介绍
考虑Itó随机微分方程
d日ξ吨(t吨)=一吨(ξ吨(t吨))d日t吨+d日W公司吨(t吨),t吨≥0,ξ吨(0)=x个0,
哪里
吨>0
0$]]>是一个参数，
一吨(x个)
,
x个∈对
，是实值可测函数，对于某些常数
L（左）吨>0
0$]]>以及所有人
x个∈对
一吨(x个)≤L（左）吨
、和
W公司吨={W公司吨(t吨),t吨≥0}
,
吨>0
0$]]>，是定义在完全概率空间上的一系列标准Wiener过程
(Ω,ℑ,P（P）)
.
由中的定理4可知[19]对于任何人来说
吨>0
0$]]>和
x个0∈对
，方程式(1)拥有独特的强路径解决方案
ξ吨={ξ吨(t吨),t吨≥0}
，该解是一个齐次强马尔可夫过程。
我们假设漂移系数
一吨(x个)
在方程式中(1)可能对参数有非常不规则的依赖性。例如，漂移系数可以是“δ“-某些点的类型序列
x个k
作为
吨→∞
，或者可以等于
吨罪((x个−x个k个)吨)
也可以有其他类型的简并。方程中系数的这种非正则依赖性(1)首次出现于[5]和[4]，其中Itó随机微分方程正规化不稳定解的极限行为为
t吨→∞
已进行调查。在那些论文中，系数的特殊依赖性
一吨(x个)=吨一(x个吨)
关于参数吨在以下情况下被考虑
一(x个)
是上的绝对可积函数
对
.假设情况就是这样，让
¦Β对一(x个)d日x个=λ
.条件的充分性
λ=0
关于分布的渐近等价性
ξ吨
和
W公司吨(t吨)
成立于[5]，并且在中证明了此条件的必要性[1]. 如果
λ≠0
，然后我们可以从[4]解的分布
ξ吨
方程式的(1)弱收敛为
吨→∞
马尔可夫过程的相应分布
ξˆ(t吨)=我ζ(t吨)
，其中
我(x个)=c（c）1x个
对于
x个>0
0$]]>和
我(x个)=c（c）2x个
对于
x个≤0
;
ζ(t吨)
是Itó方程的强解
d日ζ(t吨)=σ¯(ζ(t吨))d日W公司(t吨)
，其中
σ¯(x个)=σ1
对于
x个>0
0$]]>和
σ¯(x个)=σ2
对于
x个<0
、和
¦Β0t吨P（P）{|ζ(秒)|=0}d日秒=0
.过程过渡密度的显式形式
ξˆ(t吨)
获得。此外，在[10]，事实证明
ξˆ(t吨)=x个0+β(t吨)+W公司(t吨),
哪里
β(t吨)
是的某种功能
ζ(t吨)
以及条件的必要性
λ≠0
为弱收敛建立为
吨→∞
解决方案的
ξ吨
方程式的(1)到流程
ξˆ(t吨)
.
此外，在[5]和[4]，一种研究“尴尬”术语的概率方法
吨¦Β0t吨一(ξ吨(秒)吨)d日秒
在方程式中(1)已开发。这种方法通过一系列连续函数来表示这个“尴尬”的术语
Φ吨(x个)
属于
ξ吨(t吨)
和鞅族
¦Β0t吨Φ吨'(ξ吨(秒))d日W公司吨(秒)
，进一步应用Itó公式。经过上述转换后，根据该方法，我们可以将斯科罗霍德的收敛子序列原理应用于
ξ吨n个(t吨)
和
W公司吨n个(t吨)
（请参见[17]，第一章，§6），以便在结果陈述中达到极限。
注意，本文也使用此方法来研究积分泛函的渐近行为。
据了解[2]，§16，解的渐近行为
ξ吨
方程式的(1)与调和函数的渐近行为密切相关，即关于Lebesgue测度，几乎处处满足以下常微分方程的函数：
（f）吨'(x个)一吨(x个)+12（f）吨″(x个)=0.
很明显
（f）吨(x个)
有这个表格
（f）吨(x个)=c（c）吨(1)¦Β0x个经验{−2¦Β0u个一吨(v（v）)d日v（v）}d日u个+c（c）吨(2),
哪里
c（c）吨(1)
和
c（c）吨(2)
是一些常数族。
后一个函数具有连续导数
（f）吨'(x个)
，及其二阶导数
（f）吨″(x个)
关于Lebesgue测度几乎处处存在，并且是局部可积的。请注意
c（c）吨(1)
是标准化常数和
c（c）吨(2)
是极限定理中的集中常数（参见[18], §6). 此外，为了简单起见，我们假设(2),
c（c）吨(1)≡1
和
c（c）吨(2)≡0
.
在本文中，我们假设系数
一吨(x个)
方程式的(1)存在一系列函数
G公司吨(x个)
,
x个∈对
，具有连续导数
G公司吨'(x个)
和局部可积二阶导数
G公司吨″(x个)
也就是说，关于勒贝格测度
吨>0
0$]]>和
x个∈对
，以下不等式成立：
(A类1)(G公司吨'(x个)一吨(x个)+12G公司吨″(x个))2+(G公司吨'(x个))2≤C类(1+(G公司吨(x个))2),|G公司吨(x个0)|≤C类.
另外假设函数
G公司吨(x个)
,
x个∈对
，按条件引入
(A类1)
满足以下假设：
存在常量
C类>0
0美元]]>和
α>0
0美元]]>这样的话
|G公司吨(x个)|≥C类|x个|α
.
存在一个有界函数
ψ|x个|
和一个常数
米≥0
这样的话
ψ|x个|→0
作为
|x个|→0
而且，对于所有人来说
x个∈对
和
吨>0
0$]]>对于任何可测量的有界集合B类，以下不等式成立：
(A类2)¦Β0x个（f）吨'(u个)(¦Β0u个χB类G公司吨(v（v）)（f）吨'(v（v）)d日v（v）)d日u个≤ψ(λ(B类))1+|x个|米,
哪里
χB类(v（v）)
是集合的指示函数B类,
λ(B类)
是勒贝格量度B类、和
（f）吨'(x个)
是函数的导数
（f）吨(x个)
由等式定义(2).
让
G公司吨
是函数的类
G公司吨(x个)
,
x个∈对
，满足条件
(A类1)
和（i）-（ii）。形式的方程类(1)其系数
一吨(x个)
承认
G公司吨(x个)
,
x个∈对
，来自班级
G公司吨
将用表示
K（K）G公司吨
.这门课很容易理解
K（K）G公司吨
不依赖于常数
c（c）吨(1)
和
c（c）吨(2)
在代表中(2).
很明显，如果存在常量
δ>0
0$]]>和
C类>0
0$]]>这样的话
0<δ≤（f）吨'(x个)≤C类
为所有人
x个∈对
,
吨>0
0$]]>，然后是相应的方程式(1)属于这个班
K（K）G公司吨
对于
G公司吨(x个)=（f）吨(x个)
。我们将该子类表示为
K（K）1
。请注意，该类
K（K）G公司吨
特别包含在某些点上的方程式
x个k个
，我们有收敛性
（f）吨'(x个k个)→∞
或收敛
（f）吨'(x个k)→0
作为
吨→∞
例如，考虑方程式(1)带有
一吨(x个)=c（c）0吨x个1+x个2吨
。很容易获得
（f）吨'(x个)=11+x个2吨c（c）0
，如果
c（c）0>−12
-\压裂{1}{2}$]]>，则此类方程属于该类
K（K）G公司吨
具有
G公司吨(x个)=x个2
（这里，在点
x个≠0
，我们有
（f）吨'(x个)→0
对于
c（c）0>0
0美元]]>,
（f）吨'(x个)→∞
对于
−12<c（c）0<0
、和
（f）吨'(x个)≡1
对于
c（c）0=0
).
对于方程类
K（K）G公司吨
，我们将渐近行为研究为
吨→∞
下列函数的分布：
β吨(1)(t吨)=¦Β0t吨克吨(ξ吨(秒))d日秒,β吨(2)(t吨)=¦Β0t吨克吨(ξ吨(秒))d日W公司吨(秒),我吨(t吨)=F类吨(ξ吨(t吨))+¦Β0t吨克吨(ξ吨(秒))d日W公司吨(秒),β吨(t吨)=¦Β0t吨克吨(ξ吨(秒))d日ξ吨(秒),
其中流程
ξ吨(t吨)
,
W公司吨(t吨)
通过方程式关联(1),
克吨(x个)
是一系列可测量的局部有界实值函数，并且
F类吨(x个)
是一系列连续实值函数。
本文是[13–15]. 注意泛函分布的行为
β吨(1)(t吨)
,
β吨(2)(t吨)
解决方案
ξ吨
方程式的(1)来自班级
K（K）1
在中学习[6]和[9]. 案例中
W公司吨(t吨)
替换为
η吨(t吨)
，其中
η吨(t吨)
是一类具有以下特征的连续鞅
⟨η吨⟩(t吨)→t吨
作为
吨→∞
，学习于[8]. 纸张[7]致力于对来自[8]. 功能人员的类似问题
我吨(t吨)
在方程式的情况下(1)带有
一吨(x个)≡0
在中被考虑[18]和中[11]，对于班级
K（K）1
.英寸[13–15]函数分布的行为
β吨(1)(t吨)
,
β吨(2)(t吨)
、和
我吨(t吨)
具有漂移系数的特殊依赖性
一吨(x个)=吨一(x个吨)
关于参数吨主要考虑以下情况
x个一(x个)≤C类
为所有人
x个∈对
.泛函分布的行为
β吨(1)(t吨)
研究时间：[13],
β吨(2)(t吨)
研究于[14]、和
我吨(t吨)
在中进行了调查[15]. 该领域已知结果的更详细审查见[13–15]. 请注意，功能
β吨(1)(t吨)
,
β吨(2)(t吨)
、和
β吨(t吨)
是功能的特殊情况
我吨(t吨)
（请参见[15]，引理4.1）。
在本文中，我们经常将Itó公式应用于该过程
Φ(ξ吨(t吨))
，其中
ξ吨(t吨)
是方程的解(1)，导数
Φ'(x个)
函数的
Φ(x个)
假设是连续的，二阶导数
Φ″(x个)
假设关于Lebesgue测度存在，并且是局部可积的。然后它从[三]概率为1
t吨≥0
，以下等式成立：
Φ(ξ吨(t吨))−Φ(x个0)=¦Β0t吨(Φ'(ξ吨(秒))一吨(ξ吨(秒))+12Φ″(ξ吨(秒)))d日秒+¦Β0t吨Φ'(ξ吨(秒))d日W公司吨(秒).
让
ξ吨
是方程的解(1)、和
G公司吨(x个)
是满足条件的函数族
(A类1)
.定理1来自[12]意味着流程系列
{ζ吨(t吨)=G公司吨(ξ吨(t吨)),t吨≥0}
是弱紧的。这个结果的证明是基于等式
ζ吨(t吨)=G公司吨(x个0)+¦Β0t吨(G公司吨'(ξ吨(秒))一吨(ξ吨(秒))+12G公司吨″(ξ吨(秒)))d日秒+η吨(t吨),
哪里
η吨(t吨)=¦Β0t吨G公司吨'(ξ吨(秒))d日W公司吨(秒),ζ吨(t吨)=G公司吨(ξ吨(t吨)).
反过来，后一个等式来自Remark1.1此外，它是在定理1的证明中建立的[12]对于任何常数
L（左）>0
0$]]>和
ε>0
0$]]>,
林N个→∞林吨→∞‾啜饮0≤t吨≤L（左）P（P）{|λ吨(t吨)|>N个}=0,林小时→0林吨→∞‾啜饮|t吨1−t吨2|≤小时;t吨我≤L（左）P（P）{|λ吨(t吨2)−λ吨(t吨1)|>ε}=0,
N\big\}&\显示样式=0，\\{}\displaystyle\underset{h\ to 0}{\lim}\ overline{\ underset}T\ to infty}{\lin}}\ undersset{|T_{1} -吨_{2} |\le h；\hs空间{0.1667em}吨_{i} \leL}{\sup}\operatorname{\mathsf{P}}\big\{big|\lambda_{T}（T_{2}）-\lambda _{T{（T_}）\big|>\varepsilon\big\}&\displaystyle=0，\end{array}\]]>
而且，对任何人来说
k个>1
1$]]>对于某些常数
C类k
和C类,
E类啜饮0≤t吨≤L（左）|λ吨(t吨)|k≤C类k个,E类|λ吨(t吨2)−λ吨(t吨1)|4≤C类|t吨2−t吨1|2,
哪里
λ=η
或
λ=ζ
（请参见[2]，§6，定理4）。
在这里和整篇文章中，过程的弱收敛意味着连续函数空间的一致拓扑中的弱收敛
C类[0,L（左）]
对于任何
L（左）>0
0$]]>。具有概率为1的连续轨迹的过程将简单地称为连续。
论文组织如下。章节2包含主要结果的陈述。在节中三，它们已被证明。第节收集了辅助结果4.
主要结果证明
定理的证明2.1.重写公式(三)作为
ζ吨(t吨)=G公司吨(x个0)+¦Β0t吨一0(ζ吨(秒))d日秒+α吨(1)(t吨)+η吨(t吨),
哪里
α吨(1)(t吨)=¦Β0t吨q个吨(1)(ξ吨(秒))d日秒,q个吨(1)(x个)=G公司吨'(x个)一吨(x个)+12G公司吨″(x个)−一0(G公司吨(x个)).
功能
q个吨(1)(x个)
满足引理的条件4.2因此，对于任何
L（左）>0
0$]]>,
啜饮0≤t吨≤L（左）|α吨(1)(t吨)|→P（P）0
作为
吨→∞
很明显
η吨(t吨)
是一类具有二次特征的连续鞅
⟨η吨⟩(t吨)=¦Β0t吨(G公司吨'(ξ吨(秒)))2d日秒=¦Β0t吨σ02(ζ吨(秒))d日秒+α吨(2)(t吨),
哪里
α吨(2)(t吨)=¦Β0t吨q个吨(2)(ξ吨(秒))d日秒,q个吨(2)(x个)=(G公司吨'(x个))2−σ02(G公司吨(x个)).
功能
q个吨(2)(x个)
满足引理的条件4.2因此，对于任何
L（左）>0
0美元]]>,
啜饮0≤t吨≤L（左）|α吨(2)(t吨)|→P（P）0
作为
吨→∞
.
我们有这样的关系(4)和(5)等待进程
ζ吨(t吨)
和
η吨(t吨)
、和，根据(8)和(10)，这些关系适用于进程
α吨(k个)(t吨)
,
k个=1,2
也是如此。这意味着我们可以应用Skorokhod的收敛子序列原理（见[17]，第一章，§6）
(ζ吨(t吨),η吨(t吨),α吨(1)(t吨),α吨(2)(t吨))
：给定任意序列
吨n个'→∞
，我们可以选择子序列
吨n个→∞
，概率空间
(Ω˜,ℑ˜,P（P）˜)
和随机过程
(ζ˜吨n个(t吨),η˜吨n个(t吨),α˜吨n个(1)(t吨),α˜吨n个(2)(t吨))
在该空间上定义，使其有限维分布与过程的分布一致
(ζ吨n个(t吨),η吨n个(t吨),α吨n个(1)(t吨),α吨n个(2)(t吨))
而且，
ζ˜吨n个(t吨)→P（P）˜ζ˜(t吨),η˜吨n个(t吨)→P（P）˜η˜(t吨),α˜吨n个(1)(t吨)→P（P）˜α˜(1)(t吨),α˜吨n个(2)(t吨)→P（P）˜α˜(2)(t吨)
为所有人
0≤t吨≤L（左）
，其中
ζ˜(t吨)
,
η˜(t吨)
,
α˜(1)(t吨)
,
α˜(2)(t吨)
是一些随机过程。
显然，关系(8)和(10)暗示
α˜(k个)(t吨)≡0
,
k个=1,2
，a.s.根据(5)、流程
ζ˜(t吨)
和
η˜(t吨)
是连续的。此外，应用引理4.5以及等式(7)和(9)，我们得到
ζ˜吨n个(t吨)=G公司吨n个(x个0)+¦Β0t吨一0(ζ˜吨n个(秒))d日秒+α˜吨n个(1)(t吨)+η˜吨n个(t吨),⟨η˜吨n个⟩(t吨)=¦Β0t吨σ02(ζ˜吨n个(秒))d日秒+α˜吨n个(2)(t吨),
哪里
ζ˜吨n个(t吨)→P（P）˜ζ˜(t吨)
,
η˜吨n个(t吨)→P（P）˜η˜(t吨)
,
啜饮0≤t吨≤L（左）|α˜吨n个(k个)(t吨)|→P（P）˜0
,
k个=1,2
，作为
吨n个→∞
。此外，该公司成立于[12]对于任何常数
L（左）>0
0$]]>和
ε>0
0$]]>,
林小时→0林吨n个→∞‾P（P）˜{啜饮|t吨1−t吨2|≤小时;t吨我≤L（左）|ζ˜吨n个(t吨2)−ζ˜吨n个(t吨1)|>ε}=0.
\varepsilon\Big\}=0.\]]>
使用后一种收敛性和(11)，我们得出结论，对于任何常数
L（左）>0
0$]]>和
ε>0
0美元]]>,
林小时→0林吨n个→∞‾P（P）˜{啜饮|t吨1−t吨2|≤小时;t吨我≤L（左）|η˜吨n个(t吨2)−η˜吨n个(t吨1)|>ε}=0.
\varepsilon\Big\｝=0.\]]>
因此，根据普罗霍罗夫的著名结果[16]，我们得出结论
啜饮0≤t吨≤L（左）|ζ˜吨n个(t吨)−ζ˜(t吨)|→P（P）˜0和啜饮0≤t吨≤L（左）|η˜吨n个(t吨)−η˜(t吨)|→P（P）˜0
作为
吨n个→∞
.根据引理4.3，我们可以在(11)并获得
ζ˜(t吨)=年0+¦Β0t吨一0(ζ˜(秒))d日秒+η˜(t吨),
哪里
η˜(t吨)
是具有二次特征的连续鞅
⟨η˜⟩(t吨)=¦Β0t吨σ02(ζ˜(秒))d日秒.
现在，众所周知，后一种表示提供了Wiener过程的存在性
W公司ˆ(t吨)
这样的话
η˜(t吨)=¦Β0t吨σ0(ζ˜(秒))d日W公司ˆ(秒).
因此，该过程
(ζ˜(t吨),W公司ˆ(t吨))
满足等式(6)，以及流程
ζ˜吨n个(t吨)
弱收敛，如
吨n个→∞
，到流程
ζ˜(t吨)
.自后续
吨n个→∞
是任意的，因为方程(6)弱唯一，定理的证明2.1已完成。
定理的证明2.2很明显
t吨>0
0$]]>概率为1，
β吨(1)(t吨)=¦Β0t吨克0(ζ吨(秒))d日秒+α吨(t吨),
哪里
α吨(t吨)=¦Β0t吨q个吨(ξ吨(秒))d日秒
和
q个吨(x个)=克吨(x个)−克0G公司吨(x个)
.
功能
q个吨(x个)
满足引理的条件4.2因此，对于任何
L（左）>0
0$]]>,
啜饮0≤t吨≤L（左）|α吨(t吨)|→P（P）0
作为
吨→∞
。类似于(11)，我们得到等式
β˜吨n个(1)(t吨)=¦Β0t吨克0(ζ˜吨n个(秒))d日秒+α˜吨n个(t吨),
哪里
ζ˜吨n个(t吨)→P（P）˜ζ˜(t吨)
和
啜饮0≤t吨≤L（左）|α˜吨n个(t吨)|→P（P）˜0
作为
吨n个→∞
.过程
ζ˜(t吨)
是等式的解(12)，而通过引理4.5随机过程的有限维分布
β吨n个(1)(t吨)
与过程一致
β˜吨n个(1)(t吨)
.
使用引理4.3和等式(14)，我们得出结论
啜饮0≤t吨≤L（左）|β˜吨n个(1)(t吨)−¦Β0t吨克0(ζ˜(秒))d日秒|→P（P）˜0
作为
吨n个→∞
因此，该过程
β吨n个(1)(t吨)
弱收敛，如
吨n个→∞
，到流程
β(1)(t吨)=¦Β0t吨克0(ζ(秒))d日秒
，其中
ζ(t吨)
是等式的解(6). 自子序列以来
吨n个→∞
是任意的，并且由于解决方案
ζ(t吨)
方程(6)弱唯一，定理证明2.2已完成。
定理的证明2.3.考虑功能
Φ吨(x个)=2¦Β0x个（f）吨'(u个)(¦Β0u个克吨(v（v）)（f）吨'(v（v）)d日v（v）)d日u个.
将Itó公式应用于流程
Φ吨(ξ吨(t吨))
，其中
ξ吨(t吨)
是等式的解(1)，我们明白了
β吨(1)(t吨)=Φ吨(ξ吨(t吨))−Φ吨(x个0)−¦Β0t吨Φ吨'(ξ吨(秒))d日W公司吨(秒)=2¦Βx个0ξ吨(t吨)克0(G公司吨(u个))G公司吨'(u个)d日u个−2¦Β0t吨克0(ζ吨(秒))G公司吨'(ξ吨(秒))d日W公司吨(秒)+2¦Βx个0ξ吨(t吨)q个ˆ吨(u个)d日u个−2¦Β0t吨q个ˆ吨(ξ吨(秒))d日W公司吨(秒)=2¦ΒG公司吨(x个0)ζ吨(t吨)克0(u个)d日u个−2¦Β0t吨克0(ζ吨(秒))d日η吨(秒)+γ吨(1)(t吨)−γ吨(2)(t吨),
哪里
γ吨(1)(t吨)=2¦Βx个0ξ吨(t吨)q个ˆ吨(u个)d日u个,γ吨(2)(t吨)=2¦Β0t吨q个ˆ吨(ξ吨(秒))d日W公司吨(秒),q个ˆ吨(x个)=（f）吨'(x个)¦Β0x个克吨(v（v）)（f）吨'(v（v）)d日v（v）−克0(G公司吨(x个))G公司吨'(x个).
表示
P（P）N个吨=P（P）{啜饮0≤t吨≤L（左）|ξ吨(t吨)|>N个}
N \｝$]]>很明显，对于任何常数
ε>0
0$]]>,
N个>0
0$]]>、和
L（左）>0
0$]]>，我们有不平等
P（P）{啜饮0≤t吨≤L（左）|γ吨(1)(t吨)|>ε}≤P（P）N个吨+2εE类啜饮0≤t吨≤L（左）¦Βx个0ξ吨(t吨)q个ˆ吨(u个)d日u个χ{|ξ吨(t吨)|≤N个}≤P（P）N个吨+2ε¦Β−N个N个q个ˆ吨(u个)d日u个≤P（P）N个吨+4εN个啜饮|x个|≤N个q个ˆ吨(x个)
\varepsilon\Big\}&\显示样式\leP_{NT}+\frac{2}{\varepsilon}\operatorname{\mathsf{E}}\underset{0\let\leL}{\sup}\left|{\int_{x_{0}}^{\xi_{t}（t）}}\hat{q}_{T} （u）空间{0.1667em}杜\右|\chi_{{|\xi_{T}（T）|\leN\}}\\{}&\displaystyle\leP_{NT}+\frac{2}{\varepsilon}{\int_{-N}^{N}}\left|\hat{q}_{T} （u）\right|\hspace{0.1667em}杜\leP_{NT}+\frac{4}{\varepsilon}N\underset{|x|\leN}{\sup}\left|\hat{q}_{T} （x）\右|\结束{数组}\]]>
和
P（P）{啜饮0≤t吨≤L（左）|γ吨(2)(t吨)|>ε}≤P（P）N个吨+4ε2E类啜饮0≤t吨≤L（左）¦Β0t吨q个ˆ吨(ξ吨(秒))χ{|ξ吨(秒))≤N个|}d日W公司吨(秒)2≤P（P）N个吨+16ε2E类¦Β0L（左）q个ˆ吨2(ξ吨(秒))χ{|ξ吨(秒))≤N个|}d日秒≤P（P）N个吨+16ε2L（左）啜饮|x个|≤N个|q个ˆ吨2(x个)|.
\varepsilon\Big\}\\{}&\displaystyle\hsspace{1em}\leP_{NT}+\frac{4}{{\varepsilon}^{2}}\operatorname{\mathsf{E}}\underset{0\let\leL}{\sup}{\left|{\int_{0}^{t}}\hat{q}_{T} 大（\xi_{T}（s）\big）\chi_{{0.1667em}分宽_{T} （s）\right|}^{2}\\{}&\displaystyle\hspace{1em}\leP_{NT}+\frac{16}{{\varepsilon}^{2]}\operatorname{\mathsf{E}{\int_{0}^{L}}{\hat{q}_{T} ^{2}}\big（\xi_{T}（s）\big）\chi_{{|\xi_[T}）\le N|\}}\hs空格{0.1667em}个\leP_{NT}+\frac{16}{{\varepsilon}^{2}}L\underset{|x|\leN}{\sup}\big|{hat{q}_{T} ^{2}}（x）\大|。\结束{数组}\]]>
不平等
|G公司吨(x个)|≥C类|x个|α
,
α>0
0$]]>，以及收敛(4)，意味着
林N个→∞林吨→∞‾P（P）N个吨=0.
因此，使用定理的条件2.3，我们得到了收敛性
啜饮0≤t吨≤L（左）|γ吨(k个)(t吨)|→P（P）0,k个=1,2,
作为
吨→∞
.
与我们建立(11)屈服，屈服
β˜吨n个(1)(t吨)=2¦ΒG公司吨n个(x个0)ζ˜吨n个(t吨)克0(u个)d日u个−2¦Β0t吨克0(ζ˜吨n个(秒))d日η˜吨n个(秒)+γ˜吨n个(1)(t吨)−γ˜吨n个(2)(t吨),
哪里
啜饮0≤t吨≤L（左）|ζ˜吨n个(t吨)−ζ˜(t吨)|→P（P）˜0,啜饮0≤t吨≤L（左）η˜吨n个(t吨)−η˜(t吨)→P（P）˜0,啜饮0≤t吨≤L（左）|γ˜吨n个(k)(t吨)|→P（P）˜0,k个=1,2,
作为
吨n个→∞
为所有人
L（左）>0
0$]]>.根据(12)带有
η˜(t吨)
定义于(13)，流程
(ζ˜(t吨),W公司ˆ(t吨))
满足等式(6).
按引理4.5随机过程的有限维分布
β吨n个(1)(t吨)
与过程一致
β˜吨n个(1)(t吨)
.使用引理4.3，我们可以传递到极限
吨n个→∞
英寸(16)并获得
啜饮0≤t吨≤L（左）|β˜吨n个(1)(t吨)−β˜(1)(t吨)|→P（P）˜0
作为
吨n个→∞
，其中
β˜(1)(t吨)=2¦Β年0ζ˜(t吨)克0(u个)d日u个−2¦Β0t吨克0(ζ˜(秒))d日η˜(秒)=2¦Β年0ζ˜(t吨)克0(u个)d日u个−2¦Β0t吨克0(ζ˜(秒))d日ζ˜(秒)+2¦Β0t吨克0(ζ˜(秒))一0(ζ˜(秒))d日秒,
和
ζ˜(t吨)
是等式的解(6). 因此，我们有了这个定理2.3等待进程
β吨n个(1)(t吨)
作为
吨n个→∞
.自后续
吨n个→∞
是任意的，并且由于一个解决方案
ζ(t吨)
等式的(6)弱唯一，定理证明2.3已完成。
定理的证明2.4很明显
β吨(2)(t吨)=¦Β0t吨克0(ζ吨(秒))d日η吨(秒)+γ吨(t吨),
哪里
γ吨(t吨)=¦Β0t吨q个吨(ξ吨(秒))d日W公司吨(秒),q个吨(x个)=克吨(x个)−克0(G公司吨(x个))G公司吨'(x个).
这个过程
γ吨(t吨)
是具有二次特征的连续鞅
⟨γ吨⟩(t吨)=¦Β0t吨q个吨2(ξ吨(秒))d日秒为所有人吨>0.
0.\]]]>
根据定理的条件2.4、功能
q个吨2(x个)
满足引理的条件4.2因此，对于任何
L（左）>0
0$]]>，我们有收敛性
⟨γ吨⟩(L（左）)→P（P）0
作为
吨→∞
.
以下不等式适用于任何常数
ε>0
0$]]>和
δ>0
0$]]>:
P（P）{啜饮0≤t吨≤L（左）|γ吨(t吨)|>ε}≤δ+P（P）{⟨γ吨⟩(L（左）)>ε2δ}
\varepsilon\Big\}\le\delta+\operatorname{\mathsf{P}}\Big\{langle\gamma_{T}\rangle（L）>{\varepsilen}^{2}\delta\Big\}\]]>
（请参见[2]，§3，定理2），这意味着
啜饮0≤t吨≤L（左）|γ吨(t吨)|→P（P）0
作为
吨→∞
.
然后，与表示法类似(11)，在一定的概率空间上
(Ω˜,ℑ˜,P（P）˜)
，对于任意子序列
吨n个
，我们得到了等式
β˜吨n个(2)(t吨)=¦Β0t吨克0(ζ˜吨n个(秒))d日η˜吨n个(秒)+γ˜吨n个(t吨),
哪里
啜饮0≤t吨≤L（左）|ζ˜吨n个(t吨)−ζ˜(t吨)|→P（P）˜0,啜饮0≤t吨≤L（左）|η˜吨n个(t吨)−η˜(t吨)|→P（P）˜0,啜饮0≤t吨≤L（左）|γ˜吨n个(t吨)|→P（P）˜0
作为
吨n个→∞
对于任何
L（左）>0
0$]]>，其中流程
(ζ˜(t吨),W公司ˆ(t吨))
满足等式(6),
η˜(t吨)
定义于(13)，以及流程
β˜吨n个(2)(t吨)
和
β吨n个(2)(t吨)
随机等价。
与收敛性证明类似(17)，我们获得
啜饮0≤t吨≤L（左）|β˜吨n个(2)(t吨)−β˜(2)(t吨)|→P（P）˜0
作为
吨n个→∞
，其中
β˜(2)(t吨)=¦Β0t吨克0(ζ˜(秒))d日η˜(秒)=¦Β0t吨克0(ζ˜(秒))d日ζ˜(秒)−¦Β0t吨克0(ζ˜(秒))一0(ζ˜(秒))d日秒.
因此，该过程
β˜吨n个(2)(t吨)
弱收敛，如
吨n个→∞
，到流程
β˜(2)(t吨)
.自后续
吨n个→∞
是任意的，并且由于
β˜吨n个(2)(t吨)
和
β吨n个(2)(t吨)
随机等价，定理证明2.4已完成。
定理的证明2.5很明显
我吨(t吨)=F类0(ζ吨(t吨))+¦Β0t吨克0(ζ吨(秒))d日η吨(秒)+α吨(t吨)+γ吨(t吨),
哪里
α吨(t吨)=F类吨(ξ吨(t吨))−F类0(ζ吨(t吨)),η吨(t吨)=¦Β0t吨G公司吨'(ξ吨(秒))d日W公司吨(秒),γ吨(t吨)=¦Β0t吨q个吨(ξ吨(秒))d日W公司吨(秒),q个吨(x个)=克吨(x个)−克0(G公司吨(x个))G公司吨'(x个).
如前所述，表示，
P（P）N个吨=P（P）{啜饮0≤t吨≤L（左）|ξ吨(t吨)|>N个}
否$]]>.对于任何常数
ε>0
0$]]>,
N个>0
0$]]>、和
L（左）>0
0$]]>，我们有不平等
P（P）{啜饮0≤t吨≤L（左）|F类吨(ξ吨(t吨))−F类0(G公司吨(ξ吨(t吨)))|>ε}≤P（P）N个吨+2εE类啜饮0≤t吨≤L（左）|F类吨(ξ吨(t吨))−F类0(G公司吨(ξ吨(t吨)))|χ{|ξ吨(t吨)|≤N个}≤P（P）N个吨+2ε啜饮|x个|≤N个|F类吨(x个)−F类0(G公司吨(x个))|,
\varepsilon\Big\}\\{}&\displaystyle\hspace{1em}\le P_{NT}+\frac{2}{\varepsilon}\operatorname{\mathsf{E}}\underset{0\le t\le L}{\sup}\Big|F{t}\Big（\xi_{t}（t）\Big）-F{0}\Big chi_{{|\xi_{t}（t）|\leN\}}\\{}&\displaystyle\hspace{1em}\leP_{NT}+\frac{2}{\varepsilon}\underset{|x|\leN}{\sup}\Big|F_{t{（x） -F_{0}\big（G_{T}（x）\big）\big|，\end{数组}\]]>
我们可以应用定理的条件2.5和收敛(15)为了得到那个
啜饮0≤t吨≤L（左）|α吨(t吨)|→P（P）0
作为
吨→∞
.事实证明
γ吨(t吨)
，类似于收敛(19)holds与定理的证明完全相同2.4然后，我们可以将斯科罗霍德的收敛子序列原理应用于该过程
ζ吨(t吨),η吨(t吨),α吨(t吨),γ吨(t吨)
与表示法类似(11)，获得任意子序列的以下等式
吨n个
在一定概率空间中
(Ω˜,ℑ˜,P（P）˜)
:
我˜吨n个(t吨)=F类0(ζ˜吨n个(t吨))+¦Β0t吨克0(ζ˜吨n个(秒))d日η˜吨n个(秒)+α˜吨n个(t吨)+γ˜吨n个(t吨),
其中，作为
吨n个→∞
，对于任何
L（左）>0
0$]]>,
啜饮0≤t吨≤L（左）|ζ˜吨n个(t吨)−ζ˜(t吨)|→P（P）˜0,啜饮0≤t吨≤L（左）|η˜吨n个(t吨)−η˜(t吨)|→P（P）˜0,啜饮0≤t吨≤L（左）|α˜吨n个(t吨)|→P（P）˜0,啜饮0≤t吨≤L（左）|γ˜吨n个(t吨)|→P（P）˜0.
完成定理的证明2.5，我们重复与定理证明中相同的参数2.4.
定理的证明2.6根据Itó公式
ζ吨(t吨)=（f）吨(ξ吨(t吨))
满足等式
d日ζ吨(t吨)=σˆ吨(ζ吨(t吨))d日W公司吨(t吨)
，其中
σˆ吨(x个)=（f）吨'φ吨(x个)
,
φ吨(x个)
是函数的反函数
（f）吨(x个)
、和
ζ吨(0)=（f）吨(x个0)→年0
作为
吨→∞
此外，以下等式成立：
我吨(t吨)=F类ˆ吨(ζ吨(t吨))+¦Β0t吨克ˆ吨(ζ吨(秒))d日ζ吨(秒),
哪里
F类ˆ吨(x个)=F类吨(φ吨(x个))
和
克ˆ吨(x个)=克吨(φ吨(x个))·σˆ吨−1(x个)
.
很容易看出，本定理的条件1意味着
¦Β0x个d日v（v）σˆ吨2(v（v）)→¦Β0x个d日v（v）σ02(v（v）)
作为
吨→∞
为所有人x个，而条件2意味着
啜饮|x个|≤N个|F类ˆ吨(x个)+c（c）吨(2)+c（c）吨(1)x个−F类0(x个)|→0
和
¦Β−N个N个|克ˆ吨(x个)−c（c）吨(1)−克0(x个)|2d日x个→0
作为
吨→∞
对于任何
N个>0
0$]]>.
这意味着过程弱收敛的充要条件
ζ吨(t吨),我吨(t吨)
作为
吨→∞
到流程
ζ(t吨),我(t吨)
来自[11]持有
b条吨=c（c）吨(1)
和
一吨=c（c）吨(2)
.
辅助结果
让
ξ吨
是等式的解。 (1)来自班级
K（K）G公司吨
那么，对于任何
N个>0
0$]]> 和任何Borel集合
B类⊂−N个;N个
，存在一个常量
C类L（左）
这样的话
¦Β0L（左）P（P）{G公司吨(ξ吨(秒))∈B类}d日秒≤C类L（左）ψ(λ(B类)),
哪里
λ(B类)
是B的勒贝格测度，并且
ψ|x个|
是满足以下条件的有界函数
ψ|x个|→0
作为
|x个|→0
.
考虑功能
Φ吨(x个)=2¦Β0x个（f）吨'(u个)(¦Β0u个χB类(G公司吨(v（v）))（f）吨'(v（v）)d日v（v）)d日u个.
功能
Φ吨(x个)
是连续的，导数
Φ吨'(x个)
该函数的二阶导数是连续的
Φ吨″(x个)
关于Lebesgue测度存在，并且是局部有界的。因此，我们可以将Itô公式应用于该过程
Φ吨(ξ吨(t吨))
，其中
ξ吨(t吨)
是等式的解(1).
此外，
Φ吨'(x个)一吨(x个)+12Φ吨″(x个)=χB类(x个)
关于勒贝格测度。使用后一等式，我们得出如下结论
¦Β0t吨χB类(ζ吨(秒))d日秒=Φ吨(ξ吨(t吨))−Φ吨(x个0)−¦Β0t吨Φ吨'(ξ吨(秒))d日W公司吨(秒)
概率为1
t吨≥0
，其中
ζ吨(t吨)=G公司吨(ξ吨(t吨))
因此，利用随机积分的性质，我们得到
¦Β0t吨P（P）{ζ吨(秒)∈B类}d日秒=E类[Φ吨(ξ吨(t吨))−Φ吨(x个0)].
根据条件
(A类2)
和不平等
|G公司吨(x个)|≥C类|x个|α
,
C类>0
0$]]>,
α>0
0$]]>，我们有
|Φ吨(x个)−Φ吨(x个0)|≤2ψ(λ(B类))1+|x个|米≤2ψ(λ(B类))[1+C类−米α|G公司吨(x个)|米α].
因此，使用不等式(5)，我们得到
|E类[Φ吨(ξ吨(L（左）))−Φ吨(x个0)]|≤C类L（左）ψ(λ(B类))
对于一些常量
C类L（左）
后一个不等式和等式(21)证明引理4.1. □
让
ξ吨
是等式的解。 (1)来自班级
K（K）G公司吨
.如果，对于可测局部有界函数
q个吨(x个)
，条件
(A类三)
那么，对于任何
L（左）>0
0$]]>,
啜饮0≤t吨≤L（左）|¦Β0t吨q个吨(ξ吨(秒))d日秒|→P（P）0
作为
吨→∞
.
考虑功能
Φ吨(x个)=2¦Β0x个（f）吨'(u个)(¦Β0u个q个吨(v（v）)（f）吨'(v（v）)d日v（v）)d日u个.
用于获得公式(20)屈服，屈服
¦Β0t吨q个吨(ξ吨(秒))d日秒=Φ吨(ξ吨(t吨))−Φ吨(x个0)−¦Β0t吨Φ吨'(ξ吨(秒))d日W公司吨(秒).
很明显，对于任何常数
ε>0
0$]]>,
N个>0
0$]]>、和
L（左）>0
0$]]>，我们有不平等
P（P）{啜饮0≤t吨≤L（左）|Φ吨(ξ吨(t吨))|>ε}≤P（P）N个吨+2ε¦Β−N个N个（f）吨'(u个)¦Β0u个q个吨(v（v）)（f）吨'(v（v）)d日v（v）d日u个,P（P）{啜饮0≤t吨≤L（左）¦Β0t吨Φ吨'(ξ吨(秒))d日W公司吨(秒)>ε}≤P（P）N个吨+1ε2E类啜饮0≤t吨≤L（左）¦Β0t吨Φ吨'(ξ吨(秒))χ{|ξ吨(秒))≤N个|}d日W公司吨(秒)2≤P（P）N个吨+4ε2E类¦Β0L（左）Φ吨'(ξ吨(秒))2χ{|ξ吨(秒))≤N个|}d日秒≤P（P）N个吨+16ε2L（左）啜饮|x个|≤N个（f）吨'(x个)¦Β0x个q个吨(v（v）)（f）吨'(v（v）)d日v（v）2,
\varepsilon\Big\}\leP_{NT}+\frac{2}{\varepsillon}{\int_{-N}^{N}}{f^{prime}_{T}}（u）\left|{int_{0}^{u}}\frac}q{T}（v）{0.1667em}光盘\右|\hspace{0.1667em}杜，\\｛｝&&\displaystyle\ operatorname｛\mathsf｛P｝｝\Bigg\｛\dunderset｛0\le t\le L｝｛\sup｝\left|｛int _｛0｝^｛t｝｝｝｛\varPhi ^｛\prime｝_｛t｝｝｝\big（\ xi _｛t｝（s）\big）{0.1667em}分宽_{T} （s）\right|>\varepsilon\Bigg\}\\{}&&\displaystyle\hspace｛1em｝\le P_｛NT｝+\frac｛1｝｛\varepsilon\^｛2｝｝｝\ operatorname｛\mathsf｛E｝｝\ underset｛0\le T\le L｝｛\sup｝｛\left |｛\int _｛0｝^｛T｝｝｛\varPhi ^｛\prime｝_｛T｝｝｝\ big（\si _｛T｝（s）\big）\chi _｛| \si _｛T｝（s）\空间{0.1667em}分宽_{T} （s）\right|}^{2}\\{}&\显示样式\hspace{1em}\leP_{NT}+\frac{4}{{\varepsilon}^{2]}\operatorname{\mathsf{E}{\int_{0}^{L}{\left[{\varPhi^{\prime}{T}}\big（\xi_{T}（s）\ big）\rift]}^{2\chi_{|\ xi_{T}）\le N|\}}\hs空间{0.1667em}个\\{}&\显示样式\hsspace{1em}\leP_{NT}+\frac{16}{{\varepsilon}^{2}}L\underset{|x|\leN}{\sup}{\left[{f^{prime}_{T}}{0.1667em}光盘\右|\right]}^{2}，\end{array}\]]>
哪里
P（P）N个吨=P（P）{啜饮0≤t吨≤L（左）|ξ吨(t吨)|>N个}
否$]]>.
因此，使用收敛(15)，我们获得
啜饮0≤t吨≤L（左）|Φ吨(ξ吨(t吨))−Φ吨(x个0)|→P（P）0
和
啜饮0≤t吨≤L（左）|¦Β0t吨Φ吨'(ξ吨(秒))d日W公司吨(秒)|→P（P）0
作为
吨→∞
因此，公式(22)暗示引理的陈述4.2. □
让
ξ吨
是等式的解。 (1)来自班级
K（K）G公司吨
，并让
ζ吨(t吨)=G公司吨(ξ吨(t吨))→P（P）ζ(t吨)
作为
吨→∞
那么对于任何可测的局部有界函数
克(x个)
，我们有收敛性
啜饮0≤t吨≤L（左）|¦Β0t吨克(ζ吨(秒))d日秒−¦Β0t吨克(ζ(秒))d日秒|→P（P）0
作为
吨→∞
对于任何常数
L（左）>0
0$]]>.
让
φN个(x个)=1
对于
|x个|≤N个
,
φN个(x个)=N个+1−|x个|
对于
|x个|∈N个,N个+1
、和
φN个(x个)=0
对于
|x个|>N个+1
N+1美元]]>。那么，对所有人来说
吨>0
0$]]>和
L（左）>0
0$]]>,
P（P）{啜饮0≤t吨≤L（左）¦Β0t吨[克(ζ吨(秒))−克(ζ吨(秒))φN个(ζ吨(秒))]d日秒>0}≤P（P）{啜饮0≤t吨≤L（左）|ζ吨(t吨)|>N个},P（P）{啜饮0≤t吨≤L（左）¦Β0t吨[克(ζ(秒))−克(ζ(秒))φN个(ζ(秒))]d日秒>0}≤P（P）{啜饮0≤t吨≤L（左）|ζ(t吨)|>N个}≤林吨→∞‾P（P）{啜饮0≤t吨≤L（左）|ζ吨(t吨)|>N个}.
\hs空间{0.1667em}0\Bigg\}\le\operatorname{\mathsf{P}}\Big\{\underset{0\let\leL}{\sup}\Big|\zeta_{t}（t）\Big|1667em}>\hspace{0.1667em}北\大\}，\\{}&\显示样式\operatorname{\mathsf{P}}\Bigg\{\underset{0\le t\le L}{\sup}\left|{\int_{0}^{t}}\Big[g\Big（\zeta（s）\Big）-g\bigh（\zeta\Big{0.1667em}个\右|>0\Bigg\}\\{}&\显示样式\hspace{1em}\le\operatorname{\mathsf{P}}\Big\{underset{0\let\leL}{\sup}\Big|\zeta（t）\Big|>N\Big\}\le\ overline{\underset{t\to\infty}{\lim}}\operator name{\mathsf{P}\Big/{\unders集{0\let\leL}}{\sup}\Big|\zeta_{t}（t）\Big>N\Big\}。\结束{数组}\]]>
根据定理2.1，收敛(4)等待进程
ζ吨(t吨)
因此，要完成引理的证明4.3，我们需要确定
¦Β0L（左）|克(ζ吨(秒))φN个(ζ吨(秒))−克(ζ(秒))φN个(ζ(秒))|d日秒→P（P）0
作为
吨→∞
.
首先，假设函数
克(x个)
是连续的。然后
克(ζ吨(秒))φN个(ζ吨(秒))−克(ζ(秒))φN个(ζ(秒))→P（P）0
作为
吨→∞
为所有人
0≤秒≤L（左）
、和
克(x个)φN个(x个)≤C类N个
为所有人x个因此，根据勒贝格的支配收敛定理，我们具有收敛性(23). 第二，让函数
克(x个)
是可测量的并且局部有界的。然后，利用吕津定理，我们得出结论：
δ>0
0$]]>，存在一个连续函数
克δ(x个)
这与
克(x个)
对于
x个∉B类δ
，其中
B类δ⊂−N个−1,N个+1
，Lebesgue测度满足不等式
λ(B类δ)<δ
因此，对于
δ>0
0$]]>，收敛(23)为函数保留
克δ(x个)
自起，对于任何
ε>0
0$]]>,
P（P）¦Β0L（左）克(ζ吨(秒))φN个(ζ吨(秒))−克δ(ζ吨(秒))φN个(ζ吨(秒))d日秒>ε≤1εE类¦Β0L（左）克(ζ吨(秒))φN个(ζ吨(秒))−克δ(ζ吨(秒))φN个(ζ吨(秒))χ{B类δ}(ζ吨(秒))d日秒≤C类N个ε¦Β0L（左）P（P）ζ吨(秒)∈B类δd日秒,P（P）¦Β0L（左）克(ζ(秒))φN个(ζ(秒))−克δ(ζ(秒))φN个(ζ(秒))d日秒>ε≤C类N个ε¦Β0L（左）P（P）ζ(秒)∈B类δd日秒≤C类N个ε林吨→∞‾¦Β0L（左）P（P）ζ吨(秒)∈B类δd日秒,
\varepsilon\right\}\\{}&\displaystyle\hspace{1em}\le\frac{1}{\varepsilon}\operatorname{\mathsf{E}}{\int_{0}^{L}}\left|g\big（\zeta_{T}（s）\big）\varphi_{N}\big varphi_{N}\big（\zeta_{T}（s）\big）\right|\chi_{{B}^{delta}\}}\bigh（\zeta _{T}\bing）\hspace{0.1667em}个\\{}&\显示样式\hs空格{1em}\le\frac{C_{N}}{\varepsilon}{\int_{0}^{L}}\operatorname{\mathsf{P}}\left\{\zeta_{T}在{B}^{\delta}\right\}空格中{0.1667em}个，\\{}&\displaystyle\operatorname{\mathsf{P}}\left\{{\int_{0}^{L}}\ left|g\big（\zeta（s）\big）\varphi_{N}\big{0.1667em}个>\varepsilon\right\}\\{}&\displaystyle\hspace{1em}\le\frac{C_{N}}{\varepsilon}{\int_{0}^{L}}\operatorname{\mathsf{P}}\left\{zeta{0.1667em}个\le\frac{C_{N}}{\varepsilon}\hsspace{0.2778em}\overline{\underset{T\to\infty}{\lim}}\hspace{0.2778m}{\int_{0}^{L}}\operatorname{\mathsf{P}}\left\{\zeta_{T}（s）\in{B}{\delta}\right\}\hs空间{0.1667em}个，\结束{数组}\]]>
考虑引理4.1，我们得出结论(23)保持这样的功能
克(x个)
也。 □
让
ξ吨
是等式的解。 (1)来自班级
K（K）G公司吨
，并让
ζ吨(t吨)=G公司吨(ξ吨(t吨))→P（P）ζ(t吨)
和
η吨(t吨)=¦Β0t吨G公司吨'(ξ吨(秒))d日W公司吨(秒)→P（P）η(t吨)
作为
吨→∞
然后，对于可测局部有界函数
克(x个)
，我们有收敛性
啜饮0≤t吨≤L（左）¦Β0t吨克(ζ吨(秒))d日η吨(秒)−¦Β0t吨克(ζ(秒))d日η(秒)→P（P）0
作为
吨→∞
对于任何常数
L（左）>0
0$]]>.
类似于引理的证明4.3，它足以获得收敛的类似结果(23)，也就是说，为了得到它
N个>0
0美元]]>和
L（左）>0
0$]]>,
啜饮0≤t吨≤L（左）¦Β0t吨克(ζ吨(秒))φN个(ζ吨(秒))d日η吨(秒)−¦Β0t吨克(ζ(秒))φN个(ζ(秒))d日η(秒)→P（P）0
作为
吨→∞
，其中
φN个(x个)
在引理的证明中定义4.3.收敛性证明(24)对于连续函数
克(x个)
类似于中的相应定理[17]，第2章，§6。二次特征的显式
⟨η吨⟩(t吨)
鞅的
η吨(t吨)
和条件
(A类1)
暗示不平等
¦Β0L（左）[φN个(ζ吨(t吨))]2d日⟨η吨⟩(t吨)≤C类N个L（左）,
用于证明收敛性(24). 将这种收敛推广到可测局部有界函数类是基于引理的4.1与引理的证明类似4.3. □
让
ξ吨
是等式的解。 (1)属于该类
K（K）G公司吨
，并让随机过程
ζ吨(t吨),η吨(t吨)
，使用
ζ吨(t吨)=G公司吨(ξ吨(t吨))
和
η吨(t吨)=¦Β0t吨G公司吨'(ξ吨(秒))d日W公司吨(秒)
随机等价于该过程
(ζ˜吨(t吨),η˜吨(t吨))
然后是流程
¦Β0t吨克(ζ吨(秒))d日秒+¦Β0t吨q个(ζ吨(秒))d日η吨(秒),
哪里
克(x个)
和
q个(x个)
是可测的局部有界函数，随机等价于过程
¦Β0t吨克(ζ˜吨(秒))d日秒+¦Β0t吨q个(ζ˜吨(秒))d日η˜吨(秒).
该证明与定理2的证明相同[三]. □