Pi的简单连分式展开

给我看看图片!

早在20世纪60年代，L.W.Singer公司（兰登书屋）出版了一系列针对高中生的书籍，称为新建数学图书馆在二十多个冠军中，有伊凡奈文的数字：有理数和无理数，以及他的数学可供选择的，P.J.戴维斯大数之谜、牡蛎矿石数字理论邀请函Ross Honsberger的精彩表现独创性数学专业和C.D.Olds’连续分数.

正是这最后一个标题教会了我一些关于连分数-以以下形式书写的数字：a0+b1/（a1+b2/（a2+b3/（a3+…））。在“简单”连分数中，所有的b为1，数字可以重写为[a0；a1，a2，a3，…]。在书中提到pi=[3；7、15、1、292、1、1…].采取仅前四项，我们可以将pi近似为3+1/（7+1/（15+1/1））= 3 + 1/(7 + 1/16) = 3 + 1/(113/16) = 3 + 16/113 =355/113.这个是一个很好的近似值，（中国数学家）祖知道公元500年之前的崇治欧洲人不会提及这一分数再过1000年！

关于连分数的有趣事情之一（无理）数的扩展是指它们在某种意义上是基独立的。而不是无休止地重复我们所代表的基数的数字数字（以10为基数的数字0-9），我们得到“整数”：1、2、3等-如你所愿。所以我们发现一个相对较大的“292”在pi的简单连分式形式中相当早。其他大的可能有数字？它们有多常见？

C.D.Olds实际上给出了23个简单连词π的分数膨胀，在1984年末，我抱怨这个（缺乏数据）至马丁加德纳，然后是数学游戏专栏作家科学美国人加德纳先生告诉我，一位比尔·戈斯珀数千个这样的条件，并且很好地为我提供了戈斯珀先生的地址。

高斯珀是的作者之一哈克姆.我听说过他，因为他在康威的滑翔机上发现了第一把滑翔枪非凡的“游戏生命的意义”1977年8月19日星期五，他制造了一台电脑204103π的简单连续分数形式的项。当我问的时候他要了一份复印件，他很好地给我寄了一份205页打印输出的XEROX。

在接下来的几年里，我翻阅了打印稿，筛选例如，输出第一次出现的数字并尝试量化它们出现的相对频率。[A.Ya.Khinchin写了一篇连续分数唉，这本1935年的书没有翻译成1961年之前一直使用英语。在书中，他为出现次数频率这是一项艰巨的工作，我很快就厌倦了——认识到总有一天，这一切可能更容易通过“个人”的方式实现计算机。

1985年，Bill Gosper继续计算17001303个术语pi的简单连分式展开。当然其他人是将圆周率已知的小数位数推向十亿位但是，尽管这些尝试经常引起媒体的关注，我还是没有被打动。到1995年，我只能计算出微不足道的10000项在我的旧Macintosh上使用Mathematica。主要原因是记忆力不足阻碍进步。那年，我查阅了比尔·戈斯珀的电子邮件，问他计算的电子版本。他回答说：“我只是丢失了17000000张磁盘。当我买了一个新的，我们会看看我的旧的有多好备份磁带有效。”

何时数学4来了1999年5月，我立即下令升级。难以置信的是，他们合并了连续分数功能融入身体程序（它以前驻留在一个附加包中），在我第一次尝试时，我在我的G3/300/384上，我能想出1000万个pi项。下一步我计算了1700万。最后，在玩各种较大的值时，我设法在不耗尽内存的情况下获得了2000万个术语。计算耗时6小时，生成了一个62 MB的输出文件。西蒙·普劳夫普劳夫逆变器相信2000万这些条款是一个记录，而且很友好，给了他们网络空间，尽管如此链接有一段时间没有运行。

一年后，RAM翻倍使我能够计算4000万条款。2000年10月，一台配备千兆字节的iMac DV的RAM在不到20小时的时间内产生了5300万个术语。[关键的MathKernel注册为976.6 MB。尝试在OS X Beta中运行MathKernel（在“经典”环境），注册容量超过990 MB，证明在寻找更多术语方面无关紧要。]

设[0；1，2，3，4，5，…]表示连分数项[3；7，15，1，292，1，…]，或（也许更好）把这些词想象成去掉了首字母“3”。然后是“第一个正整数的出现指数为：{3,8,10,29,39，31, 1, 43, 129, 99, ...}. 给出了该序列的完整3131项在这里这是斯隆的一个微小变化A032523号.

当然，并非每个整数都会出现一次，但次数不限。所以我设计了一个稍微加速的sequence：正整数的“第n个出现指数”（即第一次出现“1”，第二次出现“2”，第三次出现出现“3”等）：{3，13，38，87，188，192，145，616，857，873，...}. 这个序列的完整421项是在这里.

第一个比率的图片前64个数字的“预期”值出现32次：

嗯，这只是一个“指纹”。人们可以通过计算给定数字的几何平均值来进行不同的计算项（本例中最多20000个）和减法钦钦氏常数:

这是一个接近轴的特写镜头至17500：

17273时的几何平均值为-0.0000910381。实际上，我们已经接近轴976，其中的值仅为-0.00000642897. 逐渐接近轴的列表包括圆周率钦钦进场顺序: {1, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 15, 16, 17, 97,100, 103, 117, 976, 32307, 32760, 32787, 60508, 60601, 60663, 187154, 230084,1120375, 1146529, 2211732, 4497058, ...}. 让我们看一下几何-曼最后一点的邻域：

4497058点的几何平均值减少为0.000000000170948。下一个更接近钦钦常数的点必须更大超过5300万。53000000时，简化几何平均值为0.000632746.