数学知识中最重要的一部分正处于丢失的边缘,也许永远都会丢失。现在,一本新书希望能拯救它。
圆盘嵌入定理重写1981年完成的证明迈克尔·弗里德曼-关于一个无限的光盘网络——在加利福尼亚海岸经过多年的孤独劳作之后。弗里德曼的证明回答了一个问题,这个问题当时是数学中最重要的未解决问题之一,也是弗里德曼领域的定义问题,拓扑学。
弗里德曼的证明令人感到不可思议。当时没有人相信这可能奏效,直到弗里德曼亲自说服了该领域一些最受尊敬的人。但是,虽然他赢得了同时代人的支持,但书面证明充满了漏洞和遗漏,除非你有弗里德曼,或是从他那里学到证据的人,站在你的肩膀上指导你,否则无法理解其逻辑。
弗里德曼说:“我可能没有像我应该做的那样认真地对待书面材料的阐述。”弗里德曼今天在加州大学圣巴巴拉分校领导一个微软研究小组,致力于构建量子计算机。
因此,弗里德曼证明的奇迹已经变成了神话。
如今,很少有数学家了解他的所作所为,而那些了解他的人正在逐渐衰老。结果是,涉及他的证据的研究已经枯萎了。几乎没有人得到主要结果,一些数学家甚至质疑它是否正确。
在一个2012年职位在MathOverflow上,一位评论员将该证明称为“论文的怪物”,并表示他“从未见过一位数学家能说服我他或她理解弗里德曼的证明。”
这本新书是迄今为止解决这一问题的最好努力。这是五位年轻研究人员的合作,他们被弗里德曼的证明之美所吸引,并希望给它注入新的活力。在将近500多页的篇幅中,它使用清晰一致的术语,详尽地阐述了弗里德曼论点的步骤。我们的目标是把这门重要但难以理解的数学变成一个有动力的本科生可以在一个学期内学习的东西。
“再也没有什么可以想象的了,”他说阿鲁尼马射线波恩马克斯·普朗克数学研究所的副主编斯特凡·贝伦斯比勒菲尔德大学,博尔迪萨尔·卡尔马尔布达佩斯科技经济大学,Min Hoon Kim(金敏勋)韩国Chonnam国立大学马克·鲍威尔英国达勒姆大学的“一切都已确定。”
排序球体
1974年,迈克尔·弗里德曼(Michael Freedman)23岁,他着眼于拓扑学中最大的问题之一,这是一个数学领域,研究数学家所指的空间或流形的基本特征。
这被称为庞加莱猜想,是以1904年提出这一猜想的法国数学家亨利·庞加莱(Henri Poincaré)的名字命名的。庞加莱预言,任何具有某些共性特征的形状或流形都必须与球体等价或同胚。(当您可以获取一个流形上的所有点,并将它们映射到另一个流态上的点时,两个流形是同胚的,同时保持点之间的相对距离,以便第一个流形中靠近的点在第二个流形中将保持靠近。)
庞加莱专门考虑三维流形,但数学家继续考虑所有维度的流形。他们还想知道这一猜想是否适用于两种流形。第一种类型称为“平滑”流形,它没有任何诸如尖角之类的特性,允许您在每个点执行微积分。第二种被称为“拓扑”流形,在不可能进行微积分的地方可以有角。
当弗里德曼开始研究这个问题时,数学家已经在这个猜想上取得了很大进展,包括在5维及更高维上求解它的拓扑版本。
弗里德曼专注于四维拓扑猜想。它指出,任何拓扑流形,即四维“同伦”球体,其松散等价于四维球体,实际上是同胚的(强等价)四维球体。
“我们要问的问题是,(对于四个球体),这两个等价概念之间有区别吗?”雷说。
四维版本可以说是庞加莱问题最难的版本。这在一定程度上是因为数学家用来解决更高维猜想的工具在四维的更受约束的环境中不起作用。(这个问题最难回答的另一个竞争者是格里戈里·佩雷尔曼(Grigori Perelman)直到2002年才解决的三维庞加莱猜想。)
在弗里德曼开始工作的时候,没有人对如何解决这个问题有任何成熟的想法——这意味着如果他要成功,他就必须发明全新的数学。
重要的曲线
在深入研究他是如何证明庞加莱猜想之前,有必要再深入研究一下这个问题到底在问什么。
四维同伦球可以通过其内部绘制的曲线相互作用的方式来表征:相互作用告诉你它们相互作用的更大空间的一些本质。
在四维情况下,这些曲线将是二维平面(通常,曲线的尺寸最多为绘制的较大空间的一半)。为了理解基本设置,更容易考虑一个涉及一维曲线在二维空间内相交的简单示例,如下所示:
这些曲线具有所谓的代数交点数。要计算此数字,请从左到右进行计算,并将-1指定给圆弧上升时的每个相交位置,将+1指定给圆弧下降时的每个交汇位置。在本例中,最左边的交点得到−1,最右边的交点获得+1。将它们相加,就可以得到这两条曲线的代数交点:0。
同伦球的特征是,在其内部绘制的任何一对半维曲线都具有0的代数交集。
对于规则球体也是如此。但是,规则球体在相交方面也有一个稍微不同的属性:你总是可以绘制两条曲线,这样它们就不会相互相交。因此,虽然同伦球体具有一对曲线的代数交点数始终为0的特性,但正则球体具有一个特性,即任何一对曲线都可以彼此分离,从而它们的几何交点数为0。也就是说,它们实际上根本不相交。
为了证明四维Poincaré猜想,Freedman需要证明,总是可以取代数交点为0的特定曲线对,并将它们相互“推开”,使它们的几何交点数仍然为0。如果你有一对代数交集为0的曲线,并且你证明你总是可以把它们推开,那么你就证明了它们嵌入的空间必须是正则球。
雷说:“这就像是这些半维子流形的社交距离。”。
以前关于这个问题的高维版本的工作已经建立了这样做的方法。它涉及到寻找被称为Whitney圆盘的物体,这是一个平面二维空间,由你想要分离的曲线包围。
这些圆盘成为一种数学过程(称为同位素)的指南,在这个过程中,你可以将两条曲线彼此分开。这些扁平惠特尼圆盘的存在确保了可以逐渐向下移动电弧曲线。当你这样做时,光盘开始消失,就像夕阳。最终,圆盘完全消失,曲线被分开。
雷说:“惠特尼圆盘为你提供了同位素的路径。你不断移动一条曲线,直到两条曲线分开。圆盘就像这一过程的路线图。”。
当弗里德曼面对四维庞加莱猜想时,他的主要任务是证明当你有一对代数交点为0的相交曲线时,这些扁平的惠特尼圆盘就存在。证明这是真的,把弗里德曼带到了难以想象的数学新高度。
解开打结盘
当弗里德曼工作时,他遇到了一个特殊的绊脚石,这个绊脚石出现在四个维度上。他需要证明,总是有可能分离相交的二维曲线,以将它们相互推开,为此,他必须确定存在惠特尼圆盘,以确保分离是可能的。
问题是,在四维空间中,二维惠特尼圆盘可以相互交叉,而不是平躺。圆盘自身相交的地方阻碍了从一条曲线滑离另一条曲线的过程。你可以把自交视为一个障碍,当你试图摆脱另一条曲线时,它抓住了你的一条曲线。
雷说:“这个圆盘本来是用来帮助我的,但事实证明,圆盘也与自己相交。”。
因此,弗里德曼需要证明,总是有可能解开惠特尼圆盘与自身相交的地方,将其平放,然后继续分离。幸运的是,他不会从头开始。20世纪70年代,一位名叫安德鲁·卡森(Andrew Casson)的数学家提出了一种从光盘中去除自交界面的策略。
圆盘的意义在于确定有可能将曲线分开,这样它们就不会相交。如果一个圆盘本身包含一个交点,减轻交点的方法是相同的:寻找由第一个圆盘的相交部分包围的第二个圆盘。如果你找到了第二个圆盘,你就知道你可以把第一个圆盘的交点弄平。
好的,但是如果第二个圆盘——帮助第一个圆盘——也与自己相交呢?然后在第二张光盘中查找第三张光盘。然而,这个圆盘也可能与自己相交,所以你要寻找第四个圆盘,这个过程会一直进行下去,在圆盘内产生无限多的圆盘——所有这些都是为了建立一个原始圆盘,一直在底部,可以使其不与自己相交。
卡森确立了这些“卡森手柄”与实际的惠特尼圆盘(更准确地说是同伦等价物)是松散等价的,他利用这种等价性研究了四维拓扑中的许多重要问题。但他无法证明卡森手柄在更强烈的意义上等同于圆盘——它们与圆盘同胚。数学家需要这种更强的等价性,才能使用句柄来证明最大的悬而未决的问题。
雷说:“如果我们证明这些是真实的真善光盘,我们就可以证明庞加莱猜想以及在四维空间中的一大堆其他东西。”。“但(卡森)做不到。”
弗里德曼的洞察力
从1974年到1981年,弗里德曼花了七年的时间,但他做到了。大部分时间里,除了他的老同事罗伯特·爱德华兹(Robert Edwards)之外,他几乎没有和任何人谈论过自己在做什么。
“他在圣地亚哥(San Diego)呆了七年来思考这个问题。他在想这个问题的时候,没有与任何人进行太多互动,”他说彼得·泰克纳马克斯·普朗克数学研究所。
罗宾·柯比现就职于加州大学伯克利分校,是最早了解弗里德曼证明的数学家之一。为了评估主要数学结果的大小,Kirby试图想象在其他人想出它之前需要多长时间,按照这个标准,Freedman的证明是Kirby在其漫长职业生涯中看到的最令人惊讶的结果。
柯比说:“如果他没有这样做,我无法想象谁会坚持多久。”。
弗里德曼需要证明卡森控制柄与扁平的惠特尼圆盘是强等价的:如果你有卡森控制杆,你就有惠特尼盘,如果你有惠特妮盘,你就可以分离曲线,如果你可以分离曲线的话,你就确定了同伦球体与实际球体是同胚的。
他的策略是证明你可以用同一组零件制造两个物体——卡森手柄和扁平的惠特尼圆盘。这个想法是,如果你能用相同的部分构建两个东西,它们在某种意义上必须是等价的。弗里德曼开始了建造过程,并取得了很大进展:他可以用相同的组件建造几乎所有的卡森手柄和几乎所有的光盘。
但在有些地方,他无法完全完成这张照片,就好像他正在创作一幅肖像画,而且他看不到被摄对象脸上的某些方面。然后,他最后一步是证明,从他追求的对等类型的角度来看,他照片中的那些差距——他看不到的地方——并不重要。也就是说,图片中的间隙不可能阻止卡森手柄与光盘同胚,无论它们包含什么。
雷说:“我有两个拼图游戏,100块拼图中有99块是匹配的。这些剩余的部分真的改变了我的空间吗?弗里德曼证明了它们不是。”。
为了完成这最后一步,弗里德曼借鉴了数学领域的技术,称为Bing拓扑学,效仿了数学家R.H.Bing,他在20世纪40年代和50年代开发了该技术。但他在一个完全新颖的环境中应用了它们,得出了一个似乎近乎荒谬的结论——最终,差距并不重要。
Kirby说:“这就是为什么证据如此引人注目,也使得其他人不太可能找到它。”。
弗里德曼于1981年夏天完成了他的证据大纲。很快,那些最终会使它面临数学记忆丧失风险的因素就变得显而易见了。
传播新闻
弗里德曼在那年8月于圣地亚哥加利福尼亚大学举行的一次小型会议上宣布了他的证据。大约10位最受尊敬的数学家出席了会议,他们最有可能理解弗里德曼的工作。
在活动之前,他发送了一份20页的手写手稿,概述了他的证据。在会议的第二个晚上,弗里德曼开始介绍他的工作。他无法一次完成,所以他的演讲一直延续到第二天晚上。当他讲完时,他的一小部分观众感到困惑,其中包括弗里德曼的导师爱德华兹。2019年关于诉讼的采访爱德华兹回忆起弗里德曼演讲时的震惊和怀疑。
爱德华兹说:“我认为可以公平地说,观众中的每个人都觉得他的演讲既令人难以置信又令人费解,认为他的想法是愚蠢和疯狂的。”。
弗里德曼的证明在很大程度上似乎不太可能,因为它并没有真正充实。他对证明应该如何进行有了一个想法,并且有一种强烈的、几乎超自然的直觉,认为这种方法会奏效。但他实际上并没有一直这样做。
Kirby也出席了会议,他说:“我无法想象迈克在细节上如此摇摆不定的时候,怎么会有勇气宣布证据。”。
但后来,几位数学家留下来与弗里德曼交谈。至少,潜在结果的规模似乎值得这么做。经过两天多的交谈,爱德华兹对弗里德曼试图做的事情有了足够的了解,以评估它是否真的有效。在会议结束后的第一个星期六早上,他意识到了这一点。
柯比说:“(爱德华兹)说,‘我是第一个真正知道这一点的人。’。
爱德华兹一被说服,就帮助说服了其他人。在某种程度上,这已经足够了。没有高级数学委员会正式证明结果是正确的。接受新陈述的实际过程更为非正式,这取决于数学界成员的同意,他们应该是最了解的。
Teichner说:“数学中的真理意味着你要让专家相信你的证明是正确的。然后它就会成为真理。”。“弗里德曼说服了所有专家,他的证明是正确的。”
但这本身并不足以通过现场公布结果。为了做到这一点,弗里德曼需要一份书面声明,证明从未见过他的人可以自己阅读和学习。这是他从未制作过的。
继续前进
弗里德曼将他的证明大纲提交给了微分几何杂志《华尔街日报》编辑郑东尧(Shing-Tung-Yau)在决定是否出版之前,将其交由外部专家审查,这是所有学术出版的标准保障。但他指派给的人很难是一个客观的专家:罗伯特·爱德华兹。
审查仍然需要时间。证明本身长达50页,爱德华兹发现他在为每一页证明写一页密集的数学笔记。几周过去了,杂志的编辑们变得焦躁不安。爱德华兹定期接到该杂志秘书的电话,询问他是否对证据的合法性做出了裁决。在2019年的同一次采访中,爱德华兹解释说,最后,他告诉《华尔街日报》,证据是正确的,尽管他知道自己还没有时间完全核实。
“下一次秘书打电话给我时,我说‘是的,论文是正确的,我向你保证。但我不能很快生成一份合适的裁判报告。’所以他们决定接受并按原样发表,”他说。
报纸出现于1982年它包含了打字错误和拼写错误,实际上仍然是弗里德曼写完这本书后散发的大纲。任何试图阅读它的人都需要自己填写这篇全新论点的许多步骤。
这篇发表的文章的局限性很明显,但没有人站出来解决这些问题。弗里德曼继续做其他工作,不再讲授他的庞加莱证明。大约十年后的1990年,一本书问世,试图提出一个更容易理解的证明版本。这是弗里德曼写的弗兰克·奎因现在就读于弗吉尼亚理工学院和州立大学,尽管它主要由奎因撰写。
这本书的版本几乎没什么可读性。它假设读者为这本书带来了一定数量的背景知识,而实际上几乎没有人拥有这些知识。没有办法阅读它并从头开始学习证据。
泰特纳说:“如果你有幸与那些理解证据的人在一起,你仍然可以学到它。”。“但回到[书面]来源的人意识到他们不能。”
几十年来,这就是事情一直存在的地方:数学史上最令人惊讶的结果之一是为少数人所知,而其他人却无法获得。
数学界的其他人可能会像弗里德曼一样继续前进,但他的证明太伟大了,不能完全忽视。因此,社区适应了奇怪的环境。许多研究人员采用弗里德曼的证明作为黑箱。如果你假设他的证明是正确的,你可以证明很多关于四维流形的其他定理,很多数学家都证明了。
鲍威尔说:“如果你只是承认这是真的,你可以去用很多方法。”。“但这并不意味着你要相信一切。”
随着时间的推移,随着年轻的研究人员进入数学领域,可以选择在他们想要的任何领域工作,选择从事证明工作的人越来越少。
弗里德曼明白了。他说:“在一个你不了解基本定理的领域工作并不令人满意。”。“基本上,情况是40岁以下的人都不知道证据,这一点信息最终可能会丢失,这有点可怕。”
正是在这个时候,泰克纳(Teichner)——他在20世纪90年代初从弗里德曼(Freedman)那里学到了证据——决定启动一项救援任务。他想创建一个文本,让任何合格的人都可以自己学习证据。
“我决定是时候写一些你能理解的东西了,”他说。
未来保护自由人
Teichner从直接回到源头开始。2013年,他要求弗里德曼在马克斯普朗克学院(Max Planck Institute)一学期的课程中发表一系列演讲,描述证据——这是他30年前发表的演讲的现代版本,目的是宣布结果。弗里德曼急切地表示同意。
泰特纳说:“他肯定担心这会丢失。这就是为什么他如此支持。”。
早在1981年,弗里德曼就向该领域的少数资深人士讲课,这些人是他赢得胜利所需的专家。这一次,他的观众是由50名年轻数学家组成的小组,泰纳将他们聚集在一起接受指挥棒。弗里德曼在圣巴巴拉(Santa Barbara)的办公室通过视频提供的讲座是拓扑世界中的一件大事。
雷当时是休斯顿莱斯大学(Rice University)的研究生,他说:“在我的学院里,我们过去常常在周五下午举行弗里德曼(Freedman)讲座,我们在那里喝杯啤酒,看他谈论他的证明。”。
讲座结束后,数学家斯特凡·贝伦斯(Stefan Behrens)努力将弗里德曼(Freedman)的言论变成更正式的课堂笔记。几年后的2016年,鲍威尔和包括贝伦斯在内的其他数学家根据这些笔记发表了一系列新的演讲,继续将弗里德曼的工作转变为更持久的工作。
雷说:“马克讲课了,我们开始为讲稿填写越来越多的细节,然后就开始了。”。
在接下来的五年里,鲍威尔、雷和他们的三位联合编辑组织了一个数学家团队,将弗里德曼的证明变成了一本书。最终产品于7月份发布,将近500页,包括20位不同作者的贡献。弗里德曼希望这本书能重振他革命性的数学领域的研究。