考虑规则{BAAB}，从BABABA开始：
资源函数[“多路系统”][{“BA”->“AB”}，{“BABABA”}、7，“状态图”]
如前所述，通过该图有不同的可能路径，对应于系统的不同可能历史。但现在所有这些路径都汇聚到一个最终状态。在这个特殊的例子中，有一个简单的解释：规则是通过重复换位BA来有效地在B前面排序As虽然可以使用多种不同的可能转位序列，但所有这些序列最终都会得到相同的答案：排序状态AAABBB。
有许多系统以这种方式运行的实际例子，允许以不同的顺序执行操作，生成不同的中间状态，同时总是导致相同的最终答案。（括号内）算术的评估或简化（例如[54])、代数或布尔表达式是示例，lambda函数评估也是如此[55].
然而，许多替代系统都不具备这一特性。例如，考虑规则{ABAA、ABBA}，再次从BABABA开始。与排序规则一样，经过有限的步骤后，此规则将进入一个不再更改的最终状态。但与排序规则不同，它没有唯一的最终状态。根据采取的路径，在这种情况下，它会进入三种可能的最终状态之一：
图形[ResourceFunction[“多路系统”][｛“AB”->“AA”，“AB”->“BA”}，{“BABABA”}，7，“StatesGraph”]，纵横比->.7]
但是，那些不会在特定的最终状态“终止”的系统呢？有什么方法来定义“路径独立性” [55]—或我们将称之为“因果不变性” [1以下为：9.10]—为了这些？
再次考虑规则{A类 BBB、BB A类}我们在上面讨论过：
资源函数[“多路系统”][{“A”->“BBB”，“BB”->“A”}，{“A”{，8，“StatesGraph”，“IncludeStepNumber”->真]
步骤2中的状态BBB有两个可能的继承者：AB和BA。但在另一个步骤之后，AB和BA再次收敛到状态BBBB。事实上，同样的事情在整个图形中都会发生：每次两条路径分开时，它们总是在多走一步后重新融合。这意味着实际的图形由边缘的“钻石”集合组成[56]:
CloudGet[“https://wolfr.am/KVMoU5RS"]
然而，没有必要仅通过一步就实现重新会聚。例如，考虑规则{A类 AA、AAAB}公司以下为：
Highlight图表[资源函数[“多路系统”][{“A”->“AA”，“AA”->“AB”}，“AAA”，3，“StatesGraph”]，｛“AAA”\[DirectedEdge]“ABA”，“ABA”\[DirectedEdge]“ABAA”，“ABAA“\[DirectedEdge]”ABAB“，“AAA”\[DirectedEdge]“AAB”，“AAB“\[DirectedEdge]”AAAB“，“AAAB”\[DirectedEdge]“ABAB”｝]
如图所示，有从AAA到ABA和AAB的路径—但这些只是在多走了两步之后才再次恢复（对ABAB）。（通常，重新收敛可能需要任意数量的步骤。）
一个系统是否是因果不变量取决于它的初始条件。例如，考虑规则AAAAB公司。对于初始条件AABAA，规则是因果不变量，但对于初始条件3A，规则不是：
资源函数[“多路系统”][｛“AA”->“AAB”｝，｛#｝，3，“StatesGraph”，“IncludeStepNumber”->True，ImageSize->300，纵横比->.6]&/@{“AABAA”，“AAA”}
当一个系统在所有可能的初始条件下都是因果不变量时，我们可以说它是完全因果不变量。（这本质上是术语再写系统理论中讨论的汇合特性。）稍后，我们将讨论如何系统地测试因果不变性—我们将看到，对于特定的初始条件，测试总因果不变性往往比测试因果不变性更容易。
因果不变性起初可能看起来是一个相当模糊的属性。但在我们模型的背景下，我们将从中看到，它实际上可能是一系列物理基本特征的关键，包括相对论不变性、广义协方差和局部规范不变性，以及量子力学中客观现实的可能性。
