2012年11月23日星期五|作者:康拉德·沃尔克尔
这是一个很短的通知,可以系统地记住一些关于简单预升的各种模型结构。
[更新2013-03-06]我给出了在我们的工作组研讨会上关于单形预升、同伦带轮和h原理的模型结构的讲话[/UPDATE](更新)
如果你犯了左/右、共函数化/fibration、内射/投影错误,有一个快速的解决方法:模型范畴公理,因式分解(公理M5)将一个态射分解为一个共因式,然后再分解(在两个因式分解中),所以共因式是左的,而分解是右的。在提升公理(M4)中,共纤维位于图表的左栏,而纤维位于右侧(至少在更流行的教科书中是这样)。有些人用钩子箭头来注射,有些人用这些箭头来搭桥;有些人用twoheadlightarrow表示猜测,其他人用two headlightar表示谎言。在拓扑空间上最流行的模型结构中,对于相对CW复数夹杂物是注射和共焦(这些记忆技巧对我很有效;你有更多吗?)。
要得到一个范畴的同伦范畴,只需定义弱等价即可。要建立一类弱等价,必须定义fibrations或co-libration——但第三类实际上是通过提升公理由这些数据固定的。当然,在每种情况下,都必须证明自己确实得到了一个模型结构。
(为了我们的目的),有一个先验的选择需要修正:简单集上的模型结构。选择一个不同的(但相当于奎伦的),你会在接下来的所有内容中得到不同的东西,但它将是奎伦等价的。奎伦等价意味着同构同伦范畴,但它比这强得多。我更喜欢Kan模型结构,其中一个映射是弱等价的,如果它的几何实现是弱同伦等价,一个简单集是fibrant,如果它是Kan(即具有角填充性质),并且一个映射如果它是单态(即水平向注入),那么它是协纤维化。(通过几何实现和奇异复数的附加,该模型范畴与拓扑空间上的Serre模型结构等价)。
简单预升包含一些有趣的子类别:简单集可以嵌入为常量滑轮(因此可以嵌入集),预升可以嵌入为简单常量简单预升(因此可以通过Yoneda嵌入嵌入基本类别)。
如果我们考虑任意类别上的简单预升,则只有全局结构(见下文)。我更感兴趣的是一种特殊情况,即在Grothendieck场地(例如,在大Zarisk场地,或流形的开放子集类别)上观察简单预升或简单滑轮。简单地说,我想考虑sheaf属性(允许在交点上匹配的唯一粘合部分)有意义的情况。用不太简单的术语,我将讨论覆盖物,您可以(如果您不了解Grothendieck拓扑)将其视为开放覆盖物,即。和地图是开放子集的包含(或与之同构的任何内容)。
如果一个类别上有不同的Grothendieck拓扑,则会产生不同的“本地”模型结构(见下文)。
在我们进行简单化或sheafy之前,对于模型类别中具有值的任何预处理类别,都有全局内射和全局投影的模型结构。这个词是指结构的哪一部分是以对象方式完成的:在内射结构中,连词是以对象形式完成的,在投射结构中,连词是以目标形式完成的。在这两种结构中,弱等价都是按对象的,这意味着(把它拼出来一次)预重的态射对于所有对象,是全局模型结构中的弱等价态射截面是弱等价的。
简单预升模型猫有很多同义词。全局内射==“Heller”,全局投影==“Bousfield-Kan”。
人们还可以找到各种中间模型结构在全局内射模型结构和全局投影模型结构之间进行插值。根据传统,一些人省略了形容词内射/投射,然后大部分时间谈论内射模型结构。
计算前兆的切赫上同调在覆盖物上可以由覆盖层的切赫神经来表示,这是一个简单的对象其中包括以度为单位,然后以度为单位依此类推(n次折叠交点)具有明显的单纯结构。这个-切赫神经的截断显示在层公理中,我们在这里应用并强加给它是此图的极限。事实上,一个人可以超越极限,这没什么区别。
这是一个关于粘合方案的基本事实,对于Zarisk封面方案的态射是同构(人们甚至可以使用它来定义方案,通过在预处理或局部环空间上施加条件存在一个开放的仿射盖,使得切赫神经上的结肠与).
如果我们考虑任何模型结构(例如,全局结构)的简单预升,我们不仅可以而且,的同伦大肠杆菌.可以用存在态射的方式构造这个同伦colimit,但该同构不一定是同构,并且它通常在模型结构中不是弱等价。层公理的同伦理论类似物读作:(单纯形)前层称为医院(同义词:具有Brown-Gersten属性)如果用于所有对象和所有覆盖物属于单纯形集是的同伦共线在模型分类术语中,hosheaf是语态的局部对象,因为它“将它们”视为弱等价物。请注意,软管不必是一捆,反之亦然,尽管预软管可以同时是一捆和软管。
全局内射模型结构沿切赫覆盖的左局部Bousfield局部化,即态射,称为内射切赫模型结构。沿着切赫覆盖层的全局投影模型结构的左局部Bousfield局部化称为投射切赫模型结构。在左局部定位过程中,(提示:left)余纤维保持不变,而弱等价类得到了增强(此处:)因此,fibrations也需要改变:在局部结构中,fibration较少(因为它们在提升公理中有更多的条件需要满足)。
同义词:内射Cech==“Cech-Heller”,投影Cech==“Cech-Bousfield-Kan”。
切赫模型结构的特征:Sheafification是一个弱等价。我们可以在这个模型结构中计算切赫上同调。然而,一般来说,人们无法计算更高的层上同调,因为覆盖层可能“不够精细”。
Verdier超覆盖定理(以简单形式)指出:现场对象和站点上的阿贝尔群的一层,层上同调可以通过超覆盖来计算,即通过所有超覆盖的偏序集索引的colimit属于在小组中与同构.
超覆盖是覆盖的Cech神经的推广,其中允许被覆盖物的副产品取代然后在下一步中,三重交叉点(实际上是光纤产品)被覆盖物所取代。这使得步骤更加精细。例如,在方案理论中,方案的仿射开覆盖中的两个仿射集的交集通常不是仿射的,但由于它是一个方案,所以可以用仿射覆盖它,这会导致仿射超覆盖。覆盖层的切赫神经可能不具有该属性,也可能不存在覆盖层,因此切赫神经具有该属性。这就是(粗略地)为什么需要超覆层。在非常好的位置(例如étale位置)上,覆盖层的切赫神经实际上足以计算层上同调。
全局内射模型结构沿所有超覆盖的左局部Bousfield局部化,即态射,称为内射局部模型结构。沿着所有超覆盖的全局投影模型结构的左局部Bousfield局部化称为射影局部模型结构。
同义词:内射局部==“Jardine”,投影局部==“Blander”。
如果人们谈论“局部模型”结构,大多数时候他们谈论的是内射局部模型结构。有时,局部内射结构甚至被称为“标准”模型结构。如果没有指定某人考虑的是全局模型结构还是本地模型结构,则很可能是本地模型结构(但您无法确定)。
局部模型结构的特征:它们是切赫模型结构的进一步局部化,因此尤其是剪切作用是弱等效的。如果站点有足够的点(即可以在茎上测试层同构),则局部模型结构中的同构是弱等价的,如果它是茎上的弱等价。此属性有时用作定义。
Joyal在单纯槽轮的(子)类上定义了内射局部模型结构。剪切和遗忘函子定义了单形预升上的内射局部结构和单形带上的内联局部结构之间的奎伦等价性。有人将这两个结构都称为“怡和”,也有人将两者都称之为“乔亚尔”。
如果一个有两个Grothendieck拓扑,一个比另一个严格精细(例如,方案上的étale拓扑比Zarisk拓扑精细),那么可以比较局部模型结构,因为任何精细弱等价都是粗弱等价。全局模型结构只是这种比较的特例,因为它们是所有Grothendieck拓扑中最粗糙的局部模型结构。
Morel和Voevodsky使用大Nisnevich站点在一个字段上进行(平滑投影)方案定义A¹-同伦理论。更准确地说,他们考虑了Nisnevich场地上简单预升的局部内射模型类别,并将其定位在物体上,因此得名。Nisnevich拓扑位于Zarisk和étale拓扑之间,因此可以为Zariski和étale拓扑定义类似的模型类别并进行比较(这是证明某些事情的方法)。
在一个对象上定位会使所有具有光纤或共光纤的变形都弱等价。尤其是投影地图在这个本地化中成为一个弱等价。
莫雷尔(Morel)和沃沃德斯基(Voevodsky)在更一般的背景下描述了他们的模型类别:在任何有间隔的网站上。结果不仅是任何模型类别,而且是一个适当的简单类别(因此您可以计算内容)。
如果用区间在拓扑空间上进行Morel-Voevodsky构造(例如,用联合满射局部同胚作为覆盖),你得到了简单预升的一些模型结构(在他们的理论中实际上是滑轮,但这是等效的)可收缩的物体。同伦范畴等价于拓扑空间的经典同伦范畴,在某种意义上是它的典型模型范畴构造。
顺便说一下:怡和有一本新书,局部同伦理论.
类别:英语,数学
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