粒子碰撞中发现的奇怪数字

反复出现的主题

如今，周期是数学中最抽象的科目之一，但它们一开始是一个更具体的问题。17世纪早期，伽利略等科学家对如何计算钟摆完成摆动所需的时间感兴趣。他们意识到，计算可以归结为对一个函数进行积分——一种无穷和，该函数结合了摆的长度和释放角的信息。大约在同一时间，约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler）使用了类似的计算方法来确定行星绕太阳运行所需的时间。他们将这些测量称为“周期”，并将其确定为可以对运动进行的最重要测量之一。

在18世纪和19世纪的过程中，数学家开始对研究周期感兴趣，不仅因为它们与钟摆或行星有关，还因为它们是通过积分多项式函数生成的一类数字，例如x个²+ 2x个–6和3x个^三– 4x个²– 2x个+ 6. 一个多世纪以来，卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）和莱昂哈德·欧勒（Leonhard Euler）等杰出人物探索了周期的宇宙，发现它包含许多指向某种潜在秩序的特征。从某种意义上说，代数几何领域——研究多项式方程的几何形式——是在20世纪发展起来的，作为追求这种隐藏结构的手段。

这一努力在20世纪60年代迅速发展。到那时，数学家已经做了他们经常做的事情：他们将相对具体的对象（如方程）转换为更抽象的对象，他们希望这样可以识别最初不明显的关系。

这个过程首先涉及查看由多项式函数类的解定义的几何对象（称为代数变量），而不是查看函数本身。接下来，数学家试图了解这些几何物体的基本性质。为此，他们发展了所谓的上同调理论，即识别几何物体的结构方面的方法，无论用于生成物体的特定多项式方程如何，这些几何物体都是相同的。

到了20世纪60年代，上同调理论已经扩散到了令人分心的地步——奇异上同调、德拉姆上同调和埃塔尔上同调等等。似乎每个人对代数变体的最重要特征都有不同的看法。

2014年去世的先驱数学家亚历山大·格罗森迪克（Alexander Grothendeck）正是在这片混乱的土地上意识到，所有的上同调理论都是同一事物的不同版本。

布朗说：“格罗森迪克观察到，在代数变体的情况下，无论你如何计算这些不同的上同调理论，你总能找到相同的答案。”。

同样的答案——所有这些同调理论的中心独特之处——就是格罗森迪克所说的“动机”。“在音乐中，它意味着一个反复出现的主题。对格罗森迪克来说，动机是以不同形式反复出现的东西，但它实际上是一样的，”皮埃尔·卡蒂尔说，巴黎郊外高级科学研究所的数学家，格罗森迪克的前同事。

动机在某种意义上是多项式方程的基本构造块，正如素因子是较大数的基本元素一样。动机也有自己的相关数据。正如你可以把物质分解成元素，并指定每个元素的特征——原子序数和原子量等等——数学家将基本测量值归因于动机。这些测量中最重要的是动机的周期。如果一个多项式方程组中的动机周期与另一个系统中的动机相同，你就知道动机是一样的。

牛津大学数学家金敏洪（Minhyong Kim）说：“一旦你知道了周期，即特定的数字，这几乎就等于知道了动机本身。”。

卡地亚说，一种直接观察同一个周期如何在意想不到的情况下出现的方法是使用圆周率，“这是获得周期的最著名的例子。”。Pi在几何中以多种形式出现：在定义一维圆的函数的积分中，在定义二维圆的函数的积分中，以及在定义球体的函数的积分中。对于古代思想家来说，同样的值会在这些看起来不同的积分中重现，这可能是个谜。布朗在一封电子邮件中写道：“现代的解释是，球体和实心圆具有相同的动机，因此必须具有基本相同的周期。”。

费曼的艰辛之路

如果好奇的人很久以前就想知道为什么圆和球体的计算中会出现像π这样的值，那么今天的数学家和物理学家想知道为什么这些值是由不同类型的几何物体产生的：费曼图。

费曼图有一个基本的几何方面，由线段、射线和顶点形成。为了了解它们是如何构造的，以及为什么它们在物理上有用，想象一下一个简单的实验装置，其中一个电子和一个正电子碰撞产生一个μ子和一个反μ子。为了计算结果发生的概率，物理学家需要知道每一个入射粒子的质量和动量，以及粒子所遵循的路径。在量子力学中，粒子所走的路径可以看作是它可能走的所有路径的平均值。计算这条路径就变成了对所有路径集进行积分，即费曼路径积分。

粒子碰撞从开始到结束所遵循的每一条路径都可以用费曼图表示，每个图都有自己的相关积分。（图和它的积分是一体的。）为了从一组特定的开始条件中计算出特定结果的概率，您需要考虑所有可能描述所发生情况的图，取每个积分，并将这些积分相加。这个数字就是图的振幅。物理学家然后将这个数字的大小平方，得到概率。

对于一个电子和一个正电子进入，一个μ子和一个反μ子出来，这个过程很容易执行。但这是无聊的物理。物理学家真正关心的实验包括费曼图和回路。循环表示粒子发射并重新吸收其他粒子的情况。当电子与正电子碰撞时，在最终的μ子和反μ子对出现之前，可能会发生无数次中间碰撞。在这些中间碰撞中，光子等新粒子在被观察到之前被创造并湮灭。进入和离开的粒子与前面描述的相同，但这些不可观察的碰撞的发生对结果仍有微妙的影响。

加州大学河滨分校的物理学家Flip Tanedo说：“这就像Tinkertoys。一旦你画了一张图，你就可以根据理论规则连接更多的线。”。“你可以连接更多的棍子，更多的节点，使其更加复杂。”

通过考虑环路，物理学家提高了实验的精确度。（添加循环就像将一个值计算为更多的有效数字）。但每次添加循环时，需要考虑的费曼图数量以及相应积分的难度都会急剧增加。例如，简单系统的单循环版本可能只需要一个图。同一系统的两回路版本需要七个图表。三个回路需要72张图表。将其增加到五个循环，计算需要大约12000个积分——这是一个需要数年才能解决的计算负载。

物理学家们宁愿通过观察给定的费曼图的结构来获得最终振幅的感觉，也不愿费曼图中冗长乏味的积分，正如数学家可以将周期与动机联系起来一样。

布朗说：“这个过程非常复杂，积分也非常困难，所以我们想做的是通过观察图表来了解最终的答案，即最终的积分或周期。”。

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令人惊讶的联系

1994年，克雷默和英国开放大学物理学家大卫·布劳德赫斯特首次将周期和振幅结合在一起纸张跟随1995年。这项工作促使数学家推测，所有振幅都是混合Tate动机的周期——一种以哈佛大学名誉教授John Tate命名的特殊动机，其中所有周期都是数论中最有影响力的结构之一——黎曼zeta函数的多值。在一个正负电子对进入，一个反μ子对出来的情况下，振幅的主要部分是在3时计算的黎曼zeta函数的6倍。

如果所有的振幅都是多重zeta值，这将给物理学家一个定义明确的数字类别。但在2012年，布朗和他的合作者奥利弗·施内茨证明事实并非如此。尽管物理学家今天遇到的所有振幅可能都是泰特动机复杂的时期，但布朗说：“潜伏在那里的怪物会给工程带来麻烦。”。这些怪兽“当然是周期，但它们并不是人们所希望的美好而简单的周期。”

物理学家和数学家所知道的是，费曼图中的圈数和数学中称为“重量”的概念之间似乎有联系。重量是与被积分空间的维数有关的数字：一维空间上的周期积分的重量可以是0、1或2；二维空间上的周期积分可以有高达4的权重，依此类推。权重也可以用于将周期分类为不同类型：所有权重为0的周期都被推测为代数数，这可以是多项式方程的解（这尚未得到证明）；摆的周期总是具有1的重量；pi是重量为2的周期；Riemann zeta函数值的权重总是输入值的两倍（因此，在3处计算的zeta函数的权重为6）。

这种按权重对周期进行分类的方法一直延续到费曼图，图中回路的数量与振幅的权重有某种联系。无回路图的振幅为0；具有一个循环的图表的振幅都是泰特动机混合的时期，并且最多具有4的权重。对于带有附加循环的图，数学家怀疑这种关系会继续，即使他们还看不到。

克雷默说：“我们进入了更高的循环，我们看到了更普遍的周期。”。“数学家们之所以真正感兴趣，是因为他们不太了解泰特动机之外的动机。”

数学家和物理学家目前正在反复尝试确定问题的范围和工艺解决方案。数学家建议物理学家使用函数（及其积分）来描述费曼图。物理学家创造出的粒子碰撞构型超过了数学家必须提供的功能。布朗说：“看到他们吸收技术性数学思想的速度如此之快，真是令人惊讶。”。“给物理学家的经典数字和函数已经用完了。”

大自然的群体

自从17世纪微积分发展以来，物理世界中出现的数字为数学进步提供了信息。今天的情况就是这样。布朗说：“从某种程度上说，来自物理学的周期是上帝赐予的，来自物理理论，这意味着它们有很多结构，而数学家不一定会想到或试图发明这种结构。”。

克雷默补充道：“看起来大自然想要的周期比数学所能定义的周期要小，但我们无法非常清楚地定义这一子集到底是什么。”

布朗希望证明有一种数学群——伽罗瓦群——作用于费曼图中的周期集。他说：“在所有被计算过的案例中，答案似乎都是肯定的。”但证明这种关系绝对成立的证据还很遥远。布朗说：“如果真的有一群人对来自物理学的数字采取行动，那就意味着你正在发现一大类对称性。”。“如果这是真的，那么下一步就是问为什么会有这么大的对称群，以及它可能具有什么物理意义。”

除其他外，它将加深两种截然不同背景下基本几何结构之间本已具有挑衅性的关系：动机，50年前数学家为理解多项式方程的解而设计的对象，以及费曼图，粒子碰撞过程的示意图。每个费曼图都有一个动机，但动机的结构到底是如何描述其相关图的结构的，仍然是任何人的猜测。

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