丹尼尔·斯特罗克。;瓦拉丹，S.R.斯里尼瓦萨 多维扩散过程。 （英文） Zbl 0426.60069号 德国数学研究所. 233. 柏林，海德堡，纽约：斯普林格·弗拉格。十二、 338 p.70.00德国马克；$38.50 (1979). 这本书发展了马尔可夫扩散过程的鞅方法，沿着1969年发表的两篇论文中同一作者提出的路线。这种方法被广泛用于构造和处理各种类型的马尔可夫过程。作者选择了一种非常完整的方法来涵盖扩散过程的情况。同一方法的其他方面以及补充书目可以在[J.贾科德，Calcul随机与鞅问题。数学课堂讲稿。714.柏林-海德堡-纽约：施普林格-弗拉格（1979；兹伯利0414.60053)]. 扩散过程的鞅方法包括研究以下“鞅问题”：给定函数\（a:[0，\infty）\times\mathbb{R}^d\to S^d\）（对称\（geq0）\（d\timesd）-矩阵的集合）和\（b:[0、\infty）\times \mathbb{R}^d\to\ mathbb}R}^1\），定义算子：\[L_u=压裂1 2总和_{i，j}a_{i，j}（u，x）\frac{\partial^2}{\particalx_i\partial x_j}+\sum_ibi（u，x）\frac{\paratil}{\protialx_i}\]相应鞅问题的解，从（s，x）开始，是连续路径空间（C（mathbb）上的概率测度{右}_+;\mathbb{R}^d），这样（i）\（P（x（t）=x，0\leq-t\leqs）=1\）；（ii）\（f（x（t））-\int_s^tL_uf（x）（u））\，du\）是所有\（f\在C_0^中（\mathbb{R}^d）\）的\（P\）-鞅。作者研究了以下问题：（i）解的存在性；（ii）独特性；（iii）附加属性，在一个属性同时存在和唯一的情况下。本书的前三分之一涉及构造扩散过程的其他方法，这些方法在某些情况下提供了鞅问题的解决方案：Kolmogorov后向方程方法和Ito随机微分方程方法。然后，从存在性出发，研究了鞅问题。对唯一性进行了详细研究，唯一性更难证明，需要扩散系数（a）的非简并性。在类似条件下证明了该过程的Feller性质。同时，建立了Cameron-Martin-Girsanov公式。一章致力于Yamada和Watanabe-an-Ito的唯一性的结果，以及它对鞅问题解的唯一性的暗示。最后一章是关于非唯一的情况，在这种情况下，可以在解决方案中进行“良好”选择。虽然该理论首先是在有界系数的情况下发展起来的，但最后一章的其中一章将致力于将其推广到局部有界系数情况。基本上，只要过程没有爆炸，结果是相同的。给出了爆炸和非爆炸的条件。下一章到最后一章是关于极限定理：扩散过程收敛于扩散过程，马尔可夫链收敛于扩散进程（结果称为不变性定理）。在这里，证明了鞅公式非常强大，因为鞅方法在证明极限定理方面非常有用。其中一些是构成第1章的概率初步材料的一部分。本书末尾的附录建立了奇异积分理论的一些估计。书中提出的理论的很大一部分确实需要这些分析结果。本书对（mathbb{R}^d）中的扩散过程理论进行了非常完整的处理。解释了与偏微分方程的各种联系。课文本身还辅以大量练习，其中经常提到证明的主要思想。这本书写得很仔细。许多介绍和评论解释了这些想法，除非隐藏在通常非常复杂的技术细节后面。数学严谨性保持在很高的水平。例如，给出了Ito随机积分的构造，既没有完成sigma代数，也没有跳过预期零测度集的困难。这本书构成了一本关于扩散过程的非常完整的参考文本，有些结果是独一无二的。它应该被证明对理论和应用概率论者都非常有用。例如，极限定理在随机控制和滤波理论中非常有用。虽然马尔可夫过程理论、鞅理论、概率测度的弱收敛性所需的所有结果都在第一章中得到了证明，但读者应该具有概率论和分析的良好背景，进行了一些基本的功能分析。我相信这本书将被研究人员和教师使用，并将成为对扩散过程理论感兴趣的科学家常用的参考书。审核人：艾蒂安·帕杜（马赛） 页码：24/35−5 −4 −3 −2 −1 ±0 +1 +2 +3 +4 +5 显示扫描的页面 引用于26评论引用于899文件 MSC公司： 60J60型 扩散过程 60G44型 具有连续参数的鞅 60小时10分 随机常微分方程（随机分析方面） 60F99型 概率论中的极限定理 93埃克斯 随机系统与控制 关键词：多维扩散过程;鞅方法;随机微分方程;极限定理;Cameron-Martin-Girsanov公式;随机控制与滤波 引文：Zbl 0414.60053号 PDF格式BibTeX公司 XML格式