这看起来很像本网站在早期文章中讨论的内容乌拉姆问题。在那篇文章中，我们还出现了数字循环。这类似于一类著名的问题，这些问题在许多数学竞赛中都会出现，比如

等等。[参见100人^第个信件.]

但这个问题的答案不仅仅是27。回想一下，在乌拉姆的文章中，我们分析了当给出的规则适用于许多不同的数字时，特别是那些从1到100的数字。通过刷新您的记忆，我们将在此处陈述总体结果。对于第一组规则，所有的数字迟早都会达到一个简单的三项循环，即4、2、1（返回到4）。对于第二组规则，所有数字都进入三个不同数量的术语（长度为2、5和18）的不同循环中的一个。

那么，这套新规则怎么样？所有数字是否都流入上述循环？或者还有其他周期吗？再一个？两个？多少？你看，在解决了最初的竞赛项目后，真正的乐趣开始了；现在是时候做真正的数学了！我现在把这件事交给你处理。我不想破坏你自己发现结果的乐趣。

扩展

惊喜！惊喜！还没有结束。（你以为你的作业做完了，是吗？）

你看，像这样的问题对我来说就像吃爆米花，一旦我开始问问题，我就停不下来了。在我看来，来自AJHSME的原始竞赛问题只是许多可能的场景之一。给出的三条规则只是需要稍作调整以产生新的问题。下面是我们的意思的一个例子：

这些规则会导致什么循环？

1. 如果整数小于10，请将其乘以9。
2. 如果整数是偶数且大于9，则将其除以2。
3. 如果整数是奇数且大于9，则减去三从中。

你注意到第三条规则的微小变化了吗？现在我们从所有大于9的奇数中减去3而不是5。你说是零钱吗？确实如此。但你不认为这一小小的改变可能会大大改变我们的周期吗？调查一下这个发生了什么。

然后，试试这个：

这些规则会导致什么循环？

1. 如果整数小于10，则将其乘以7.
2. 如果整数是偶数且大于9，则将其除以2。
3. 如果整数是奇数且大于9，则从中减去5。

这一次，我们保留了规则#3中5的减法，但进行了更改规则#1是“乘以7”。再一次，正如我确信你开始怀疑的那样，这种微妙的变化对结果产生了很大的影响。但只是产生的循环是什么？这就是我留给你去发现的。

总的来说，我们面前有一整套问题，基本结构相似，但每个问题都有其独特的特点。很可能您现在可以开始创建您自己的原始问题变体。您可以将规则#3中的减法值更改为其他奇数，如1、7或9。[如果使用偶数会发生什么情况？]您也可以将规则#1中的乘数更改为其他值。但规则#2可能最好保持原样，因为并非所有偶数都可以被其他数整除。这样做会带来如何处理“残留物”的严重麻烦！

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把你的研究结果发给我。我想听听你发现了什么。