任意平面轨道的势

在经典力学中，通常指定相互作用势，并求解由势决定的轨道的拉格朗日或哈密尔顿方程。对于平面轨道，这个过程很容易逆转：给定一个与径向距离和角度变量相关的可逆极坐标图，人们总是可以找到生成该轨道的相应球对称势。

从二维球对称拉格朗日方程开始：

$ℒ = \frac{1}{2} 米 ({\overset{\cdot}{x个}}^{2} + {\overset{\cdot}{年}}^{2}) - V（V） (第页) = \frac{1}{2} 米 ({\overset{\cdot}{第页}}^{2} + {第页}^{2} {\overset{\cdot}{φ}}^{2}) - V（V） (第页)$

该方法更普遍地适用于大于或等于2的任意维数，但对于不变平面中的轨道计算，2就足够了。由于角变量不出现在拉格朗日函数中，因此其相应的共轭动量守恒：

${第页}_{φ} = \frac{\partial ℒ}{\partial \overset{\cdot}{φ}} = 米 {第页}^{2} \overset{\cdot}{φ} = 常数 = L（左）$

这是球对称系统角动量守恒的表述。它可用于根据径向变量确定角度变量的时间导数：

$\overset{\cdot}{φ} = \frac{L（左）}{米 {第页}^{2}} \overset{\cdot \cdot}{φ} = - \frac{2 L（左）}{米 {第页}^{3}} \overset{\cdot}{第页}$

径向变量的拉格朗日方程为

$\begin{array}{c} \frac{d日}{d日 t吨} \frac{\partial ℒ}{\partial \overset{\cdot}{第页}} = \frac{\partial ℒ}{\partial 第页} \\ 米 \overset{\cdot \cdot}{第页} = 米第页 {\overset{\cdot}{φ}}^{2} - \frac{d日 V（V）}{d日第页} = \frac{{L（左）}^{2}}{米 {第页}^{3}} - \frac{d日 V（V）}{d日第页} \end{array}$

其中，角动量守恒的表述被用来完全用径向变量写出方程的右侧。

现在，让绕轨道运动的物体在极坐标系中遵循任意可逆曲线：

$第页 = （f） (φ) \leftrightarrow φ = {（f）}^{- 1} (第页)$

注意到 $\overset{\cdot}{第页} = \overset{\cdot}{（f）}$ 根据定义，计算轨道的二阶时间导数：

$\begin{array}{l} \overset{\cdot \cdot}{第页} = \frac{d日}{d日 t吨} [\frac{d日（f）}{d日 φ} \overset{\cdot}{φ}] \\ = \frac{{d日}^{2} （f）}{d日 φ^{2}} {\overset{\cdot}{φ}}^{2} + \frac{d日（f）}{d日 φ} \overset{\cdot \cdot}{φ} \\ = \frac{{d日}^{2} （f）}{d日 φ^{2}} {\overset{\cdot}{φ}}^{2} - \frac{d日（f）}{d日 φ} \frac{2 L（左）}{米 {（f）}^{3}} [\frac{d日（f）}{d日 φ} \overset{\cdot}{φ}] \\ \overset{\cdot \cdot}{第页} = \frac{{L（左）}^{2}}{米^{2} {（f）}^{4}} [\frac{{d日}^{2} （f）}{d日 φ^{2}} - \frac{2}{（f）} (\frac{d日（f）}{d日 φ})^{2}] \end{array}$

将其放入径向变量的拉格朗日方程中，可以得到

$\frac{d日 V（V）}{d日第页} = - \frac{{L（左）}^{2}}{米 {（f）}^{4}} [\frac{{d日}^{2} （f）}{d日 φ^{2}} - \frac{2}{（f）} (\frac{d日（f）}{d日 φ})^{2} - （f）]$

而这两个符号第页和（f）是可互换的，将此方程的每一侧保留在单独的变量标签中很有用，以使方法显式。右侧的导数是针对角度变量进行计算的，简化后将其替换为径向变量。再进行一次积分，就可以得到生成任意轨道的潜力，该轨道被用作该方法的输入。

在考虑显式示例之前，请注意

$\frac{{d日}^{2} （f）}{d日 φ^{2}} - \frac{2}{（f）} (\frac{d日（f）}{d日 φ})^{2} = - {（f）}^{2} \frac{{d日}^{2}}{d日 φ^{2}} (\frac{1}{（f）})$

决定电势的方程式可以更简单地写成

$\frac{d日 V（V）}{d日第页} = \frac{{L（左）}^{2}}{米 {（f）}^{3}} [（f） \frac{{d日}^{2}}{d日 φ^{2}} (\frac{1}{（f）}) + 1]$

该方程的形式表明（f）仅仅是重新衡量潜力，因此为了简单起见，可以忽略不计。使用该等式更简单

$\frac{d日 𝒱}{d日第页} = \frac{1}{{（f）}^{3}} [（f） \frac{{d日}^{2}}{d日 φ^{2}} (\frac{1}{（f）}) + 1]$

然后根据需要在末尾加上角动量和质量因子。

现在可以开始玩了！对于第一种情况，考虑极坐标中的直线：

$\begin{array}{c} x个 = 第页余弦 φ = 常数 = 1 \\ 第页 = \frac{1}{余弦 φ} \end{array} \to \begin{array}{l} \frac{d日 V（V）}{d日第页} = 0 \\ V（V） = 常数 \end{array}$

这正是人们对自由粒子的期望。最初一个奇怪的结果是，对于一个完美的圆形轨道，

$第页 = 常数 = 1 \to \begin{array}{l} \frac{d日 V（V）}{d日第页} = \frac{{L（左）}^{2}}{米 {（f）}^{3}} = \frac{{L（左）}^{2}}{米 {第页}^{3}} \\ V（V） = - \frac{{L（左）}^{2}}{2 米 {第页}^{2}} + 常数 \end{array}$

直到人们记住，任何有效势能极值的吸引中心力都存在完美的圆形轨道。这里的结果代表了实际势能的值与有效势能中的角动量项的平衡。

现在考虑相对于其焦点之一描述的椭圆轨道：

$第页 = \frac{1}{1 - 电子余弦 φ}$

相应的电位（无比例因子）为

$\begin{array}{l} \frac{d日 𝒱}{d日第页} = \frac{1}{{（f）}^{3}} [\frac{电子余弦 φ}{1 - 电子余弦 φ} + 1] = \frac{1}{{（f）}^{2}} = \frac{1}{{第页}^{2}} \\ 𝒱 = - \frac{1}{第页} \end{array}$

这当然是开普勒势，当包含所有必要的常数因子时。如果椭圆是相对于其几何中心描述的，

$第页 = \frac{1}{\sqrt{1 - {电子}^{2} {余弦}^{2} φ}}$

则相应的电势为

$\begin{array}{l} \frac{d日 𝒱}{d日第页} = \frac{1}{{（f）}^{3}} [\frac{{电子}^{2} ({余弦}^{2} φ - 罪^{2} φ)}{1 - {电子}^{2} {余弦}^{2} φ} - \frac{{电子}^{4} {余弦}^{2} φ 罪^{2} φ}{(1 - {电子}^{2} {余弦}^{2} φ)^{2}} + 1] \\ = (1 - {电子}^{2} {余弦}^{2} φ)^{3 / 2} \frac{1 - {电子}^{2}}{(1 - {电子}^{2} {余弦}^{2} φ)^{2}} \\ \frac{d日 𝒱}{d日第页} = (1 - {电子}^{2}) 第页 \\ 𝒱 = \frac{1 - {电子}^{2}}{2} {第页}^{2} \end{array}$

这是一个很好的结果：将吸引势的源从焦点移到椭圆的中心，将开普勒势变成简单谐振子的势。这个结果已经为牛顿所知，并包含在普林西米亚它代表了对电源电位。

现在尝试一些更奇特的东西：阿基米德螺旋

$第页 = φ$

对应的电势为

$\begin{array}{l} \frac{d日 𝒱}{d日第页} = \frac{1}{φ^{3}} [\frac{2}{φ^{2}} + 1] = \frac{2}{{第页}^{5}} + \frac{1}{{第页}^{3}} \\ 𝒱 = - \frac{1}{2 {第页}^{4}} - \frac{1}{2 {第页}^{2}} \end{array}$

如果在写入哈密顿量时恢复缺失因子，则此结果更有意义

$H（H） = \frac{{第页}_{第页}}{2 米} + \frac{{L（左）}^{2}}{2 米 {第页}^{2}} + \frac{{L（左）}^{2}}{米} 𝒱 = \frac{{第页}_{第页}}{2 米} - \frac{{L（左）}^{2}}{2 米 {第页}^{4}}$

有效势没有反平方角动量项，因此势中没有势阱，因此没有极值。当然，这是因为阿基米德螺线继续无穷大，不能代表束缚轨道。

继续讨论束缚轨道，考虑极性方程

$第页 = 1 - 电子余弦 φ$

哪一个是心形的电子=1，但通常是利马松。相应的电位为

$\begin{array}{l} \frac{d日 𝒱}{d日第页} = \frac{1}{{（f）}^{3}} [- \frac{电子余弦 φ}{1 - 电子余弦 φ} + \frac{2 {电子}^{2} 罪^{2} φ}{(1 - 电子余弦 φ)^{2}} + 1] \\ = \frac{2 ({电子}^{2} - 1)}{{第页}^{5}} + \frac{3}{{第页}^{4}} \\ 𝒱 = \frac{1 - {电子}^{2}}{2 {第页}^{4}} - \frac{1}{{第页}^{3}} \end{array}$

对于0<电子<1这里的有效势确实有一个能发生闭合轨道的势阱。这并不一定意味着这样的轨道将是稳定的：这是一个单独的问题，在这篇简短的演讲中不会进行研究。

玫瑰花型曲线是以其像花瓣一样的裂片命名的，可以用两种不同的方式来描述。一种是直接三角函数，

$第页 = 余弦 (n个 φ)$

哪里n个对于闭合轨道是合理的。与此描述相对应的电位为

$\begin{array}{l} \frac{d日 𝒱}{d日第页} = \frac{1}{{（f）}^{3}} [{n个}^{2} + \frac{2 {n个}^{2} 罪^{2} n个 φ}{{余弦}^{2} n个 φ} + 1] \\ = \frac{2 {n个}^{2}}{{第页}^{5}} + \frac{1 - {n个}^{2}}{{第页}^{3}} \\ V（V） = - \frac{{n个}^{2}}{2 {第页}^{4}} + \frac{{n个}^{2} - 1}{2 {第页}^{2}} \end{array}$

这种情况下的有效势并没有一个势阱，因为轨道必然通过引力中心。潜力减少为一项n个=1，相应的轨道是一个圆周上有原点的圆。

玫瑰曲线的另一种描述是三角函数的平方根：

$第页 = \sqrt{余弦 (n个 φ)}$

哪里n个对于闭合轨道也是合理的。与此描述相对应的电位为

$\begin{array}{l} \frac{d日 𝒱}{d日第页} = \frac{1}{{（f）}^{3}} [\frac{{n个}^{2}}{2} + \frac{3 {n个}^{2} 罪^{2} n个 φ}{4 {余弦}^{2} n个 φ} + 1] \\ = \frac{3 {n个}^{2}}{4 {第页}^{7}} + \frac{4 - {n个}^{2}}{4 {第页}^{3}} \\ 𝒱 = - \frac{{n个}^{2}}{8 {第页}^{6}} + \frac{{n个}^{2} - 4}{8 {第页}^{2}} \end{array}$

这种情况下的有效势也没有一个势阱，因为轨道必然通过引力中心。潜力减少为一项n个=2，相应的轨道为柠檬形。

这些势的评估主要是为了说明经典力学的数学结构，但人们很容易问这样一个问题，即人们是否能够在某种意义上实现这些轨道。众所周知，球对称源外普通物质的引力势总是开普勒势：这一结果使牛顿能够将行星视为普林西米亚众所周知，均匀球形质量内的势是简谐振子的势，这使得人们可以断言，在穿过球形质量的隧道中运动的物体将执行简谐运动。

在同样的理想化中，人们可以想象普通物质的球形分布，以及任意平面轨道形状的狭窄隧道，其中隧道材料的移除量足够小，不会明显改变质量的整体重力场。然后，人们可以问物质的径向分布会产生与任意平面轨道相对应的势。在理想的意义上，人们可以尝试用普通物质物理实现轨道。

在经典牛顿引力中，物质分布内的势与物质密度相关泊松方程,

$ρ = \frac{1}{4 π G公司} \nabla^{2} V（V）$

其中方程通常依赖于所有空间变量。对于球对称势n个尺寸减少到单个项，泊松方程变为

$ρ (第页) = \frac{{第页}^{1 - n个}}{4 π G公司} \frac{{d日}^{2}}{d日 {第页}^{2}} [{第页}^{n个 - 1} V（V） (第页)]$

哪里n个=3对应于我们的物理现实。对于包含与第页^k个，对质量密度的贡献与

${第页}^{1 - n个} \frac{{d日}^{2}}{d日 {第页}^{2}} [{第页}^{k个 + n个 - 1}] = (k个 + n个 - 1) (k个 + n个 - 2) {第页}^{k个 - 2}$

真实的质量密度在原点不能有奇点，这意味着势项的指数必须大于等于2。回顾对任意平面轨道评估的势，唯一与物质密度中的中心奇点不对应的是以引力源为中心的椭圆，即众所周知的简谐振子势。所考虑的其他轨道必须保持数学上的好奇。

最后一点n个-维泊松方程提供了一种将经典引力外推到更高维的方法，从而产生了一种形式的高维开普勒势

$V（V） (第页, n个) = \frac{G公司 M（M）米}{{第页}^{n个 - 2}}$

同样的形式出现在n个-广义相对论中的维Schwarzschild解。这是因为通过泊松方程的重力相当于空间平坦广义相对论度量的等时间切片。

外推开普勒势的有效势只有一个势阱n个=3，所以在经典力学中，不通过吸引中心的闭合轨道只能存在于这个特定维度。保罗·埃伦菲斯特[程序。阿姆斯特丹学院。 20，200-209（1917）]认为稳定行星轨道的存在表明我们的物理空间不能超过三维。他的结论为高维物理学的推测提供了一个重要的边界条件。