D.A.戈德斯顿。 论哈代和利特伍德对哥德巴赫猜想的贡献。 （英语） Zbl 0792.11039号 Bombieri，E.（ed.）等人，《1989年9月25日至29日在意大利阿马尔菲市迈奥里举行的阿马尔菲解析数论会议记录》。萨勒诺：萨勒诺大学，115-155（1992）。 在1924年的论文Partitio Numerorum V中，Hardy和Littlewood证明了如果广义黎曼假设（GRH）成立，那么几乎所有的偶数都是两个素数的和。更具体地说，他们表明，如果\（E（N）\）表示不是两个素数之和的偶整数\（N\leq N\）的个数，那么\（E（N）\ll N^｛1/2+\varepsilon｝\）。在本文中，作者研究了在GRH假设下，哥德巴赫猜想哈代的这项工作中产生的几个问题。设（R（n，n）=\displaystyle{\sum_{p，p'\leq n，p+p'=n}}（\log p）（\ log p'）），（nu（n，n）=\displaystyle{\sum_{n'，n'\leqN，n'+n''=n{}}1），并设（{\mathfrak S}（n））为常用的Hardy-Littlewood奇异级数。一个直截了当的论点表明\[\sum_{n\leq 2N}（R（n，n）{mathfrak S}（n）nu（n，n））^2\ll\Sigma_1（Q）+\Sigma（Q）。\]\（Sigma_1）和（Sigma）是将区间（[0,1]\）分解为Farey区间时产生的表达式；它们的精确定义太复杂了，无法在这里给出。第二个表达式\（\Sigma（Q）\）不涉及素数；相反，它只涉及众所周知的算术函数。作者证明了（在GRH下）当（infty（1）leqQ\leqo（N^{1/2}/\log^2N））时的渐近估计（Sigma（Q）\sim AN^3/（3Q^2）），以及当（inffy（N^{1/2{log^2 N））。这里，\（g=infty（f）\）表示\（f=o（g）\），\（A\）是常数\（prod_p\bigl（1+（2-1/p）/（p-1）^2\bigr）\）。作者还给出了关于生成函数（S（alpha）=sum{p\leqN}e（p\alpha））及其逼近（S_1（beta；q，a）=S（a/q+beta）-\mu（q）\varphi^{-1}（q。让\[S_1^*（Q）=\max_{Q\leqQ}\max_}（a，Q）=1}\max_{|\beta|\leq1/qQ}|S_1（\beta；Q，a）|。\]作者证明了如果GRH为真，并且如果（infty（1）leqQ\leqo（N^{1/2}/\log^2N）），那么（S_1^*（Q）\ggNQ^{-1}\log^{-1/2}N）。如果GRH为真且为（infty（N^{1/2}\log^2N）\leqQ\leqo（N）\），则为（S_1^*（Q）\ggQ\log^{-1/2}Q\）。关于整个系列，请参见[兹比尔0772.00021].审核人：S.W.格雷厄姆（霍顿） 引用于1审查引用于10文件 MSC公司： 第12页 哥德巴赫型定理；涉及素数的其他加法问题 第55页 Hardy-Littlewood方法的应用 关键词：圆形法;哥德巴赫猜想 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{D.A.Goldston}，摘自：1989年9月25日至29日在意大利阿马尔菲的迈奥里举行的阿马尔非分析数论会议记录。萨勒诺：萨勒诺大学。115-155（1992年；Zbl 0792.11039）