ApSimon薄荷
正在铸造新硬币 n个 独立造币厂。 有人怀疑，一些造币厂可能会为硬币使用不同的材料。 只有一种不同的材料：假硬币的重量与造币厂的重量无关。 真硬币的重量是已知的，但假硬币的重量却未知。 有一种机器可以精确称量任意数量的硬币，但该机器只能使用两次。 你可以从每个造币厂索要几个硬币，然后进行两次称重，这样你就可以确定哪些造币厂生产假硬币，哪些造币场生产真硬币。 您需要从造币厂索要的最低硬币数量是多少？
21条评论
-
大卫·雷诺兹： 我相信有一个更简单的解决方案。 在第一次称重时，使用每个造币厂的一枚硬币。 这得出了一枚假硬币的重量以及铸造假硬币的造币厂数量。 第二次称重时，使用1号造币厂的一枚硬币，2号造币场的两枚硬币，3号造币场内的四枚硬币，……n号造币厂内的硬币。 让Ng=真硬币的数量。 让Nf=假硬币的数量。 设Wt=第二次称重的总重量。 因为我们知道W和W（1+e），所以我们有两个方程。 等式1。 Ng*W+Nf*W（1+e）=重量 等式2。 Ng+Nf=2^（n+1）-1 方程式1本身可能有歧义。 但这两个方程都允许我们在第二次称重中唯一地求解Nf。 将Nf表示为二进制值，“1”位表示铸造假硬币的造币厂。 请注意，“1”位的数量必须等于我们在第一次称重中确定的造币厂铸造假硬币的数量。 这使我们可以进一步优化，而不会为最后一个造币厂添加任何硬币。 在确定了“1”位的数量后，我们就可以知道最后一个造币厂是在铸造真假硬币。 所以，我的解决方案是 Pr=1 Qr=2^（r-1）（Qn=0除外） 我的硬币总数顺序是1、2、4、8、16、32、64……2^n。 我的5分钟解决方案不是最佳的，但除此之外，我的进展更好。 2014年6月14日下午3:54 -
大卫·雷诺兹： 哎呀，小错误。 最终声明应为： 我的硬币总数顺序是1，2，4，8，16，32，64，…2^（n-1）。 2014年6月14日下午3:58 -
大卫·雷诺兹： 哦，哇。 无视我的帖子。 我刚刚意识到我的第一个断言是错误的，导致了完全错误的结果。 哦。 现在感觉不太好。 2014年6月14日下午4:54 -
大卫·雷诺兹： 如果知道假硬币的重量，那么我的帖子是有效的。 我想我对我试图解决的问题感到困惑。 还是觉得自己像个白痴。 8-( 2014年6月14日下午5:07 -
大卫·雷诺兹： 假币重量已知的情况下。 只需一次称重就可以确定造币厂的欺诈行为。 1枚来自1号造币厂的硬币，2枚来自2号造币局的硬币，4枚来自3号造币场的硬币，……2（n-1）号造币场内的硬币。 重量差异将告诉我们有多少硬币是假的，由此我们可以确定责任造币厂。 在两次称重中，我没有发现一种方法可以改进将薄荷糖分成两半并分开测试每组薄荷糖。 如果不知道假硬币的重量，我会重新发布我的原始帖子。 第一次称重：每个造币厂1枚硬币。 记录重量差异。 它没有告诉我们任何信息，除非差异为零。 第二次称重： 1枚来自1号造币厂的硬币，2枚来自2号造币局的硬币，4枚来自3号造币场的硬币，……2（n-1）号造币场内的硬币。 再次检查重量差异。 如果没有改变，只有造币厂1是欺诈的。 如果加倍，只有造币厂2是欺诈的。 如果增加四倍，只有造币厂3是欺诈性的。 等。 如果乘以5，那么造币厂1和4都是骗人的。 很容易看出，增加量将是整数，二元分解将唯一地产生造币厂的欺诈。 这个解决方案不是最优的。 我只提供一般上限。 1、3、7、15…2^n-1 2014年6月15日，12:59 am -
大卫·雷诺兹： 哦，该死的！ 我又搞砸了。 无视我所说的一切。 2014年6月15日凌晨1:49 -
康斯坦丁： 我认为，38和74不是最佳的。 因此，必须将它们排除在OEIS A0007673之外。 我对n=6的反例是 P=（0,1,1,2,4,8）和Q=（9,6,1,1,1）->和=9+6+1+2+4+8=30。 你能检查一下我的结果吗？ 2014年6月18日上午7:36 -
塔尼亚·霍瓦诺娃 : 康斯坦丁，太棒了！ 它起作用了。 以下是每组的比率：，{{0，0，1，0，0， {{0, 0, 1, 1, 0, 1}, 11/3}, {{0, 0, 1, 1, 1, 0}, 7/3}, {{0, 0, 1, 1, 1, 1}, 15/4}, {{0, 1, 0, 0, 0, 0}, 1/6}, {{0, 1, 0, 0, 0, 1}, 9/7}, {{0, 1, 0, 0, 1, 0}, 5/7}, {{0, 1, 0, 0, 1, 1}, 13/8}, {{0, 1, 0, 1, 0, 0}, 3/7}, {{0, 1, 0, 1, 0, 1}, 11/8}, {{0, 1, 0, 1, 1, 0}, 7/8}, {{0, 1, 0, 1, 1, 1}, 5/3}, {{0, 1, 1, 0, 0, 0}, 2/7}, {{0, 1, 1, 0, 0, 1}, 5/4}, {{0, 1, 1, 0, 1, 0}, 3/4}, {{0, 1, 1, 0, 1, 1}, 14/9}, {{0, 1, 1, 1, 0, 0}, 1/2}, {{0, 1, 1, 1, 0, 1}, 4/3}, {{0, 1, 1, 1, 1, 0}, 8/9}, {{0, 1, 1, 1, 1, 1}, 8/5}, {{1, 0, 0, 0, 0, 0}, 0}, {{1, 0, 0, 0, 0, 1}, 4/5}, {{1, 0, 0, 0, 1, 0}, 2/5}, {{1, 0, 0, 0, 1, 1}, 12/11}, {{1, 0, 0, 1, 0, 0}, 1/5}, {{1, 0, 0, 1, 0, 1}, 10/11}, {{1, 0, 0, 1, 1, 0}, 6/11}, {{1, 0, 0, 1, 1, 1}, 7/6}, {{1, 0, 1, 0, 0, 0}, 1/10}, {{1, 0, 1, 0, 0, 1}, 9/11}, {{1, 0, 1, 0, 1, 0}, 5/11}, {{1, 0, 1, 0, 1, 1}, 13/12}, {{1, 0, 1, 1, 0, 0}, 3/11}, {{1, 0, 1, 1, 0, 1}, 11/12}, {{1, 0, 1, 1, 1, 0}, 7/12}, {{1, 0, 1, 1, 1, 1}, 15/13}, {{1, 1, 0, 0, 0, 0}, 1/15}, {{1, 1, 0, 0, 0, 1}, 9/16}, {{1, 1, 0, 0, 1, 0}, 5/16}, {{1, 1, 0, 0, 1, 1}, 13/17}, {{1, 1, 0, 1, 0, 0}, 3/16}, {{1, 1, 0, 1, 0, 1}, 11/17}, {{1, 1, 0, 1, 1, 0}, 7/17}, {{1, 1, 0, 1, 1, 1}, 5/6}, {{1, 1, 1, 0, 0, 0}, 1/8}, {{1, 1, 1, 0, 0, 1}, 10/17}, {{1, 1, 1, 0, 1, 0}, 6/17}, {{1, 1, 1, 0, 1, 1}, 7/9}, {{1, 1, 1, 1, 0, 0}, 4/17}, {{1, 1, 1, 1, 0, 1}, 2/3}, {{1, 1, 1, 1, 1, 0}, 4/9}, {{1, 1, 1, 1, 1, 1}, 16/19}} 排序比率都不同： {0, 1/15, 1/10, 1/8, 1/6, 3/16, 1/5, 4/17, 3/11, 2/7, 5/16, 6/17, 2/5, 7/17, 3/7, 4/9, 5/11, 1/2, 6/11, 9/16, 7/12, 10/17, 11/17, 2/3, 5/7, 3/4, 13/17, 7/9, 4/5, 9/11, 5/6, 16/19, 7/8, 8/9, 10/11, 11/12, 1, 13/12, 12/11, 15/13, 7/6, 5/4, 9/7, 4/3, 11/8, 3/2, 14/9, 8/5, 13/8, 5/3, 2, 7/3, 5/2, 3, 11/3, 15/4, 4, 13/3, 9/2, 14/3, 5, 6, 8} 2014年6月18日上午8:49 -
康斯坦丁结： 谢谢您。 现在，N=7。 P=（0,1,2,3,5,12,17），Q=（12,8,5,3,3,3）。 总和=12+8+5+3+5+12+17=62。 (30 < 2^5, 62 < 2^6 !) 2014年6月18日，9:26 pm -
大卫·雷诺兹： 6薄荷糖 P=（3,3,4,4,3,0）Q=（0,1,1,3,5,10） 总计=3+3+4+4+5+10=29 比率={0/10,1/1,1/2,1/5,2/1,2/5,3/0,3/1,3/2,3/5,3/5,4/8,3/10,3/11,4/1,4/3,4/7,4/11,4/13,5/2,5/3,5/4,5/6,5/7,5/8,5/9,6/1,6/11,7/1,7/7,7/4,7/5,7/6,7/8,7/8 9/16、10/7、10/9、10/17、10/19、11/4、11/5、11/9、11/14、11/15、11/19、13/7、13/9、13/17、13/19、14/5、14/9、14/15、14/19、17/10、17/20} 7薄荷糖 P=（3,5,6,6,8,6,0）Q=（1,0,3,4,5,10,14） 总计=3+5+6+6+8+10+14=52 比率= {0/14,1/1,1/2,1/3,1/4,1/5,2/1,3/1,3/2,3/5,3/7,4/3,4/5,4/7,4/9,5/0,5/2,5/3,5/7,5/8,5/14,6/7,6/17,7/2,7/4,7/5,7/6,7/9,7/11,8/1,8/3,8/5,8/15,8/19,9/4,9/5,9/11,9/19,9/25,10/7,10/9,10/11,10/13,11/3,11/4,11/5,11/6,11/8,11/10,11/12,11/15,11/17,11/18,11/20,11/24,12/7,12/13,13/5,13/9,13/11,13/16,13/18,13/19,14/5,14/9,14/11,14/15,14/17,14/19,14/23,14/25,14/ 29,15/8,15/14,15/22,15/28,15/29,17/7,17/9,17/10,17/13,17/14,17/16,17/21,17/23,17/24,17/27,17/28,17/30,18/17,18/31,19/8,19/9,19/15,19/22,19/23,19/29,20/19,20/29,20/33,21/32,22/9,22/23,23/13,23/17,23/19,23/20,23/27,23/31,23/33,23/34,25/12,25/18,25/19,25/26,25/32,25/33,28/13,28/19,28/27,28/33,29/23,29/37,31/22,31/36,34/23,34/37} 当所有其他方法都失败时，编写代码。 😎 2014年6月21日下午5:23 -
大卫·雷诺兹： 稍微好一点。 P=（1,2,2,5,5,0）Q=（0,1,2,1,1,8,10） 总计=1+2+2+5+8+10=28 比率={0/10,1/1,1/3,1/4,1/6,1/10,2/1,2/3,2/5,2/11,3/1,3/4,3/5,3/7.3/11,4/1,4/3,4 9月19日、9月4日、9月11日、9月14日、10月9日、10月19日、10月21日、11月11月而均份 P=（2,3,7,2,8,12,0）Q=（0,2,7,7,12,12） 总计=2+3+7+7+8+12+12=51 比率= {0/12,1/1,1/2,1/3,1/6,2/0,2/1,2/3,2/7,2/19,3/2,3/4,3/14,4/1,4/5,4/7,4/19,5/2,5/7,5/8,5/9,5/13,5/14,5/21,6/5,6/7,6/11,6/13,7/1,7/5,7/6,7/9,7/11,7/12,7/13,8/5,8/7,8/9,8/19,9/1,9/5,9/8,9/11,9/13,9/20,10/3,10/7,10/11,10/19,11/8,11/9,11/13,11/19,11/20,11/21,12/11,12/13,12/17,12/19,13/9,13/11,13/16,13/17,13/21,13/28,14/19,14/31,15/8,15/11,15/14,15/16,15 /17,15/26,15/28,16/11,16/17,16/19,16/31,17/8,17/14,17/15,17/20,17/21,17/26,17/27,17/33,19/13,19/15,19/21,19/25,19/27,19/33,20/17,20/19,20/29,20/31,21/13,21/20,21/25,21/32,22/15,22/17,22/19,22/27,22/29,22/31,23/20,23/21,23/32,23/33,25/21,25/28,25/33,27/20,27/28,27/32,27/40,29/20,29/27,29/32,29/39,31/27,31/39,32/29,32/41,34/29,34/41} 我现在相信这些是最佳的。 2014年6月24日上午6:46 -
大卫·雷诺兹： 关于一般下界的注记。 如果r是造币厂的数量，并且r>1，那么总硬币数量必须>=上限（2^（r/2））。 对于离散情况，这更容易讨论。 让我们以8个薄荷糖为例。 只有两次称重，我们才能确定256种可能的结果，因此我们必须至少有256种不同的权重值比率。 例如，第一次称重可能有20个可能的结果，第二次称重可能只有13个。 20 * 13 > 256. 如果没有太多降低到类似比率，这将起作用。 然而，理想的情况是两种称重的不同结果几乎相等。 因为256的平方根是16，所以每次称重只有16个不同的权重结果就足够了（假设我们可以找到两组没有共同比率的数据）。 那么我们需要多少硬币才能保证16种不同的结果呢？ 设t为硬币总数。 一个结果是，它们都是真实的。 重量=t*W（1）。 一枚硬币可能是假的。 重量=（t–1）*W（1）+W（1+e）。 两枚硬币可能是假的。 重量=（t–2）*W（1）+2*W（1+e）。 等。 我们必须至少有15枚可能是假的硬币，才能产生16种不同的结果。 这是我们的最小答案，总共15枚硬币。 现在是第二次称重。 如果我们使用所有相同的硬币，比率将不是唯一的。 如果我们忽略一个或多个，我们就无法实现16个不同的结果。 因此，我们必须在第二次称重时，在我们的整套硬币中再添加至少一枚硬币。 所以我们必须至少有16枚硬币，是2^8的平方根。 一般来说，这是上限（2^（r/2））。 这超过了r，但考虑到发布的实际结果，仍然很低。 用这个公式测试6个造币厂的最小硬币数量是8枚，但最好的情况是使用29枚硬币！ 2014年6月24日上午8:13 -
大卫·雷诺兹： 8枚薄荷糖。 完成彻底搜索。 P=（4,6,6,7,3,13,15,3）Q=（4,1,6,12,12,1,27） 总计=4+6+6+7+12+13+15+27=90 目前，9种薄荷糖似乎超出了彻底搜索的范围。 这是我迄今为止发现的最好的。 P=（1,2,4,12,5,4,20,39,43）Q=（0,1,3,25,33,34,18,27） 总计=1+2+4+12+25+33+34+39+43=193 2014年6月29日上午9:02 -
大卫·雷诺兹： 阿普西蒙造币厂问题的一般解释。 Pr=1,3,7,15，…2^r-1 Qr=1,4,13,40，…（3^r-1）/2 Sp（n）=总和（r=1..n，Pr）=2^（n+1）-n-2 Sq（n）=总和（r=1..n，Qr）=（3^（n+1）-2n-3）/4 定义一个函数，该函数包含所有组合中Pr项的总和 fp（1）=P1 fp（2）=P2 fp（3）=P2+P1 fp（4）=P3 fp（5）=P3+P1 fp（6）=P3+P2 fp（7）=P3+P2+P1 fp（8）=P4 … fp（2^（a-1））=帕 fp（2^（a-1）+2^（b-1））=帕+铅 fp（2^（a-1）+2^（b-1）+2 ^（c-1）+…）=Pa+Pb+Pc+… fp（2^（a-1）+x）=帕+fp（x） 对于所有x！= y、 fp（x）！= fp（y）。 由于Pr>Sp（r-1），所有fp值都是唯一的。 构造fq（n）类似于Qn项之和。 对于所有x！= y、 fq（x）！= fq（y）。 由于Qr＞Sq（r-1），所有fq值都是唯一的。 f（n）=fp（n）/fq（n） 我会展示所有x！= y、 f（x）！= f（y）。 这证明了阿普西蒙造币厂一般建造的条件。 每一个新的造币厂r都会创造2^n个新的组合，由f（2^（n-1））到f（2*n-1）给出。 每个范围都有一组升序的唯一值。 我们只需要证明 每个范围内的值从不重叠。 -–1个薄荷糖– f（1）=1 -–2薄荷糖– f（2）=0.75 f（3）=0.8 -–3个薄荷糖– f（4）=0.538462 f（5）=0.571429 f（6）=0.588235 f（7）=0.611111 -–4个薄荷糖– f（8）=0.375 f（9）=0.390244 f（10）=0.409091 f（11）=0.422222 f（12）=0.415094 f（13）=0.425926 f（14）=0.438596 f（15）=0.448276 -–5薄荷糖– f（16）=0.256198 f（17）=0.262295 f（18）=0.272 f（19）=0.277778 f（20）=0.283582 f（21）=0.288889 f（22）=0.297101 f（23）=0.302158 f（24）=0.285714 f（25）=0.290123 f（26）=0.29697 f（27）=0.301205 f（28）=0.304598 f（29）=0.308571 f（30）=0.314607 f（31）=0.318436 -–6薄荷糖– f（32）=0.173077 f（33）=0.175342 f（34）=0.179348 f（35）=0.181572 f（36）=0.185676 f（37）=0.187831 f（38）=0.191601 f（39）=0.193717 f（40）=0.193069 f（41）=0.195062 f（42）=0.198529 f（43）=0.200489 f（44）=0.203837 f（45）=0.205742 f（46）=0.209026 f（47）=0.2109 f（48）=0.193814 f（49）=0.195473 f（50）=0.198364 f（51）=0.2 f（52）=0.202811 f（53）=0.204409 f（54）=0.207171 f（55）=0.208748 f（56）=0.207619 f（57）=0.209125 f（58）=0.21172 f（59）=0.213208 f（60）=0.215613 f（61）=0.217069 f（62）=0.219557 f（63）=0.220994 我们需要证明f（2^n-1）f（2~（n+2）-1）对于所有n。 如果是这样，则范围永远不会重叠，并且f（x）的所有值都是唯一的。 f（2^（n-1））=fp f（2^（n-2））=（2^n-2）/（3^（n-1）-1） fp（2^n-1）=fp（2 ^（n-1）+2 ^（n-2）+2（n-2）+2^（-1-）+…1）=Pn+Pn-1+Pn-2+…P1=Sp（n）=2^（n+1）-n-2 fq（2^n-1）=平方（n）=（3^（n+1）-2n-3）/4 f（2^n-1）=fp（2^n-1）/fq（2^n-1）=（2^（n+1）-n-2）/ f（2^（n+2）-1）=（2^（n+5）-4n-16）/（3^（n+3）-2n-7） f（2^n-1） （2^（n+3）-4n-8）/（3^（n+1）-2n-3）<（2^n-2）/（3 ^（n-1）-1） （2^（n+3）-4n-8）*（3^（n-1）-1）<（2^n-2）*（3+1）-2n-3） O（2^（n+3）*3^（n-1）） 将两边除以2^n*3^（n-1） 8f（2^（n+2）-1） （2^（n+1）-2）/（3^n-1）> （2^（n+1）-2）*（3^（n+3）-2n-7）>（2^（n+5）-4n-16）*（3 ^n-1） O（2^（n+1）*3^ 将两边除以2^（n+1）*3^n 27 > 16 第二个断言适用于所有大于0的n。 因此，一般结构适用于任何数量的薄荷糖，我们将n个薄荷糖的上限减少到（3^（n+1）-2n-3）/4。 2014年7月3日下午4:04 -
大卫·雷诺兹： 不知怎么的，这句话在上一篇文章中被破坏了。 我们需要证明f（2^n-1）f（2~（n+2）-1）对于所有n。 如果是这样，则范围永远不会重叠，并且f（x）的所有值都是唯一的。 2014年7月3日下午4:06 -
大卫·雷诺兹： 好吧，它只是无法正确显示。 让我试试更详细的策略。 我们需要证明f（2^n-1）小于f（2~（n-2）） 和 f（2^（n-1））大于f（2qu（n+2）-1）。 2014年7月3日下午4:08 -
大卫·雷诺兹： 我注意到结尾处的其他语句也被破坏了。 让我再试一次。 f（2^n-1）<f（2^（n-2）） （2^（n+3）-4n-8）/（3^（n+1）-2n-3）<（2^n-2）/（3^（n-1）-1） （2^（n+3）-4n-8）*（3^（n-1）-1）<（2^n-2）*（3+1）-2n-3） O（2^（n+3）*3^（n-1）） 将两边除以2^n*3^（n-1） 8f（2^（n+2）-1） （2^（n+1）-2）/（3^n-1）> （2^（n+1）-2）*（3^（n+3）-2n-7）>（2^（n+5）-4n-16）*（3 ^n-1） O（2^（n+1）*3^ 将两边除以2^（n+1）*3^n 27 > 16 第二个断言适用于所有大于0的n。 2014年7月3日下午4:12 -
大卫·雷诺兹： 嗯……这里有一个证据，老实说。 我将删除所有小于和大于符号，然后再次发布。 f（2^n-1）小于f（2~（n-2）） （2^（n+3）-4n-8）/（3^（n+1）-2n-3）小于（2^n-2）/（3 ^（n-1）-1） （2^（n+3）-4n-8）*（3^（n-1）-1）小于（2^n-2）*（3+1）-2n-3） O（2^（n+3）*3^（n-1））小于O（（2^n）*3qu（n+1）） 将两边除以2^n*3^（n-1） 8小于9 第一个断言保持所有n大于1。 f（2^（n-1））大于f（2qu（n+2）-1） （2^（n+1）-2）/（3^n-1）大于 （2^（n+1）-2）*（3^（n+3）-2n-7）大于（2^（n+5）-4n-16）*（3 ^n-1） O（2^（n+1）*3^ 将两边除以2^（n+1）*3^n 27大于16 第二个断言适用于所有大于0的n。 2014年7月3日下午4:14 -
大卫·雷诺兹： 可以。 它现在在我的浏览器（Mozilla Firefox）中正确显示。 当我在文本中出现小于或大于符号时，这些内容就被删除了。 2014年7月3日下午4:16 -
大卫·雷诺兹： 关于我对ApSimon造币厂的总体建设… 我认为这种技术适用于任意数量的薄荷糖的理由是，产生的比率都是唯一的。 每一种薄荷都会产生一系列上升的、独特的比例，没有两个比例可以重叠。 我相信这些范围永远不会重叠。 然而，严格来说，范围并不是递增的。 即使从我发布的结果来看，这也是显而易见的，从4分钟开始。 这就增加了一种可能性，即如果有足够的薄荷糖，那么在一个范围内可能会复制一个比率。 我已经为多达25个薄荷糖验证了我的总体结构，没有出现重复。 但无穷大是非常大的，因此我必须收回我的“证明”。 2014年7月4日下午5:54 -
理查德·马塔尔 : 预印arXiv:1407.3613考虑了允许两次以上称重的问题。 只演示了通过蛮力枚举获得的数值结果。 2014年10月9日上午10:31
