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郎谢尔盖;哈尔·特罗特

\（\mathrm中的Frobenius分布{德国}_2\)-扩展名。\（\mathrm中Frobenius自同构的分布{德国}_2\)-有理数的扩张。 （英语） Zbl 0329.12015号

数学课堂笔记. 504. 柏林-海德堡-纽约：斯普林格-弗拉格。第274页（1976年）。
Sei\（K/\mathbb Q\）eine（unendliche）Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe\（G\），\（\rho:G\to\Pi\mathrm{德国}_2（\mathbb Z_l）\）eine Darstellung，\（\rho_l\）sei die Projektion auf den\（l\）-ten Faktor。冯\（\rho\）wird gefordert：
1.\（\rho（G）\）is eine of ne Untergruppe von\（\Pi\mathrm{德国}_2（\mathbb Z_l）\）\（（l\）Primzahl）。
2.Es gibt eine ganze Zahl（Delta），因此daßr alle Primzahlen\（p\）mit\（p\nmid\Delta\cdot l\）folgt:\（\rho_l\）is unverzweigt in \（p\）。
模具Eigenschaft 2。妊娠期，在（G/\operatorname{Ker}\rho_l\）zu betrachen中的Frobeniusklasse\（\sigma_p\）。Sei（X^2-t_pX+p\）是多项式von（\ rho_l（\ sigma_p）\）的特征。Dann fordert男子
3.（t_p\）是扎尔，是弗罗贝尼乌斯之刺（（t_p=\），是沃泽尔恩·德斯·查尔特列斯（Wurzeln des characteristischen Polynoms haben den Betrag）（\sqrt{p}）和辛德·科姆普勒斯·孔吉耶特·祖伊南德（sind komplex konjugiert zueinander）。Mit（\pi_p）werde eine solche Wurzel bezeichnet公司。
现实主义者werden kann eine solche Erweiterung\（K\）von\（mathbb Q\），indem man zu\（mathbb-Q\）die Torsionspunkte einer elliptischen Kurve ohne komplexe Multiplikation adjungiert[s。J.P.塞雷Propriétégaloisiennes des points d’ordre fini des courbes elliptiques，发明。数学，15，259-331（1972；Zbl 0235.14012号)]。Sei\（t_0\in\mathbb Z\），\（k\）ein imageär quadratischer Zahlkörper，\（x\in\mathbb r\）。软件工程研究所：
\（N_{t_{0，\rho}}（x）=\）Anzahl der Primzahlen\（p\le x\）mit\（t_p=t_0\）。
\（N_{k，\rho}（x）=\）Anzahl der Primzahlen\（p\le x\）mit\（k=\mathbb Q（\pi_p）\）。
Sei \（\显示样式\pi_{\frac12}（x）=\sum_{p\lex}\frac1{2\sqrt-p}\）。Dann wird folgende Vermutung ausgesprochen公司：
Es gibt eine Konstante（C（t_{0，\rho}）和eine Konstante（C（K，\rho）），因此镀金：\【N_{t_{0，\rho}}（x）\sim C（t_{0，\ rho}）\cdot\pi_{\frac12}（x）\quad\text{und}\quad N_{k，\rho}（x-）\sim-C（k，\rho）\cdot \pi_}\frac12}（x]）。\] 嗯，我是Vermutungen zu beuesen，werden möglichst einfache wahrscheinlichkeits理论模型mit den Folgen（{t_p\}）als Zufallsfolgen betrachet，所以我是Verhalten zeigen的无症状Folgene，我是Dichtesätzen von Chebotarev und Hecke und mit der Sato-Tate-Vermutung-konsist。
贝斯皮尔（第一部分，§§3,4）：Sei（M）eine阳性Zahl，（G（M））die Reduktion von（rho（G）\bmod M），（G，M）_t=G（M，operatorname{tr}（\sigma）\equiv t\bmod M。Sei\（F_M（t）=M\cdot\frac｛\vert G（M）_t\vert｝｛\vert G（M）\vert｝）。Dann ist nach Chebotarev \（\ frac{F_M（t）}{M}\）die Dichte der Primzahlen \（p\）mit\（t_p\ equiv t\bmod M\）。Weiter wird angenommen，daßeine Dichtefunktion \（g（\xi）\）existiert，die gleich \（0\）au \223]erhalb-von \（[-1,1]\）ist，deren Integral die Dichte der Primzahlen \（p\）mi \223；t，für die \（xi（t_p，p）：=frac{t_p}{2\sqrt p}\）in einem bestimmten Intervall liegt。福尔斯（\rho\）von einer elliptischen Kurve herkommt，nehme man（g（\xi）=\frac2{\pi}\sqrt{1-\xi^2}）。
Die Hauptannahme bezüglich des Wahrscheinlichkeits模型是dann，daßDie Funktion \（f_M（t，p）=c_p g（\xi（t、p））f_M（t）\）das Ma\（\mu_p）in der Faserüber\（p\）des Wahr scheinlich keitsraumes repräseniert，wobei \（c_p）so best immt ist，da \（sum_t f_M。Es folgt:\（c_p\sim\frac1{2\sqrt p}\）。
在§4 wird gezeigt中，daß（\lim_M F_M（t_0）=：F（t_0。Setzt-man\（C（t_{0，\rho}）=g（0）\cdot F（t_0）\），因此，hat-man-Für“fast alle”Folgen\（{t_p\}\）：\（N_{t_0}（x）\sim C（t_}，\rho}）\pi_{\frac12}（x）\）。
Zur weiteren Bestimmung von（C（t_{0，\rho}））wird（F（t_0））als Produkt lokaler Faktoren geschrieben，deren Bestimmong durch eine genaue Untersuchung vont der speziellen Darstellung（\rho\）erreicht werden kann。Für sogenannte“Serre-Kurven”（das Bild von（\rho\）ist grötmöglich）und Für（X_0（11）ist死于第§§5-8，Part I，unter Verwendung und durch Weiterentwicklung von Techniken von）J.-P.塞雷[Abelian（l）-adic表示与椭圆曲线。纽约等：W.A.Benjamin（1968；Zbl 0186.25701号)]und（单位）G.岛村[不可解扩张中的互惠定律，J.Reine Angew.Math.221209–220（1966；Zbl 0144.04204号)]杜尔赫赫特。
Wesentlich komplizierter is die Lage bei der Aussageüber imageärquadrische Körper\（K\）（Teil II），vor allem，wen die maximal-abelsche Erweiterung von \（K\）mit\（K\）einen Durchschnitt hat，der echt gröer als der Köerper aller Einheitswurzeln ist。
我是Fälle zu behandeln，在Teil III的演讲中谈到了Berechnungen durchgeführt。Die resultiende Konstante（C（k，\rho））is umgekehrt proportional zu（\sqrt{\vert D\vert}）\（（D=\）Diskriminate von（k）\），stellt sich wieder als Produkt lokaler Faktoren dar，Die für fast alle \（l）nur von \（D）und（l）abhängt，und einem“unendlichen”Faktor，der von der Sato-Tate-Verteilung herrührt.Die lokalen Faktoren können als\（l）-adische Integrale gewisser Funktitonen，Die Harish-Transformierte sind，dargestellt werden.（§7,8，Teil II）。
Eine numerische Diskussion wird im vierten Teil an Serre-Kurven（für die ersten 5000 Primzahlen）und an（X_0（11））（mit noch weitergehenden Rechnungen）durchgeführt，wo Eine zufriedenstellende u bereinstimmung von Theory und Praxis festgetellt werden kann。
审核人：格哈德·弗雷（萨尔布吕肯）
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引文：

Zbl 0235.14012号;Zbl 0186.25701号;Zbl 0144.04204号
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