2014年12月19日下午04:19
我最近写了一篇关于ApSimon铸币厂问题:
正在铸造新硬币n个独立造币厂。有人怀疑,一些造币厂可能会为硬币使用不同的材料。只能有一种变体材料。因此,无论在哪里铸造,假硬币的重量都是一样的。真硬币的重量是已知的,但假硬币的重量却未知。有一种机器可以精确称量任意数量的硬币,但该机器只能使用两次。你可以从每个造币厂索要几个硬币,然后进行两次称重,以确定哪些造币厂生产假硬币,哪些造币场生产真硬币。您需要从造币厂索要的最低硬币数量是多少?
邮件附有我的论文攻击ApSimon铸币厂.
不幸的是,帖子和论文都包含错误的信息。他们都表示,按照造币厂数量的顺序,硬币的数量是1、2、4、8、15、38、74。这是错误的。我从序列中获取了这些数据A007673号在OEIS数据库中。该序列的错误数据潜伏了20年。我相信序列是由R.K.Guy和R.J.Nowakowsky的论文产生的,ApSimon的铸币问题1994年出版于《月刊》。值得赞扬的是,盖伊和诺瓦科夫斯基从未声称找到最佳解决方案:他们只是找到了一个解决方案,从而为序列提供了一个界限。有人把他们的解决方案误认为是最佳解决方案,并在数据库中生成了序列。
在我发帖后,我的读者对这个问题产生了兴趣,并很快发现了这个错误。第一个康斯坦丁·诺普(Konstantin Knop)发现了一个解决方案,即6个造币厂用30枚硬币,7个造币场用72枚硬币。康斯坦丁是我的长期合作者。我相信他,所以我确信这个序列有缺陷。然后有人找到了一篇中文论文的参考文献ApSimon的Mints问题的一种新算法。虽然我的读者都找不到论文本身,也没有人能翻译中文摘要。但从标题和公式来看,很明显,他们发现了比数据库中的序列更好的边界。我的读者们很兴奋,并试图修正这个序列。大卫·雷诺兹(David Reynolds)改进了康斯坦丁(Konstantin)的结果,用29枚硬币解决了6个造币厂的问题,用52枚硬币解决7个造币场的问题。大卫在下一次尝试中表现得更好,分别得到28枚和51枚硬币。他还找到了一个解决方案,用90枚硬币换8个造币厂。此外,他详尽的搜索证明这些是最好的解决方案。
现在,数据库中的序列已固定。它从1、2、4、8、15、28、51、90开始。
对于后代,我想通过一个例子来支持序列的每个编号。我使用集合P(Q)来表示第一(第二)次称重时从每个造币厂取出多少硬币的顺序。一个造币厂只需要一枚硬币和一个秤。ApSimon自己计算了前五个值,所以它们没有争议。
- a(2)=2:P=(1,0)和Q=(0,1)。由ApSimon发现。
- a(3)=4:P=(0,1,2)和Q=(1,1,0)。由ApSimon发现。
- a(4)=8:P=(0,1,2,3)和Q=(1,0,2,2)或P=(1,1,1,4),Q=(2,0,1,1)。由ApSimon发现。
- a(5)=15:P=(0,1,1,4,5)和Q=(2,1,2,5,0)。由ApSimon发现。
- a(6)=28:P=(1,2,2,5,5,0)和Q=(0,1,2,1,8,10)。由Robert Israel、Richard J.Mathar和David Reynolds发现,
- a(7)=51。P=(2,3,7,2,8,12,0)和Q=(0,2,7,7,12,12)。由David Applegate和David Reynolds发现。
- a(8)=90。P=(4,6,6,7,3,13,15,3),Q=(4,1,6,12,12,1,27)。由David Applegate和David Reynolds发现。
九个造币厂使用193枚硬币的解决方案尚未被证实是最佳方案。David Reynolds发现:P=(1,2,4,12,5,4,20,39,43)和Q=(0,1,3,25,33,34,18,27)。此外,David Reynolds提供了一种结构,可以降低n个薄荷糖到(3(n+1)−2n−3)/4。以下一组硬币有效:P=(1,3,7,15,…,2n个-1)和Q=(1,4,13,40,…,(3n个−1)/2).
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