/2$，$z=\sqrt 5$，并将\eqref{5}与\eqref{4}进行比较，我们得到\开始{方程式}\标签{6}F_n=\压裂{n}{2^{n-1}}F\左（压裂{1-n}{2}，压裂{2-n}{2}；\裂缝{3}{2}；5\右）。\结束{方程式}请注意，数字$（1-n）/2$、$（2-n）/2$s中的一个始终是$n\ge1$的负整数（或零），所以\eqref{6}实际上是一个有限和，我们不必担心收敛（不过，请参见，以下备注（4.28））。我们的第二种方法是通过众所周知的斐波那契数和第二类切比雪夫多项式，即\开始{方程式}\标签{7}F_n=（\minus i）^{n-1}U_{n-1{左（\frac{i}{2}右）。\结束｛方程式｝\开始{居中}\开始{tablar}{c|c|c| c|cc|c}\hline$z$&$\frac{z}{z-1}$&$1-z$&$1-\frac{1}{z}$&$\压裂{1}{z}$&$\压裂}1}{1-z}$\\hline\hline$5$&$\frac{5}{4}$&$\-4$&$\frac{4}{5}$&$\ frac{1}{5{$$\minus\frac}{1}}{4}$\\hline$\frac{5}{9}$&$\minuse\frac{5%{4}$&$\frac}4}{9{$$\minose\frac{4}{5}$&$\压裂{9}{5}$&$\压裂}{4}$\\hline$\frac{1+\sqrt5}{2}$&$\frac｛3+\sqrt 5｝｛2｝$&$\frac｛1-\sqrt 5｝｛2｝$&$\frac｛3-\sqrt5} {2}$&$\frac{\-1+\sqrt5}{2}$&$\frac{\-1-\sqrt5}{2{$\\hline$\frac{2-\sqrt 5}{4}$&$9-4\sqrt 5$&$\frac{2+\sqrt 5%}{4{$&$9+4\sqrt 5$&$\减去8-4\sqrt 5$&$\减去8+4\sqrt 5$\\hline\结束{表格}\结束{中心}\开始{居中}表1。可能的参数\结束{中心}\第{节线性和二次变换}列表中的下一个线性变换公式在\cite{abram}中，第559页，是\开始{方程式}\开始{split}F（a，b；c；z）&=\frac{\伽马（c）\Gamma（c-a-b）}{\伽玛（c-a）\Garma（c-b）}F（a、b；a+b-c+1；1-z）\\&+（1-z）^{c-a-b}\frac{\Gamma（c）\Gamma（a+b-c）}{\Garma（a）\Gamma（b）}F（c-a，c-b；c-a-b+1；1-z）\\\结束{拆分}\结束{方程式}然而，由于$a+b-c=\-n$in\eqref{6}分子未定义。相反，我们必须使用公式（15.3.11）引用{亚伯拉罕}，第559页，在特殊情况下，其中$a$或$b$是负整数，$m$是非负整数成为\开始{方程式}\标签{8}F（a，b；a+b+m；z）=\分形{\伽马（m）\Gamma（a+b+m）}{\伽玛（a+m）\伽马（b+m）}F（a，b；1-m；1-z）。\结束{方程式}（关于一般情况，请参见{abram}，（15.3.11），第559页）。这个，应用于\eqref{6}，给出\开始｛等式｝\标签｛9｝F_n=F\左（\压裂{1-n}{2}，\压裂{2-n}{2]；1-n；\减4\右）。\结束{方程式}这里，我们使用以下公式评估了（4.7）中的伽马项$\Gamma（z）$的复制公式（参见，例如，\cite{abram}，第256页）：\[\开始{split}\压裂{\伽马（m）\伽马\伽马（\frac｛3｝｛2｝）｝｛\Gamma（\frac｛n｝｛2｝+\frac｛1｝｛2｝）\伽马（\frac｛n｝｛2｝+1）｝\\&=\frac{（2\pi）^{\-1/2}2^{n-1/2}\伽马（\frac}n}{2}）\伽马（压裂{n}{2}+\压裂{1}{2{）（\frac｛n｝｛2｝+\frac｛1｝｛2｝）\frac｛n｝｛2｝\Gamma（\frac｛n｝｛2｝）｝=\裂缝{2^{n-1}}{n}。\结束{拆分}\]另一个类似于（4.6）的转换公式是\开始{方程式}\标签{10}\开始{split}F（a，b；c；z）&=\frac{\伽马（c）\Gamma（b-a）}{\伽玛（b）\Garma（c-a）}（\减号z）^{\减号a}F\左（a，1-c+a；1-b+a；\ frac{1}{z}\右）\\&+\frac{\伽马（c）\Gamma（a-b）}{\伽玛（a）\Garma（c-b）}（\-z）^{\-b}F \左（b，1-c+b；1-a+b；\ frac{1}{z}\右）。\结束{拆分}\结束{方程式}\第{节不可约性结果}本节摘自第一作者的另一篇论文，来说明“定理”和“证明”环境。\开始{命题}\标记{A}对于任意一对非负整数$r$和$s$，多项式对于所有素数$p>r+s+1$，$B_{p-（r+s+1）}^{（r，s）}（x）$都是不可约的。\结束{命题}\开始{proof}对于$r=s=0$，这是Carlitz\cite{carlitz1}的结果。让我们现在$w=r+s+1>1$，并让$d_p^{（r，s）}$表示最小公倍数$B_0^{（r，s）}，\ldots，B_{p-w}^{。由我们拥有的关系\eqref{2}\开始{方程式}\标签{11}d_p^{（r，s）}x^{p-w}B_{p-w{^{=\和{k=0}^{p-w}\binom{pw}{k}d_p^{（r，s）}B_k^{，\结束｛方程式｝很明显，这个多项式有整数系数。现在，通过命题5.3我们知道$B_k^{（r，s）}$是$0的$p$-积分\lek<p-w$，并且$\alpha-p^{（r，s）}（p-w）=1$。因此$p\垂直d_p^{（r，s）}$。因为$p$不除以二项式在（6.1）中的系数，我们可以看到多项式不能被$p$整除，所有其他系数为可被$p$整除，但常数系数不可被整除$p^2美元。因此，艾森斯坦的不可约性标准适用，并且（6.1）中的多项式，以及$B_{p-w}^{（r，s）}（x）$，如下所示不可简化的。\结束{proof}\开始{书目}{99}\围兜{abram}M.~Abramowitz和I.~A.~Stegun，\emph{数学手册职能}，国家标准局，1964年。\bibitem{阿加瓦尔}A.~K.~Agarwal，\emph{关于一种新的数字}，斐波那契数列季刊，\textbf{28.3}（1990），194-199。\bibitem{安德烈}R.~安德烈{e} -珍妮，\emph{广义复数斐波那契和卢卡斯函数}，《斐波纳契季刊》，textbf{29.1}（1991），13-18。\围兜{bailey}W.~N.~Bailey，\emph{广义超几何级数}，剑桥剑桥大学出版社，1935年。\bibitem{bruckman}（布吕克曼）P.~S.~Bruckman，\emph{关于复合函数的生成系数}，斐波纳契季刊，\textbf{15.3}（1977），269--275。\双项目{carlitz1}L.~Carlitz，\emph{关于Bernoulli和Euler不可约性的注记多项式}，杜克数学~J.，\textbf{19}（1952），475--481。\围兜L.~Carlitz，\emph{布鲁克曼的一些身份}，斐波那契季刊，\textbf{13.2}（1975），121-126。\bibitem{erdelyi}答：Erd{e} 赖伊语等，\emph{高等先验函数}，第1卷，麦格劳-希尔图书公司，纽约，1953年。\圣经圣经W.~Magnus、F.~Oberhettinger和R.~P.~Soni，\emph{公式和数学物理特殊函数的定理}，第三版本，施普林格出版社，柏林，1966年。\bibitem{rainville}E.~D.~Rainville，\emph{特殊功能}，切尔西出版社~布朗克斯郡，纽约，1971年。\双项{slater}L.~J.~Slater，\emph{广义超几何函数}，剑桥剑桥大学出版社，1966年。%OEIS可以通过下列两种方式之一进行选址。\bibitem{oeis}OEIS Foundation Inc.~（2021），整数序列在线百科全书，\url{网址：https://oeis.org}.\bibitem{要么或}OEIS Foundation Inc.~（2021），整数序列在线百科全书，\url{https://oeis.org/A000045}.\结束{书目}\梅德斯基普\noindent MSC2020：11B39、33C05\结束{文档}