4.5维度的概念

在传统几何学中，任何连续空间的一个基本特征是其维数。我们已经看到，至少在某些情况下，我们可以根据可识别几何的出现来描述我们模型的极限行为—具有一定的尺寸。因此，这表明，即使我们不容易识别模型中的传统几何结构，我们也可以使用维的概念来描述模型的极限行为。

对于标准连续空间，定义尺寸很简单，通常是根据指定位置所需的坐标数。如果我们对一个连续的空间进行离散近似，比如说用一个逐渐精细的网格，我们仍然可以根据网格上的坐标数来确定维度。但是现在假设我们只有一个网格的连通图。我们能推断出它对应的维度吗？

我们可以选择绘制网格，使其根据坐标进行布局，这里是在1维、2维和3维欧几里德空间中：

但这些都是相同的图，具有相同的连接信息：

所以仅仅从图的内在信息—或者，更准确地说，从一系列越来越大的图的信息中—我们能推断出它可能对应的空间维度吗？

这个我们将遵循的程序简单明了（参见[1：第479页][22]). 对于任何一点X（X）在图中定义五_第页(X（X）)是图形中最多可以到达的点数图形距离 第页。这可以看作是半径为的球的体积第页在以为中心的图形中X（X）。

对于方形栅格，定义五_第页(X（X）)用于连续第页从中心点开始：

对于无限网格，我们有：

对于一维栅格，相应的结果是：

对于3D网格，它是：

一般来说，对于d日-三维立方网格（参见[1以下为：第1031页])结果是一个终止的超几何级数（和z（z）^d日在(z（z）+1)^第页/(z（z）-1)^第页+1)以下为：

但对我们来说，重要的特点是—这完全可以从图的连通性信息中计算出来—与…成比例第页^d日。

对于比网格规则性更低的图形，会发生什么？这是一张由随机三角测量二维区域的：

再一次，在图形距离处达到的点数第页长得像第页²以下为：

普通情况下d日-维连续欧几里德空间，球的体积正好是

我们应该预期，如果在某种意义上，我们的图形限制为d日-那么与此相对应，五_第页应始终显示第页^d日增长。

然而，还有许多微妙的问题。第一个—在实践中立即明显—如果我们的图形是有限的（如上面的网格），那么会有边缘效应阻止第页^d日增长五_第页当球的半径与图形的半径相当时。下图显示了边长为11的网格与无限网格的比较结果第页^d日术语本身：

人们可以想象，如果有一个环形网格图例如：

但实际上五_第页(X（X）)因为环形图上的任何点都与普通网格中的中心点完全相同；只是现在有限大小的效果来自于图中环绕圆环的路径。

不过，只要第页与图形的半径相比较小—但足够大，我们可以看到整体第页^d日生长—我们可以从以下测量值中推断出一个有效维度五_第页。

实际上，评估五_第页进行维数估计，是计算对数差作为第页以下为：

以下是网格图的中心点（或类似环形图中的任何点）的结果：

结果远非完美。对于小型第页 一个对电网的详细结构很敏感第页到图形的有限总体大小。但是，例如，对于2D网格图，随着图的大小逐渐增加，我们可以看到值的扩展区域第页我们对尺寸的估计是准确的：

从增长率测量维度的一个显著特征五_第页(X（X）)测量在某种意义上是局部的：它从一个特定的位置开始X（X）当然，在观察连续较大的球时，五_第页(X（X）)将对图形中逐渐远离的部分敏感X（X）但结果仍取决于X（X）除非图形是同质的（如上面的环形网格），否则人们通常希望至少在一个可能的位置范围内求平均值X（X）下面是对上述随机2D图中心的一组起点进行平均的示例。这个误差线表明1σ范围在从不同点获得的值的分布中X（X）。

到目前为止，我们已经研究了近似于标准整数维空间的图。但是分形空间呢[23]? 让我们考虑一个西尔皮因斯基图，并查看图中球的增长情况：

估算维度五_第页(X（X）)我们得到的所有点的平均值（对于由6和7个递归细分构成的图）：

虚线表示标准Hausdorff维数日志₂（3）≈锡尔皮滑雪三角区为1.58[23]. 这些图片表明五_第页近似于此值。但为了获得准确的值，我们看到，除了其他一切，我们还需要对不同值的维度进行平均估计第页。

因此，最终我们有相当多的限制。首先，我们需要图形的整体大小较大。其次，我们需要以下值的范围第页用于测量五_第页 与图形大小相比较小。第三，我们需要这些值相对于图中的各个节点要大，并且要足够大，以便我们能够容易地测量五_第页—这将是一种形式第页^d日此外，如果图不是齐次的，我们需要对一个区域求平均值X（X）与图中不均匀性的大小相比，这是很大的，但与第页我们将使用五_第页最后，正如我们刚才看到的，我们可能需要对不同范围的第页估计外形尺寸。

如果我们有类似网格图的东西，所有这些都会很好地完成。但当然，在某些情况下，我们可以立即判断出它行不通完全图，第二个一棵树以下为：

对于一个完整的图，不可能有一个范围第页“小于图形半径”的值，用于估计增长率五_第页对于一棵树，五_第页呈指数级增长，而不是第页，所以我们对维度的估计Δ(第页)只会随着第页以下为：

但尽管存在这些问题，我们可以尝试将我们的方法应用于模型生成的对象。在构造时，这些对象对应于有向图或超图。但就我们目前的目的而言，在确定距离时，我们将忽略直接性，有效地考虑特定元素中的所有元素k个-ary关系—不管他们的订单—彼此保持单位距离。

作为第一个示例，考虑2_三 三_三我们在上面讨论的规则是“编织”一个简单的网格：

当我们运行这个规则时，它产生的结构变得更大，因此更容易估计五_第页。下图显示Δ(第页)（从中心点开始）连续多步计算。我们看到，正如预期的那样，维度估计值似乎收敛到值2：

值得一提的是，如果我们不计算五_第页(X（X）)通过从中心点开始，而不是对所有点进行平均，我们将得到一个不太有用的结果，主要是边缘效应：

作为第二个示例，考虑2_三三_三缓慢生成某种复杂曲面的规则：

随着时间的推移，我们发现似乎越来越接近于维度2，这反映了这样一个事实：尽管我们可以最好地绘制嵌入3D空间的对象，但其固有曲面是二维的（尽管，正如我们稍后将讨论的那样，它也显示了曲率的影响）：

上述连续维度估计值在规则演变过程中以500步间隔。作为另一个示例，考虑2_三1₂ 4_三4₂规则，其中几何体通过细分过程快速出现：

这些是该规则演变过程中所有前10个步骤的维度估计：

我们还可以通过查看生成明显嵌套结构的规则来验证我们的方法。例如2₂ 4₂产生以下结果的规则：

前15个步骤中的每个步骤的结果都与维度日志有很好的对应关系₂（3）≈1.58: