谢尔盖·朗 [保罗·沃伊塔] Arakelov理论简介。Paul Vojta的附录：丢番图不等式和Arakelov理论。 （英语） 兹比尔0667.14001 纽约等地：Springer-Verlag。x、 187 p.DM 98.00（1988）。 设\（R\）为Dedekind域，设\（pi:X\ to S=\mathrm{Spec}（R）\）为算术曲面；也就是说，（X）是一个正则的积分格式，在（S）上是适当的，它的一般纤维是一条光滑的曲线。对于任何闭点（x中的x）和（x上没有公共分量的除数（D_1），可以用通常的方法定义局部交集指数（<D_1，D_2>_x\）为（{mathcal O}_x/（f1，f2））的长度，其中\（fi\）是\（D_i\）的局部方程。对这些局部交集指数求和，可以得到一个满意的无公共分量除数的全局交集理论[I.R.沙法列维奇，“关于二维方案的最小模型和双有理变换的讲座”，塔塔学院基金会。勒克特研究。数学。物理。，数学。37 (1966;Zbl 0164.51704号); 美国数学。Soc.、Transl.、。，二、。序列号。31, 25–39 (1963;Zbl 0133.29303号); 翻译自Proc。国际会议。数学。1962, 163–176 (1963;Zbl 0126.06902)以及S.利希滕巴姆《美国数学杂志》。90, 380–405 (1968;Zbl 0194.22101号)].在复射影曲面的经典理论中，大多数主要定理（无论是陈述还是证明）都依赖于这样一个事实，即全局交集对仅依赖于除数的线性等价类。其根本原因是曲面是完整的。算术曲面是不完整的，因为它的基\（S=\mathrm{Spec}（R）\）是仿射曲线的算术模拟。可以通过为\（R\）上的每个阿基米德绝对值添加一个额外的点来完成\（S\）。然后，对于每个这样的无限点，通过取黎曼曲面（X_v=X\times_S\mathrm{Spec}（K_v）），将光纤添加到（X到S）。（这里\（K\）是\（R\）的商域，\（K_v\）是它的完成式。）1974年，Arakelov提出了如何定义光纤上“无穷远”点（x）的交点指数（<D_1，D_2>_x），并证明了他的扩展交点对在线性等价下是不变的。然后，他证明了（在一些假设下）经典附加公式的算术模拟。最近，G.福尔廷斯[数学年鉴.（2）119，387–424（1984；Zbl 0559.14005号)]证明了Riemann-Roch定理的算术类比，以及Fallings（loc.cit.）和P.Hriljac先生【美国数学杂志107，23-38（1985；Zbl 0593.14004号)]（独立地）对霍奇指数定理也做了同样的处理。在这篇对Arakelov交集理论的简明介绍中，作者涵盖了上述所有材料，并给出了一些应用。他从线束上的度量理论开始，接着构建格林函数，这些函数是定义“无穷远”光纤上的Arakelov交点所必需的。接下来，他定义并证明了有限光纤上局部交集对的主要性质，Lichtenbaum（loc.cit.）和Shafarevich（loc.cit）也是如此。本书的核心部分从第四章开始，介绍了Arakelov交集对的定义、线性等价下不变性的证明、Hodge指数定理、度量标准层的构造以及算术附加公式的证明。第五章接着证明了Fallings的算术Riemann-Roch定理，该定理用交集数表示某些上同调群的（co）体积。构建上同调的Fallings卷形式所需的技术材料被归入最后一章。最后，保罗·沃伊塔（Paul Vojta）的一个简短附录描述了著名的（c^2_1\leq 3c_2）不等式的Parshin（猜想）算术类比，并将Parshin的问题与他自己的一些猜想联系起来。作者在一个新的、激动人心的、非常活跃的研究领域写了一本优秀的书。毫无疑问，它将成为算术几何领域的标准参考文献，因为它以连贯的方式汇集了以前只有在原始期刊文章中才能获得的基本材料。然而，应该警告潜在读者，这不是初学者的教科书；它假设读者在代数数论和代数几何方面有扎实的背景知识[都是代数的，如R.哈特肖恩他的书《代数几何》（1977；Zbl 0367.14001号; 1983年第3版）和复杂的P.格里菲斯和J.哈里斯：《代数几何原理》（1978；Zbl 0408.14001号)]。熟悉作者的书《丢番图几何基础》（1983；Zbl 0528.14013号). 但对于那些有必要背景的人来说，这本正在审查中的书为算术几何的最新进展提供了一个受欢迎的入口。审核人：约瑟夫·希尔弗曼（普罗维登斯） 引用于6评论引用于103文件 MSC公司： 14C17号 交理论，特征类，代数几何中的交乘法 14H25号 曲线的算术地面场 14国道25号 代数几何中的全局地面场 2002年2月14日 代数几何相关的研究综述（专著、调查文章） 关键词：算术曲面;全局交集理论;霍奇指数定理;Arakelov交集配对;算术附加公式 引文：Zbl 0133.29303号;Zbl 0531.14001号;Zbl 0126.06902;Zbl 0164.51704号;Zbl 0194.22101号;Zbl 0559.14005号;兹比尔0593.14004;Zbl 0367.14001号;Zbl 0408.14001号;Zbl 0528.14013号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{S.Lang}，阿拉克洛夫理论简介。Paul Vojta的附录：丢番图不等式和Arakelov理论。纽约等地：施普林格出版社（1988年；Zbl 0667.14001）