如何穿越障碍物？

VCLA和沃尔夫冈·保利研究所主持了一场演讲伊亚德·坎吉

摘要

文摘：给定一组障碍物和平面上的两个点，这两点之间是否有一条不超过k个不同障碍物的路径？这是一个基本问题，研究人员在各个领域进行了大量工作，包括计算几何、图论、无线计算和运动规划。它被称为NP-hard，即使障碍物是非常简单的几何形状（例如，单位长度线段）。这个问题可以被公式化并推广到以下图问题：给定一个顶点被颜色集着色的平面图G，两个指定的顶点，V（G）中的t和N中的k，G中是否存在最多使用k种颜色的s-t路径？如果每个障碍物都是连通的，则生成的图满足颜色关联性属性，即每种颜色都会产生一个连通子图。

我们研究了上述图问题的复杂性和设计算法，并着眼于其几何应用。我们证明了一组硬度结果，其中一个结果表明，颜色连通性对于固定参数可处理（FPT）算法的任何希望都是至关重要的，因为如果没有它，问题是由k参数化的W[SAT]-硬问题。先前的结果仅暗示问题是W[2]-硬问题。这个结果的一个推论是，除非W[2]=FPT，否则问题不能在FPT时间内近似为k的函数。通过描述图实例的一般平面嵌入，我们表明我们的硬度结果转化为问题的几何实例。

然后我们关注满足色关联特性的图。通过利用图的平面性和颜色的连通性，我们得到了拓扑结果，从而证明了对于任何顶点v，都存在一组路径，其基数由k的函数上界，即“表示”包含v的颜色子集的有效s-t路径。我们利用这些结构结果为同时由k和图的树宽参数化的问题设计了一个FPT算法，并将此结果进一步扩展，以获得同时由k及路径长度参数化的FPT算法。后一个结果概括并解释了先前针对各种障碍物形状（如单位圆盘和脂肪区域）的FPT结果。

与Eduard Eiben（LogiCS博士学院毕业生）合作。

伊亚德·坎吉（Iyad Kanj），德保罗大学