2024年西蒙斯代数、几何和拓扑完美合作年会

年会汇集了具有与合作相关的一系列专业知识的数学家。它包括目前参与合作的参与者以及具有相关研究兴趣的个人。会议气氛活跃，有大量非正式互动。

与会者包括102名现场参与者和另外14名远程参与者。发言者包括协作成员以及报告与协作目标相关研究的其他发言者。

巴加夫·巴特（Bhargav Bhatt）和阿克希尔·马修（Akhil Mathew）的会谈侧重于该主题最近的基本发展。巴特讨论了一种新的方法来处理𝑝adic Simpson对应关系，该对应关系使用所谓的Simpson gerbe将光滑⻖adi变体的proétale位点上的向量束与希格斯束联系起来。这个gerbe的引入允许对该主题中先前的工作进行概括，并解释了对先前结构选择的各种依赖性。马修利用棱镜理论讨论了迪乌丹内理论的新方法。马修解释了这是如何用棱镜规来理解可分割群和相关物体的，棱镜规是某个堆栈上的滑轮。他还讨论了平坦上同调的应用。

其他六个讲座讨论了完美技巧在数学相关部分的应用。

Ben Antieau的谈话涉及在计算𝑂型环的代数K‑理论中的应用_𝐾/𝝕^𝑛，其中\119870；是\119824；的有限延伸_𝑝，𝝕是一个均化器，且𝑛≥1。Antieau解释了他和合著者如何利用棱镜上同调来计算这些𝐾-群，并生成枚举它们的表。在这项工作之前，只了解了各种程度较低的情况。

Jakub Witaszek讨论了混合特征在交换代数和对偶几何中的应用。特别是，他讨论了关于混合特征中某些测试理想的局部化性质的一个关键问题的进展，这些测试理想用于测量环的奇异性。他使用Bhatt和Lurie的基本Riemann-Hilbert对应，解释了这些测试理想的所需性质能够承受小扰动。

完美技巧在自形形式中的应用出现在几次会谈中，也是安娜·卡拉亚尼和斯英·李演讲的主题。Caraini谈到了构造基本Siegel模块形式族以及两种不同方法之间的比较。这样的比较将实现对基本Siegel模块形式的Eichler-Shimura类型分解。Lee讨论了当地Shimura变种的模上同调的最新发展，为这些群建立了一个消失的猜想。一个关键因素是Fargue-Scholze的局部Langlands对应关系，以及理解Fargue-Fontaine曲线上𝐺束堆栈上滑轮的新几何方法。

Juan Esteban Rodríguez Camargo讨论了分析堆栈理论的最新发展，着眼于本地Shimura品种的应用。他讨论了固体形式主义如何产生霍奇·塔特和德拉姆堆栈的分析版本，以及在这种背景下产生局部分析表示理论。

会议以达斯汀·克劳森（Dustin Clausen）的讲话结束，他谈到了拓扑中完美几何和色同伦理论之间的联系。他讨论了代数理论某一局部形式的伽罗瓦下降猜想的解决方法，以及完善技术如何进入这个拓扑结果的证明。

本杰明·安蒂奥
西北大学

相对于三角环的棱镜上同调
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本杰明·安提奥（Benjamin Antieau）将报告与克劳斯（Krause）和尼古拉斯（Nikolaus）在三角环棱镜上同调及其在K群机器计算中的作用方面的联合工作。
 

巴加夫·巴特
IAS&普林斯顿大学

基本辛普森信函

给定一个完美曲面自由场C上的光滑刚性簇X，Bhargav Bhatt将解释余切束T*X携带一个自然的（“传说”）G_m-gerbe P（X），我们称其为Simpson gerbe，其相干层理论实现了一个adic Simpson对应：X上被P（X）扭曲的希格斯束自然地与Faltings的广义局部系统（现在被理解为X上的proétale向量束）相一致。X上的任何C-局部系统都有一个规范化的P（X）扭曲希格斯束。从这个角度来看，本主题中的几个先前结果可以理解为将gerbe P（X）简化为T×X中合适的位点。如果时间允许，Bhatt将解释一个类似的基本形式方案；这张图片部分地激发了P（X）的发现，自然地在通用纤维的严格分析故事和Ogus-Vologodsky特征P中的对应关系之间进行了插补。

这是与张明嘉的联合工作，正在进行中；它的灵感来自这一领域的几部近期作品（尤其是本·豪厄尔的作品）。
 

安娜·卡里亚尼
伦敦帝国理工学院和波恩

普通基本Siegel模形式的Eichler-Shimura分解

有两种不同的方法来构造普通的基本Siegel模块形式族。一种是通过对Betti上同调中的普通类进行基本插值，首先由Hida介绍，然后由Emerton给出了一种更具代表性的理论解释。另一种方法是在相干上同调中对普通类进行根基插值，这一方法再次由Hida提出，最近几年由Boxer和Pilloni推广。安娜·卡里亚尼（Ana Caraiani）将解释这两种结构，然后与詹姆斯·牛顿（James Newton）和胡安·埃斯特班·罗德里格斯·卡马戈（Juan Esteban Rodríguez Camargo）讨论正在进行的联合工作，旨在对其进行比较。
 

达斯汀·克劳森
IHES公司

色同伦理论的完善

达斯汀·克劳森（Dustin Clausen）将介绍围绕Burklund-Schlang-Yuan的“彩色Nullstellensatz”展开的思想圈，这为在彩色同伦理论中使用完美性打开了大门。然后Clausen将描述这一点的应用，即与Robert Burklund的联合工作，在那里我们解决了色代数𝐾‑理论中Ausoni-Rognes-Galois下降猜想的一般情况，完成了之前与Mathew Naumann-Noel的联合工作中取得的实质性进展。
 

阿克希尔·马修
芝加哥大学

F-gauges和Barsotti-Tate集团

阿克希尔·马修（Akhil Mathew）将阐述安舒茨（Anschütz）和勒布拉斯（Le Bras）在棱镜F-gauges设置中开发的棱镜迪乌丹涅理论以及一些推广。

与Keerthi Madapusi和Zachary Gardner合作。
 

胡安·埃斯特班·罗德里格斯（Juan Esteban Rodríguez Camargo）
哥伦比亚大学

𝑝‑adic D-modules和Shimura品种

在本次演讲中，胡安·埃斯特班·罗德里格斯-卡马戈将解释解析几何理论和基本D-模的最新发展如何应用于（本地）Shimura变种的基本自守形式的研究。
 

雅库布·维塔泽克
普林斯顿大学

基于Riemann-Hilbert对应的混合特征奇异性

在本次演讲中，Jakub Witaszek将讨论如何使用𝑝adic Riemann-Hilbert对应关系来研究混合特征奇点。

本次演讲基于与巴加夫·巴特、马林泉、兹索尔·帕塔克法尔维、卡尔·施威德、凯文·塔克和乔·沃尔德龙的合作。
 

李思颖（Si Ying Lee）
斯坦福大学

一些Shimura品种的扭转消失

Si Ying Lee将与Linus Hamann讨论推广Caraiani-Scholze和Koshikawa关于Shimura品种上同调的扭转-弯曲结果的联合工作。李思英（Si Ying Lee）将运用各种几何方法来理解Bun_G上的滑轮，即法尔盖斯-芬丹曲线上G束的模量堆栈。该方法表明，定位于半简单L参数的扭转上同调的行为与Hecke特征值带的反常性有关，Hecke本征值由该参数给出。如果时间允许，李思颖还将讨论扭振猜想的推广。

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