将圆环体转换为圆柱体

如果一个圆环体被切割穿过它的管子并拉直，它显然会变成一个圆柱体。这也是一个事实，两个物体的表面积和封闭体积相等。由于这两个对象的内在几何结构不同，因此尚不清楚为什么这些度量值相同。二者之间的分析转换将确定等价性，以及所有中间状态是否相等。

产生这种转换的一种方便方法是圆的渐开线。将圆右侧的点映射到水平线的参数化为

$x个 = R（右） [罪 t吨 - (t吨 - 一) 余弦 t吨] 年 = R（右） [余弦 t吨 + (t吨 - 一) 罪 t吨]$

以及左侧点的镜像反射：

$x个 = - R（右） [罪 t吨 - (t吨 - 一) 余弦 t吨] 年 = R（右） [余弦 t吨 + (t吨 - 一) 罪 t吨]$

以下是一个单位圆的几个蓝色对合的可视化：

渐开线都从圆开始 $t吨 = 一$ 到达终点线 $年 = - 1$ 对于 $t吨 = π$ .现在可以构造一条曲线，在圆和线的两个端点之间进行插值：

初始曲线从圆的顶部开始 $一 = 0$ ,到达底部 $一 = π$ 并在 $一 = 2 π$ .因此，该行具有参数化

$\begin{array}{l} x个 = R（右） [罪 t吨 - (t吨 - 一) 余弦 t吨] \\ 年 = R（右） [余弦 t吨 + (t吨 - 一) 罪 t吨] \end{array} t吨 = (π - 一) u个 + 一$

关于域 $0 \leq 一 \leq 2 π$ 和 $0 \leq u个 \leq 1$ .对于三维对应的直线，只需添加一个常量坐标，

$（f） (一, u个) = [x个 (一, u个), 年 (一, u个), 0]$

或更明确地说

$\begin{array}{l} （f） (一, u个) = R（右） [罪 [π u个 + (1 - u个) 一] - (π - 一) u个余弦 [π u个 + (1 - u个) 一], \\ 余弦 [π u个 + (1 - u个) 一] + (π - 一) u个罪 [π u个 + (1 - u个) 一], 0] \end{array}$

为了沿着这条曲线渗出一个三维管，需要两条线的法线。其中一个可以与 $\hat{z（z）}$ ,但另一个必须通过参数化计算。对于固定值u个，此参数化相对于其他参数的导数为

$\begin{array}{l} \frac{d日（f）}{d日一} = R（右） [余弦 [π u个 + (1 - u个) 一] + (π - 一) u个 (1 - u个) 罪 [π u个 + (1 - u个) 一], \\ - 罪 [π u个 + (1 - u个) 一] + (π - 一) u个 (1 - u个) 余弦 [π u个 + (1 - u个) 一], 0] \end{array}$

沿直线的单位切线向量为

$\begin{array}{l} T型 = \frac{1}{\sqrt{1 + Π^{2}}} [余弦 [π u个 + (1 - u个) 一] + Π 罪 [π u个 + (1 - u个) 一], \\ - 罪 [π u个 + (1 - u个) 一] + Π 余弦 [π u个 + (1 - u个) 一], 0] \end{array}$

用缩写 $Π = (π - 一) u个 (1 - u个)$ .与此向量垂直的向量可以很容易地从语句中确定

$[一, b条, 0] \cdot [- b条, 一, 0] = 0$

其中两个向量显然具有相同的归一化。因此，第二个法线将被视为

$\begin{array}{l} N个 = \frac{1}{\sqrt{1 + Π^{2}}} [罪 [π u个 + (1 - u个) 一] - Π 余弦 [π u个 + (1 - u个) 一], \\ 余弦 [π u个 + (1 - u个) 一] + Π 罪 [π u个 + (1 - u个) 一], 0] \end{array}$

由于常平方向量的导数总是垂直于向量，

$\frac{d日}{d日一} [克 \cdot 克 = c（c）] \to 克 \cdot \frac{d日克}{d日一} = 0$

第二条法线也可以从单位切线向量的导数中找到，

$N个 = \frac{d日 T型 / d日一}{| d日 T型 / d日一 |}$

但这需要做一些额外的工作才能达到同样的效果。作为检查，单位副法线很容易评估，

$B类 \equiv T型 \times N个 = \hat{z（z）}$

与上述声明一致。现在，通过将两个单位法线与圆函数和第二个径向刻度相乘，并将其添加到曲线的参数化中，可以参数化出渗出管。因此，管表面的参数化

$（f） (一, u个) + 第页余弦 φ N个 (一, u个) + 第页罪 φ B类 (一, u个)$

为了简洁起见，请恢复为初始符号，并注意 $Π = (t吨 - 一) (1 - u个)$ ,显式参数化是

$\begin{array}{l} x个 = R（右） [罪 t吨 - (t吨 - 一) 余弦 t吨] \\ + \frac{第页余弦 φ}{\sqrt{1 + (t吨 - 一)^{2} (1 - u个)^{2}}} [罪 t吨 - (t吨 - 一) (1 - u个) 余弦 t吨] \\ 年 = R（右） [余弦 t吨 + (t吨 - 一) 罪 t吨] \\ + \frac{第页余弦 φ}{\sqrt{1 + (t吨 - 一)^{2} (1 - u个)^{2}}} [余弦 t吨 + (t吨 - 一) (1 - u个) 罪 t吨] \\ z（z） = 第页罪 φ \\ t吨 = (π - 一) u个 + 一 \end{array}$

这可以很容易地可视化：

作为参数化测试 $u个 = 0$ 然后 $t吨 = 一$ 参数化变成

$[(R（右） + 第页余弦 φ) 罪一, (R（右） + 第页余弦 φ) 余弦一, 第页罪 φ]$

这是一个圆环体其中交换了前两个坐标。什么时候？ $u个 = 1$ 然后 $t吨 = π$ 参数化变成

$[R（右） (π - 一), - R（右） - 第页余弦 φ, 第页罪 φ]$

这是一个向下移动的圆圈年-轴并沿x个-轴，即。向下移动的圆柱体。注意圆柱体的长度为2πR（右），其中R（右）是环面的主要半径。

有了参数化，现在可以评估管的表面积和封闭体积，作为变形参数的分析函数u个.概念体积元素表示表面积和体积可以以相同的方式计算，作为相应二维或三维度量的行列式平方根的积分。保持符号尽可能紧凑，笛卡尔坐标为

$\begin{array}{l} x个 = R（右） [罪 t吨 - (π - 一) u个余弦 t吨] + \frac{第页余弦 φ}{\sqrt{1 + Π^{2}}} [罪 t吨 - Π 余弦 t吨] \\ 年 = R（右） [余弦 t吨 + (π - 一) u个罪 t吨] + \frac{第页余弦 φ}{\sqrt{1 + Π^{2}}} [余弦 t吨 + Π 罪 t吨] \\ z（z） = 第页罪 φ \end{array}$

带有中间变量

$\begin{array}{l} t吨 = π u个 + (1 - u个) 一 & \frac{⏴ t吨}{⏴ 一} = 1 - u个 \\ Π = (π - 一) u个 (1 - u个) & \frac{⏴ Π}{⏴ 一} = - u个 (1 - u个) \end{array}$

为了评估管子的两个测量值，三个变量 $[第页, 一, φ]$ 在表面形成类似空间的间隔时必须包括在内。这也有助于在必要时推迟扩大差额，因为许多条款会立即取消。可以写入初始坐标差

$\begin{array}{l} d日 x个 = R（右） [余弦 t吨 + Π 罪 t吨] d日一 + 第页余弦 φ \frac{⏴}{⏴ 一} [\frac{罪 t吨 - Π 余弦 t吨}{\sqrt{1 + Π^{2}}}] d日一 \\ + \frac{罪 t吨 - Π 余弦 t吨}{\sqrt{1 + Π^{2}}} d日 [第页余弦 φ] \\ d日年 = - R（右） [罪 t吨 - Π 余弦 t吨] d日一 + 第页余弦 φ \frac{⏴}{⏴ 一} [\frac{余弦 t吨 + Π 罪 t吨}{\sqrt{1 + Π^{2}}}] d日一 \\ + \frac{余弦 t吨 + Π 罪 t吨}{\sqrt{1 + Π^{2}}} d日 [第页余弦 φ] \\ d日 z（z） = d日 [第页罪 φ] \end{array}$

这些差值必须平方和相加才能形成区间。从前两个差异的最后一项开始：

$[\frac{罪 t吨 - Π 余弦 t吨}{\sqrt{1 + Π^{2}}}]^{2} d日 [第页余弦 φ]^{2} + [\frac{余弦 t吨 + Π 罪 t吨}{\sqrt{1 + Π^{2}}}]^{2} d日 [第页余弦 φ]^{2} = d日 [第页余弦 φ]^{2}$

这很容易与第三个微分的平方结合，得出

$d日 [第页余弦 φ]^{2} + d日 [第页罪 φ]^{2} = d日 {第页}^{2} + {第页}^{2} d日 φ^{2}$

接下来考虑区间中可能的交叉项。首先是

$\begin{array}{l} 2 R（右） [余弦 t吨 + Π 罪 t吨] d日一 \cdot \frac{罪 t吨 - Π 余弦 t吨}{\sqrt{1 + Π^{2}}} d日 [第页余弦 φ] \\ - 2 R（右） [罪 t吨 - Π 余弦 t吨] d日一 \cdot \frac{余弦 t吨 + Π 罪 t吨}{\sqrt{1 + Π^{2}}} d日 [第页余弦 φ] = 0 \end{array}$

然后

$\begin{array}{l} 2 第页余弦 φ \frac{⏴}{⏴ 一} [\frac{罪 t吨 - Π 余弦 t吨}{\sqrt{1 + Π^{2}}}] d日一 \cdot \frac{罪 t吨 - Π 余弦 t吨}{\sqrt{1 + Π^{2}}} d日 [第页余弦 φ] \\ + 2 第页余弦 φ \frac{⏴}{⏴ 一} [\frac{余弦 t吨 + Π 罪 t吨}{\sqrt{1 + Π^{2}}}] d日一 \cdot \frac{余弦 t吨 + Π 罪 t吨}{\sqrt{1 + Π^{2}}} d日 [第页余弦 φ] \\ = \frac{1}{2} \frac{⏴}{⏴ 一} [(\frac{罪 t吨 - Π 余弦 t吨}{\sqrt{1 + Π^{2}}})^{2} + (\frac{余弦 t吨 + Π 罪 t吨}{\sqrt{1 + Π^{2}}})^{2}] d日一 \cdot d日 [{第页}^{2} {余弦}^{2} φ] \\ = \frac{1}{2} \frac{⏴ [1]}{⏴ 一} d日一 \cdot d日 [{第页}^{2} {余弦}^{2} φ] = 0 \end{array}$

因此，在参数化的三个变量中，区间是对角的。

剩下的就是对变量中的微分求平方和一.总系数为 $d日一^{2}$ 省略，第一个术语很简单：

${R（右）}^{2} (余弦 t吨 + Π 罪 t吨)^{2} + {R（右）}^{2} (罪 t吨 - Π 余弦 t吨)^{2} = {R（右）}^{2} (1 + Π^{2})$

其余的项需要做更多的工作。交叉项给出

$\begin{array}{l} 2 R（右） [余弦 t吨 + Π 罪 t吨] \cdot 第页余弦 φ \frac{⏴}{⏴ 一} [\frac{罪 t吨 - Π 余弦 t吨}{\sqrt{1 + Π^{2}}}] \\ - 2 R（右） [罪 t吨 - Π 余弦 t吨] \cdot 第页余弦 φ \frac{⏴}{⏴ 一} [\frac{余弦 t吨 + Π 罪 t吨}{\sqrt{1 + Π^{2}}}] \\ = \frac{2 R（右）第页余弦 φ}{\sqrt{1 + Π^{2}}} (1 - u个) [[余弦 t吨 + Π 罪 t吨] [(1 + u个) 余弦 t吨 + Π 罪 t吨] \\ + [罪 t吨 - Π 余弦 t吨] [(1 + u个) 罪 t吨 - Π 余弦 t吨]] \\ = \frac{2 R（右）第页余弦 φ}{\sqrt{1 + Π^{2}}} (1 - u个) (1 + u个 + Π^{2}) \end{array}$

而最终条款是

$\begin{array}{l} [第页余弦 φ \frac{⏴}{⏴ 一} [\frac{罪 t吨 - Π 余弦 t吨}{\sqrt{1 + Π^{2}}}]]^{2} + [第页余弦 φ \frac{⏴}{⏴ 一} [\frac{余弦 t吨 + Π 罪 t吨}{\sqrt{1 + Π^{2}}}]]^{2} \\ = \frac{[第页余弦 φ (1 - u个)]^{2}}{1 + Π^{2}} [[(1 + u个) 余弦 t吨 + Π 罪 t吨 + \frac{Π u个 (罪 t吨 - Π 余弦 t吨)}{1 + Π^{2}}]^{2} \\ + [(1 + u个) 罪 t吨 - Π 余弦 t吨 - \frac{Π u个 (余弦 t吨 + Π 罪 t吨)}{1 + Π^{2}}]^{2}] \\ = \frac{[第页余弦 φ (1 - u个)]^{2}}{1 + Π^{2}} [(1 + u个)^{2} + Π^{2} - \frac{2 Π^{2} {u个}^{2}}{1 + Π^{2}} + \frac{Π^{2} {u个}^{2}}{1 + Π^{2}}] \\ = \frac{[第页余弦 φ (1 - u个)]^{2}}{(1 + Π^{2})^{2}} (1 + u个 + Π^{2})^{2} \end{array}$

因此，这个间隔非常简单：

$\begin{array}{l} d日秒^{2} = d日 {x个}^{2} + d日年^{2} + d日 {z（z）}^{2} \\ = d日 {第页}^{2} + {第页}^{2} d日 φ^{2} + (1 + Π^{2}) [R（右） + \frac{(1 - u个) (1 + u个 + Π^{2})}{(1 + Π^{2})^{三 / 2}} 第页余弦 φ]^{2} d日一^{2} \end{array}$

对于其中之一 $u个 = 0$ 或 $u个 = 1$ 一个有 $Π = 0$ ,这样，对于两个最终案例，度量中的复杂性就消失了。在前一种情况下，公制恢复为圆环的公制，在后一种情况中，公制也恢复为圆柱体的公制。

由于径向参数的系数是公制中的一个，因此从表面积到体积的过渡很小。表面积本身相当简单

$\begin{array}{l} 秒 = {¦Β}_{0}^{2 π} d日一 {¦Β}_{0}^{2 π} d日 φ 第页 \sqrt{1 + Π^{2}} [R（右） + \frac{(1 - u个) (1 + u个 + Π^{2})}{(1 + Π^{2})^{三 / 2}} 第页余弦 φ] \\ = 2 π 第页 R（右） {¦Β}_{0}^{2 π} d日一 \sqrt{1 + (π - 一)^{2} {u个}^{2} (1 - u个)^{2}} \\ = 2 π 第页 R（右） {¦Β}_{- π}^{π} d日 x个 \sqrt{1 + {u个}^{2} (1 - u个)^{2} {x个}^{2}} \\ 秒 = 2 π^{2} 第页 R（右） [\sqrt{1 + π^{2} {u个}^{2} (1 - u个)^{2}} + \frac{{新几内亚}^{- 1} [π u个 (1 - u个)]}{π u个 (1 - u个)}] \end{array}$

因为对角度变量的积分去除了积分中最复杂的部分。体积是另一个径向积分：

$V（V） = {¦Β}_{0}^{第页} d日第页秒 = π^{2} {第页}^{2} R（右） [\sqrt{1 + π^{2} {u个}^{2} (1 - u个)^{2}} + \frac{{新几内亚}^{- 1} [π u个 (1 - u个)]}{π u个 (1 - u个)}]$

括号中的数量等于两个 $u个 = 0$ 或 $u个 = 1$ .

奇怪的是，尽管环面和圆柱体的表面积和封闭体积如一开始所述是相等的，但对于中间状态而言，这并不正确。以下是方括号中的函数，表示与两个端部情况的偏差：

这并不是一个戏剧性的偏离，而是一个完全相同的偏离。也许一个有趣的问题是，是否存在一个变换，使这两个度量对于插值参数的所有值保持不变。