迈克尔·A·贝内特。 关于S.S.Pillai的一些指数方程。 （英语） Zbl 0984.11014号 可以。数学杂志。 53，第5期，897-922（2001）. Pillai的一个古老但尚未被证明的猜想指出，对于任何给定的正整数（c），只有有限多个四元组的整数（（a，x，b，y）与（a^x-b^y=c）、（a>1）、（x>1），（b>1）和（y>1）。作者考虑了该方程的一个特例，即（1）（a^x-b^y=c\）的整数\（x>0），\（y>0）。早在1918年，Polyá就证明了（1）只有有限多个解，Pillai证明了如果（text{gcd}（a，b）=1）和（c）足够大，则该方程至多只有一个解。Pillai的结果是无效的，因为（c）所需的下限无法有效计算。在本文中，作者证明了（1）在正整数\（x，y\）中最多有两个解，除了\（a，b\geq2\），\（c\geq1\）之外，没有任何条件强加在\（a，b，c\）上。这改进了Le和Shorey的早期结果，他们在特殊情况下\（\text｛gcd｝（a，b）=1\），\（\main（a，b）\geq 10^5\）证明了（1）最多有两个\（x>1，y>1\）的解（作者还包括\（x=1\）或\（y=1\）的解）。作者的论点基于Laurent、Mignotte和Nesterenko提出的两个对数线性形式的一个明显下限，以及一个基本但巧妙的间隙论证。作者推测（1）至多有一个解，除了那些属于他论文中给出的有限显式列表的三元组（a，b，c）。他证明了这个猜想的几个特殊情况。首先，他用（c\leq 100）证明了他对三元组（（a，b，c）的猜想。其次，他证明了（1）如果（c\geqb^{2a^2\loga}）最多有一个解；这是皮莱上述结果的有效版本。作者还证明了一个对应项，这意味着如果（c）就（a，b）而言足够小，则（1）至多有一个解；这扩展了Terai的一个结果，他证明了如果\（text{gcd}（a，b）=1\）和\（a-b=c\）是这个形状的结果。审核人：Jan-Hendrik Evertse（莱顿） 引用于三评论引用于32文件 数学溢出问题： 2^m=3^n+r对每个r有有限多个解吗？ MSC公司： 11日61分 指数丢番图方程 11点45分 丢番图方程的计数解 11J86型 对数的线性形式；贝克法 关键词：指数方程;皮莱方程;对数中的线性形式 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.A.Bennett}，加拿大。数学杂志。53，第5号，897--922（2001；Zbl 0984.11014） 全文： 内政部 整数序列在线百科全书： Pillai方程a^x-b^y=n的解的个数，其中a>0，b>0，x>1，y>1。 方程|2^x-3^y|=n的正整数解的个数。 存在整数a>1和b>1的数c>0，使得方程a^x-b^y=c在正整数x，y中有两个解。