具有给定跟踪和子跟踪的四元Lyndon单词
千澳元林登语是由字符$\{0,1、\ldots、k-1\}$组成的字符串。它必须是非周期的（不等于任何非平凡的旋转），并且在其旋转中是词典编纂最少的。这里我们考虑长度为$n$Lyndon单词$a_1a_2\ldots a_n$的数字$L（n；t，s）$，位于具有跟踪$t$和子跟踪$s$的字母表$\{0,1，\ldot，k-1\}$上，其中$k=4$。这个追踪Lyndon单词的数字mod$k$之和，即$t=a_1+a_2+\cdots+a_n\pmod{k}$。这个次径迹是mod$k$中所有$n（n-1）/2$对数字的乘积之和，即$s=sum{1\leqi\ltj\leqn}a_ia_j$。
|
| （跟踪，子跟踪） |
| n美元$ | (0,0) | (0,1) | (0,2) | (0,3) | (1,0)
（3.0） | (1,1)
(3,1) | (1,2)
(3,2) | (1,3)
(3,3) | (2,0) | （2，1） | (2,2) | (2,3) |
| 1 |
1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
|---|
| 2 |
0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
|---|
| 三 |
1 | 2 | 0 | 2 | 2 | 0 | 2 | 1 | 1 | 2 | 0 | 2 |
|---|
| 4 |
1 | 6 | 1 | 6 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 0 | 6 |
|---|
| 5 |
11 | 16 | 8 | 16 | 8 | 16 | 11 | 16 | 11 | 16 | 8 | 16 |
|---|
| 6 |
44 | 45 | 36 | 40 | 32 | 53 | 32 | 53 | 45 | 36 | 40 | 44 |
|---|
| 7 |
169 | 128 | 160 | 128 | 128 | 169 | 128 | 160 | 169 | 128 | 160 | 128 |
|---|
| 8 |
588 | 448 | 548 | 448 | 512 | 512 | 512 | 512 | 576 | 440 | 576 | 440 |
|---|
| 9 |
1948 | 1706 | 1920 | 1706 | 1948 | 1706 | 1920 | 1706 | 1948 | 1706 | 1920 | 1706 |
|---|
| 10 |
6560 | 6528 | 6496 | 6579 | 6963 | 6144 | 6963 | 6144 | 6579 | 6560 | 6528 | 6496 |
|---|
| 11 |
23133 | 24576 | 23040 | 24576 | 24576 | 23040 | 24576 | 23133 | 23133 | 24576 | 23040 | 24576 |
|---|
| 12 |
84565 | 90110 | 84565 | 90110 | 87380 | 87380 | 87380 | 87380 | 84820 | 90046 | 84480 | 90004 |
|---|
| 13 |
317755 | 327680 | 317440 | 327680 | 317440 | 327680 | 317755 | 327680 | 317755 | 327680 | 317440 | 327680 |
|---|
| 14 |
1198336 | 1198665 | 1197824 | 1198080 | 1179648 | 1217097 | 1179648 | 1217097 | 1198665 | 1197824 | 1198080 | 1198336 |
|---|
示例
跟踪1、子跟踪2和长度3的两个4元Lyndon单词是$\{023032\}$。跟踪3、子跟踪3和长度4的四个四元Lyndon单词是$\{0111013303130331\}$。跟踪2、子跟踪3和长度4的6个4元Lyndon单词是$\{0123、0132、0213、0231、0312、0321。枚举（OEIS）
- 如果$n$是奇数或$t$是奇数或$t=0\pmod{4}$且$s$是奇值或$t=2\pmod}$且$s$是偶数，则上述数字为\[L（n；t，s）=\frac{1}{n}\sum_{j=0,1,2,3}\sum_{d\vertn\\d=2j+1\pmod{8}}\mu（d）s（n/d，（-1）^jt，（-1）^js-jt^2），\]其中$S（n；t，S）$是带跟踪$t$和子跟踪$s的四元字$.在$t$为奇数的情况下，此公式可以简化为\[L（n；t，s）=\frac{1}{n}\sum_{\substack{d\vertn\\d=1,3\pmod{4}}\mu（d）s（n/d，dt，ds-（d-1）/2）。\]
- 列（0,0）为OEIS公司A068596.
- 列（0,1）为OEIS A074403公司.
- 列（0,2）为OEIS A074404公司.
- 列（0,3）为OEIS公司A074405.
- 列（1,0），（3,0）为OEIS A074406公司.
- 第（1,1）、（3,1）列为OEIS公司A074407.
- 第（1、2）、（3、2）列为OEIS A074408公司.
- 柱（1,3），（3,3）为OEIS A074409公司.
- 列（2,0）为OEIS A074410公司.
- 列（2,1）为OEIS A074411公司.
- 第（2,2）列为OEIS A074412公司.
- 第（2,3）列为OEIS公司A074413.