可视化Riemann-Zeta函数零点

未经证实的黎曼假设说明黎曼-泽塔函数的所有非平凡零点都位于复平面上实数部分为一半的直线上。使用此函数的JavaScript实现，例如数学，人们可以很容易地想象出这个猜想是如何可能的。

ζ函数由一个无穷大定义总和和等效物产品以下为：

$ζ (z) = \sum_{n个 = 1}^{\infty} \frac{1}{{n个}^{z}} = \prod_{素数} \frac{1}{1 - \frac{1}{对^{z}}}$

通过展开几何级数右侧的分数，并认识到所得的逆积都是整数的可能因式分解，验证了它们的等价性。

zeta函数在右半平面上没有零 $重新 z > 1$ .如果是这样，产品定义中的一个因素必须为零，但每个因素与

$对^{z} = 对^{x个} 经验 (我年自然对数对) = 对^{x个} [余弦 (年自然对数对) + 我罪 (年自然对数对)]$

正整数的幂 $x个 > 1$ 始终大于1，并且由于正弦和余弦永远不会同时为零，因此该表达式不能为零。

Riemann zeta函数满足功能性的方程式

$ζ (z) = 2^{z} π^{z - 1} 罪 (\frac{π z}{2}) Γ (1 - z) ζ (1 - z)$

在左半平面 $重新 z < 0$ 这个方程变成

$ζ (- z) = - \frac{1}{2^{z} π^{z + 1}} 罪 (\frac{π z}{2}) Γ (z + 1) ζ (z + 1)$

刚刚确定的是，在这个域上，最终因子永远不会为零。前两个因子永远不会为零，原因与上述因子相同，根据定义，伽马函数总是大于零。人们可能会认为可以有一个零 $z \to - \infty$ ,但伽马函数的增长速度比任何功率都快，并防止了这种情况。这只剩下负偶数整数处正弦函数的零：

$ζ (- 2 n个) = 0, n个 = 1, 2, 三, \dots$

这些被称为平凡零。给定一个关系在zeta函数和Bernoulli数之间，

$ζ (- 2 n个) = - \frac{{B类}_{2 n个 + 1}}{2 n个 + 1}, n个 > 0$

这些零的存在等价于以下事实： ${B类}_{1}$ 等于零。

从直接函数方程来看，最初看起来原点处会有零，而正偶数整数。第一个不会发生，因为zeta函数有一个简单的极点，在 $z = 1$ ,所以在原点有

$ζ (0) \approx \frac{1}{π} \times \frac{π z}{2} \times \frac{1}{(1 - z) - 1} = - \frac{1}{2}$

正整数处没有零，因为伽马函数的极点平衡正弦函数的零。展示这一点并不困难，但设置起来更简单 $z = 1 - 2 n个$ 并重新排列：

$\begin{array}{l} ζ (2 n个) = (- 1)^{n个} 2^{2 n个 - 1} π^{2 n个} \frac{ζ (1 - 2 n个)}{Γ (2 n个)} \\ = (- 1)^{n个 + 1} \frac{(2 π)^{2 n个}}{2 (2 n个)!} {B类}_{2 n个} = \frac{(2 π)^{2 n个}}{2 (2 n个)!} | {B类}_{2 n个} | \end{array}$

这个表达Euler知道。

如果没有零 $关于 z > 1$ 对于 $重新 z < 0$ ,那么有趣的零位于临界带 $0 < 重新 z < 1$ .这可以通过可视化函数的实部和虚部沿条的虚长的横截面来进行探索。这是如何出现的，真实部分用蓝色表示，想象部分用红色表示：

复函数的零点意味着实部和虚部同时为零，在本例中是实轴上的同一点。通过按住光标键操纵假想部分，可以将这些零定位到小数点后两位。这些值约为

±14.13, ±21.02, ±25.01, ±30.42, ±32.94,±37.59, ±40.92, ±43.33, ±48.01, ±49.77

该值必然出现在共轭对中，因为zeta函数在其展开中具有纯实数系数。它们也都发生在实轴上的同一点上，这与黎曼假设一致。酷毙了！

这个交互式图形在临界条带的给定部分构成了黎曼假设的视觉证明。可以很容易地看出，除了临界线上的零点之外，没有其他零点 $z = \frac{1}{2} + 我年$ .对于条的大部分虚长，函数的一个或两个部分都远离实轴，因此也远离复函数的零点。

上述函数方程对于关联复杂平面的两半很有用。因此，可以将其以对称形式放置：

$\begin{array}{c} ζ (z) = 2^{z} π^{z - 1} \frac{π}{Γ (\frac{z}{2}) Γ (1 - \frac{z}{2})} Γ (1 - z) ζ (1 - z) \\ Γ (\frac{z}{2}) π^{- z / 2} ζ (z) = 2^{z + 1} π^{1 / 2} \frac{Γ (- z)}{Γ (- \frac{z}{2})} π^{- (1 - z) / 2} ζ (1 - z) \\ Γ (\frac{z}{2}) π^{- z / 2} ζ (z) = Γ (\frac{1 - z}{2}) π^{- (1 - z) / 2} ζ (1 - z) \end{array}$

在第一步中，使用反射伽马函数的公式。在第二种情况下，因子被重新排列，其余伽马函数的参数减少了一个。第三种使用Legendre复制以简化。

这种对称形式清楚地表明，左侧的组合在替换下是不变的 $z \to 1 - z$ .函数组合具有简单的极点 $z = 0$ 和 $z = 1$ ,伽玛函数和zeta函数各一个，都有一个残数。这些极点可以通过将方程的两边乘以 $\frac{z (z - 1)}{2}$ ,因为分子在两极都是零。这种组合在相同的替换下是不变的。分母的选择大概是为了匹配左侧gamma函数的参数。

因此，如果定义函数

$ξ (z) = \frac{z (z - 1)}{2} Γ (\frac{z}{2}) π^{- z / 2} ζ (z)$

函数方程采用极其简单的形式

$ξ (z) = ξ (1 - z)$

评估两个移除极点处该函数的值具有指导意义，并验证这些点的函数方程：

$\begin{array}{l} ξ (0) \approx - \frac{z}{2} \times \frac{2}{z} \times ζ (0) = \frac{1}{2} \\ ξ (1) \approx \frac{z - 1}{2} \times Γ (\frac{1}{2}) \times \frac{1}{\sqrt{π}} \times \frac{1}{z - 1} = \frac{1}{2} \end{array}$

这个函数还有一个额外的特点，它在临界线上是纯实的

$ξ (\frac{1}{2} + 我年) = ξ (\frac{1}{2} - 我年) = \bar{ξ (\frac{1}{2} + 我年)}$

因此，在沿着这条线的数值上寻找零点是很有用的。不幸的是，函数的绝对值很快就会变小，所以沿着临界线绘制的图并不有趣：

更有趣的是重复上面的交互式图形，用这个黎曼xi函数替换zeta函数。这是如何出现的，真实部分用蓝色表示，想象部分用红色表示：

该函数的虚部通常在临界带上呈线性，自然通过临界线。函数的实部似乎在零点处与实轴相切。再一次，我们可以很容易地看到，除了临界线上的那些，没有其他的零。