Tamaki Yano 关于b函数理论。 （英语） Zbl 0389.32005号 出版物。研究机构数学。科学。，京都大学。 14, 111-202 (1978). 页码：−5 −4 −3 −2 −1 ±0 +1 +2 +3 +4 +5 显示扫描页面 引用于5评论引用于37文件 MSC公司： 32A45型 超函数 2015年1月46日 超函数，分析泛函 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{T.Yano}，出版物。Res.Inst.数学。科学。14、111--202（1978；Zbl 0389.32005） 全文： 内政部 参考文献： [1] [30]、[34]和[37]。关于方程式（1）的历史注释如下。I.M.Gelfangl在阿姆斯特丹国会上推测，利用设计定理可以很好地研究f+的分析性质。事实上，I.N.Bernstein-S.I.Gelfand[39]和M.F.Atiyah[38]证明了S中/+的亚纯依赖性，并用H.Hironaka的分解定理描述了其极点。1961年，M.Sato结合与这些空间相关的傅里叶变换和C函数，提出了关于预均匀向量空间上相对内变量的^函数理论[23]，[26]。另一方面，I.N.Bernstein独立地利用方程（1），证明了当/是多项式时，这种^-函数不恒等消失的存在性定理[7]。J.E.Bjork成功地推广了解析函数的Bernstein结果[8]。此后，人们对^函数的一般理论进行了大量研究[12]、[19]、[27]。作者的贡献是从这个阶段开始的。B.Malgrange指出了f的^-函数与jf的局部单值性之间的密切联系“*（））[16]，他证明了当f具有孤立奇异性时，局部单值的特征值只是^-函数根a的exp（27T-la）[17]。之后，M.Kashiwara以完全不同的方式证明了一般f的^函数根的合理性[14]。关于fa的分析性质，我们还注意到，I.N.Bernstein证明了fa满足完整系统的一个重要结果 [2] 在特殊情况下，由M.Kashiwara-T.Kawai[10]针对任何/。更一般地，完整u的fau的分析性质在 [3] 在一个特殊情况下，以及在作者随后的论文[32]中针对一般情况。与预齐次向量空间相关的^函数已被广泛研究，并由许多人确定。微观局部微积分在^-函数理论领域得到了很好的应用，这一主题将在M.Kashiwara-T.Kimura-M.Muro[41]中得到充分处理。作者感谢M.Minami博士和T.Kawai教授对手稿的批判性阅读。他衷心感谢M.Sato教授和M.Kashiwara教授提出的富有成效的建议、富有启发性的讨论和不断的努力。第一章概述在本章中，我们研究了一般3）_t9s模的基本特征以及与之相关的^-函数，这些对后面的章节是不可或缺的。作者在[32]中发展了这种b函数和模的一般理论。§1.3）[t，s]-模和6-函数设C\t，s]是C上的结合代数，具有生成元s和t，并定义关系（1）tssl=t。集3）\t9sḡ）\text注册的C\t9s。A ^-模块Jtt称为3）[s-模块c（分别为3）\t，s]-模块），如果3ttl）s3tt（分别为3tt Ds3tt，JUl^tJH）成立。在本章中，除非另有说明，否则所有模块都是31个[*，s]-模块。鉴于（1）中的tvs-（s-v）tv，Ker T、Coker tv和Im tv是3）[T，s]-模块以及给定的£D[tys模块。定义1.1。设X是一个2）_s模。如果stE&；ut^X）具有非零最小多项式，zue用dj表示？（s） 9并说“dr（i）存在。”b-f函数“for a S）[t，S Module 3”由bm>；v（S）=dm/t*m（S），v=1，2●-●定义。通常，£yu缩写为b^。很容易看出，bjitV存在当且仅当bm存在时。应该注意的是，如果X是完整的3）[£，s-模块dx存在，因为&；tdg）（£）x（x^x）是有限维的并且<；英镑#4>；（_£）是连贯的[13]。3）[£，s]的标准示例-模块构造如下。设/是UdX上的全纯函数，设X是相干函数&它；£D-模，让u是它在u上的截面。我们用S*表示u的零化子，即；J={Qzi£）\QU=0}。定义理想^（\（）<；Z.2）[>；]条件是P（s，.r，\textsterling>；）e^O）当且仅当，x，D+-grad/Wc|>（x） 我们用Jl表示模块3），用/'M表示类（1 mod/（*））。Jl=S）fsu是一个.\）[>；，s]-具有t和^动作的模块，由给出，映射在37中是内射的。事实上，如果P（5+1）/e^（j），那么对于一些m和Qj^S，左侧等于，右侧可以改写为一些R^j的形式。因此，-4-g R a d/）=，这意味着P（j）e^（5）。ID-Module S）fsu是相干的，如果u是完整的部分，则S）fsu是亚克隆的（参见[32]）。定义1.2。用一个非零多项式p（s），我将一个数zu（p）^N0以对开的方式关联起来（zv（p）称为/>；的宽度。）i） //P（s）eC*然后<；w（p）-0，ii）//p（s）=iii）//p的形式为k p（s）-XI Pi（-0>；其中每个p3（s）的形式为ii），i=l^a^mod Z 0>；/）；=最大ze；定理1。3，//dx（s）存在，则tw（d^X=Q。此外，如果-我们假设t是内射或满射的，则X=0。证明，我们有并且借助于（1），0-t^-^dx0）X=dx（s+w（djr^）t。根据w（dx）的定义，g.c.d.（dx（s，dx（s+w（d X））=1。因此，断言如下。当t为内射或满射时，很明显_£=0。Q.E.D，A相干&它；2） -对于i<^n（对应i<；^n-1）。这种情况相当于NX NX与codim SS（£）>_n（对应代码SS（X）>；72 - 1) . 如果i=£n-l，则当£*Jg（X9^）=0时，X称为纯亚克隆。众所周知，对于任何相干的^-模，Z*t（（X，2）（resp.^-'（X，5））是完整的（resp.亚完整的），而£*J（（X93））=0，Z'>；？2.设T^是SS（X）的不可约NX分量。然后，可以定义SS（X）不可约分量在一般点NX.r0处X的重数（用？nXo（X）表示）9，并且具有可加性，即，如果o<-j： 1<；-。cI<；-。\文本格式&它-o、 是相干^-模的精确序列，mXo（Xz）=niXQ（Xi）推论Ie4e。设31是亚完整S）_t，S~-模，使得t:Jl-^c3l是内射的。那么，3？完全是亚完整的。证明。考虑精确的序列Set{mathtt<；\hskip-.5e<；}C==<；\textsterling W\textsterling（32，3））。那么X是完整的，并且是&*t给出了满射X->；J-^0.因此J？-根据定理1，0。3.Q.E.D.建议1。5.根据结论1中的条件。4、bm存在。N/证明。考虑SSffl的不可约分量W。）。因为t是内射的，所以Jl/tJl在W的一般点处的重数消失。因此，codim SS（Jl/tJl）>_这意味着Jl/tJl是完整的。因此bm存在（bjiiV也存在，通过定义1.1之后的参数）。Q.E.D.如果以下两个条件之一成立，则Jl~S）\S\fsu满足推论1.4中的条件。i） f是任意全纯函数，u=l。ii）f是拟全纯的，3）u是完整的。在本文中，我们仅限于情况i）。我们研究了[32]中的案例ii），其中还讨论了b-jiiV（s）的详细结构以及Jla和s）fau（aeC）之间的关系。根据[14]的｛\s｝3中的技术，对于一般f和3）u是完整的情况，'31=-3）\s~\f-su的bm（s）的存在性可以从情况ii）的bm（s）导出。（见[32]）{\S}2^-全纯函数的函数设X是n维的复数流形，f（X）是全纯函数。在下文中，为了简洁起见，我们使用了fi=df/dxi a=S0/i的符号。我们用\textsterling/（s）表示的^-函数o f/由bf（s）=bm（*）定义，其中31=3）|>；]/f、。这里，Jl是u=l的3）[s~]fsu的特例。我们还定义了bfiV（s）=bjitV（i）。它们的存在将在稍后通过定理1.8得到保证。根据上述定义，有P（s）和Pv（s+v）&；g） [s']9这样（1）P（0/'+1=*/（*）/'，（2）Pv（*+v）/IJ''=*/>；）/'，bf（s）和bftV（s）在s中的多项式中是最小的。当我们强调点x^x时，我们使用符号bfiX（i）。此外，给定一个紧集KdX，我们设置*/.*（*）=l.c.m.bfiX（s）。x^K如果/（.r）^0，则-fs^=fs。因此\textsterling，。，(*) =1. 如果/（o；）=0，在（1）中设置j=-l，我们就知道（5+1）|bfi x（s）。如果/（*）=（），梯度/（*=0，然后\textsterling，。，（*）=（*+！）乘以A/s'l=（s+l）/s（例如当f，（x）时）。因此，我们主要关注的是bf，x（s）在/-'（Q）的奇点处。如果y位于x的足够小的邻域中，则bf:y（s）\bfiX（s）乘以（1）。对于g（x）e0，g（x0）^0，我们有b，fil，（s）=bf，x，（s。因为，如果l）grad log ff），反之亦然。因此，\textsterling/（V）是超曲面{f=0}的不变量，与定义方程的选择无关。为了方便以后使用，我们列出了^-函数理论中的基本符号。定义1.6。i）3（*'）=（P W e 3）[5]|P（s）/s=0，ii）W={（x，s grad log T70={。3? = .0[>；]/^（s），证明。31、Jtt和3的同构？a易于验证。JyR的证明如下。设P（s）为P（}+！）/'=QO）/+I.设置s=-l，我们得到Q（-1）=2 ft（：c，Z>；）D4。因此，P（，）（*+I）/’=（（S+1）P.（5）+I]ft。十、 我们可以假设f=xt。然后是（5-^A）+1]3）\s~\D，~3）/iz 3）D，。因此，=…=fn=0}=Wr在x的邻域中。由于是一个解析集，我们已经陈述了M.Kashiwara的基本定理。定理1,8。i） 3个？是亚完整的，33（71）=W.ii）bf（s）存在，bf（s=0的所有根都是严格负有理的。为了证明这一点，我们请读者参考M.Kashiwara[14]，bj（s）的存在性可以从i）和命题1中导出。5.另见[32]。推论I>；9.3A、j/l和Jla是完整的。更准确地说，是证明。对于，t给出了W\f l（§）上的同构，其精确序列为0-^-43？-*JK->；0，SS（JH）包含在f l（V）^W中，因此是一个完整集。自fD-ftsegts），SS^J^Wf]（/-●（O）U（？=0））。（/i=0，Vz）。Q.E.D.当f局部约化时，斋藤证明了以下定理：定理1。10.Q是一个自反的Ox-Module。设Xt=Yl<；Zij（x）Dj z=l，●●-，&它；，是Q中的元素。那么Xl9–，Xn是3的局部自由基，当且仅当det（a^）=g/，ge0J。推论1.11。假设dim。X=2。那么Q具有局部自由基XlyX2（Xi=^aijDj）和aua22-ci12a21=gf，Q^O^。相反，如果Q中的i-wo向量场Xt满足上述公式，则它们构成G的基础。为了证明这些，我们请读者参考K.Saito[21]。当f是Coxeter群的基本反不变量的平方时，作为基本不变量的函数，Q是自由模。这是由K.Saito[21]指出的。用于确定Q的结构和3）的微局部结构我们建议读者参考T.Yano[33]或T.Yano-J.Sekiguchi[35]，[36]。他们证明了完整系统3）fa在SS（£Dfa）的所有不可约分量上具有重数1，并具体确定了Q的基。推论1。佐藤（M.Sato）和卡什瓦拉（M.Kashiwara）也指出了第11条（未发表）。第二章。理想§（s）的结构在本章中，我们将把注意力限制在结构上。首先，我们引入了一个数字L（/），它度量了/的非拟单调性。我们进一步定义了一类称为单纯形型收敛幂级数的函数，它在以后的应用中起着重要作用。在这种函数的情况下，cor-responding（s）包含一个区别元素（参见定理2.15）。在§§6，8中，我们将在以下两个条件下确定\（s）的结构，即1^\约L（/）<；3和2^圈奇点是孤立的。第8节涉及关于\）（s）的一个微妙现象，并给出了反对Sato Kashiwara猜想的反例。§3*总符号出于后面的目的，可以修改2）_s元素的顺序概念通过将s视为1阶元素。更确切地说，我们定义了定义2。1.给定P（s）=X！‘Pfa，D’ [4] 非孤立奇点示例见§22。§ 17. 二维情形当空间维数为2时，我们可以应用定理2。24.如下所示，我们在f的一些假设下找到了“显式公式”。让我们解释一下情况。首先，我们假设f是O e C 2的局部约化非拟齐次函数，使得（a）a:f=（x>；，y*）。接下来，我们假设（s）0（{mathtt<；\hskip-.5e<；}2）s+3）的生成元由A给出，（s，x，D）=xa（s-x）+A'，（x，D（A'2（x9 D）在X2中（在Xi9中分别为alzb）大于a21a。设置A，=_\；[&；u ai*\；n 12\，有两种情况。La21 a22J 1^\circ秩A=l。假设（an，a12）-c\bullet（#2i，^22）c^Q-我们用以下形式写/：/*=o+0，其中f0是f中重量最小的单项式之和，相对于（<；22i，#22）\bulletThen，}-A（（x，D）（/o+sO比较这些公式中具有最小权重的项，我们得到zv-1和c=I。因此，X1=X2=X0=axDx+ffyDy9 f=fQJrg，X0f0=fQ和g相对于X0的权重大于1。这表明，当秩A=1时，f可以看作加权齐次多项式的高阶变形。由于ybA1-xaA2=<；p（fxDy-fyDx），0>；（0）=^0，我们有（2）>；（#+1）Oi+（6+1）/。2^\circ秩A=2。在这种情况下，不等式an=\textsterling a21，a12=^a22一般成立。那么关系xaA2-ybA1=<；p（f3；Dy-fyDx）再次显示1=（（2 4-1）an+（6+1）#12=（a+1）#21+（6+1）#22\bullet也就是说，a可以写成_ 1 a-（！-（#+：取系数为1，1w的行列式，e有LA2J，其中g是单项式的和，其权重严格大于xa+lyb+l，权重为X1或X2。此外，我们还施加了条件（c）L（/）=2。在这些条件下，我们推测s的作用由a、b和a决定。^函数的显式公式如下所示。猜想4.0（EEF）0 l-a 1-/3 1循环秩a=1。A=（t f，/9）。然后，/<；=a/5（l-*att）（l-i）此外，s是半单的。2^圈秩a=2。i+l J那么，ft=1+-+-，a/？=^+（i-o（i-o（i-0（i r））集合d=总成本（0+1，£+1））。那么，-，v=l，●●-，{\mathtt<；}高度为tuoo的s的-1个半单特征值。我们将关于s在1^圈（分别在2^圈）中的半单性的公式和但书称为“EEF”类型1^环（分别在2圈）。公式类型1^\circ和2^\circ可以正式涵盖的常见情况如下。Z、 /？）在这种情况下，尽管这两个公式看起来非常不同，但它们给出的结果与直接看到的结果相同。当然，根据限制（2），这种情况永远不会发生。我们还推测，表示L（y）=2的二阶算子可以按以下方式选择类型1^\circ（3）（s-X+c'）（s-X，其中sA.'-B'中的每个项相对于XQ具有严格的正权重。注意，c'通过不等式（2）为正。类型2^\circ（4）（sX^（s-X^+sA'^Bf'，其中sA'-rB'对于Xi和x2具有严格的正权重。特别是当a-b=在类型1^\circ中，我们还可以将一些备注添加到“EEF”类型1^\ circ。根据案例1中的分析，/=/o+（较高权重），XQfQ=fQ。1型圈Pf（f）的第一项与P/Q（t）相同。由于第二项中有一个因子（1-0），P/（f）和P/0（t）可以展开为形式的分数多项式：注意（5）min C0<；rnm C由于不等式（2），因为minCo=#+/9和minC=l-act-*/9。“EEF”1型电路是^维情况的自然推广。也就是说，如果（a），a:f=（x？●●●, ^ {\mathtt<；}），与之关联的一阶运算符为（b）n x？*（s-X0）+（较高权重），其中XQ=XI-OiiXiDi，然后，5是半单的。我们将该公式称为“EEF”类型l（n）。正如我们稍后将要讨论的那样，有几种情况可以验证这些猜想。条件（a）、（b）和（c）是必要的。实际上，键入Wf^q和Wi*{\mathtt<；}-§21中的i满足（a）（a=l9 b=2）和（c），但违反了（b）。POO在[32]中给出，与1^\circ和2^\cic类型都不同。下一个例子满足（a）和（b），但违反了（c）。示例4。1./-.rn>；+-（y-txm^（y+（w2-1）txm`“'-1.）1J7 9/是一个非零参数。我们施加条件，然后a:f-或*1“2”（^{TM}）1“1，y），与之相关的一阶运算符如下：（w2=7/2-1）y0-其中Q=（y+matxn^s（Dx-1{（y4-mi-ni（y+由于不等式}rl/7Z2<；^7721/；z1，我们可以检查条件（b）。然而，条件（c）不成立。事实上，2=1（f）<^在这种情况下，L（jT）-3。P（0由以下公式给出，与公式类型1^\circ或2^\cic无关。参见§18和[32]中的X0btP类型。§18.*？在本节中，我们研究了典型示例f（x，y）=-xni+-yn'-txm'ym>，&它；1 ??2其中£是一个参数。我们可以假设\^/mi<；镍-由于2.10号提案。在下文中，c始终表示T]--1。n-i当c=0时，f是加权齐次多项式，权重为j--因此，根据定理3.6，我们得到了；z2/（7）p r o-（^-0（^-0.●当c=^0时，/为单纯形类型，当£>；0，f是（8）J L r M+a y的a/^-常数变形。Wl公司&它；2因此，/的局部inondromy与（8）的相同。但P（f）不是由（7）给出的，如下所示。当c<^0，bf（s）可能具有双根。那么，当地的单峰酒店也是如此。在续集中，我们使用了以下符号XDx+-yDv，首先，我们确定g（s）fl（&命题4）。2.a:/are§（s）fl（s）s+3））如下所示。zi<；Wi/2，l<；wz2</2/2：（a；“11-1，ymz'1 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。