Quantum mechanics and the covariance of physical laws in quantum reference frames

Flaminia Giacomini; Esteban Castro-Ruiz; Časlav Brukner

doi:10.1038/s41467-018-08155-0

国家公社。2019; 10: 494.

2019年1月30日在线发布。数字对象标识：10.1038/s41467-018-08155-0

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PMID：30700718

量子力学与量子参考系中物理定律的协方差

弗拉米尼娅·贾科米尼,^1,² 埃斯特班·卡斯特罗·鲁伊斯,^1,²和恰斯拉夫·布鲁克纳^1,²

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摘要

在物理学中，每次观察都是根据一个参照系进行的。虽然参考系通常不被视为自由度，但在所有实际情况下，它是构成参考系的物理系统。量子系统可以被视为一个参考框架吗？如果可以，它对世界的描述是什么？这里，我们介绍了一种量化参考系变换的通用方法，它将通常的参考系变换推广为“坐标变换的叠加”。我们在不同的量子参考系中描述了状态、测量和动力学演化，而不依赖于外部的绝对参考系，并发现纠缠和叠加是依赖于框架的特征。这种变换还导致了动力学物理定律协方差概念的推广，弱等价原理的扩展，以及定义量子系统静止框架的可能性。

参考框架最终是物理系统，因此应该可以以一致的方式量化它们。在这里，作者使用一种关系形式来量化一个参考系，并展示了在这种量子参考系之间的变换下物理定律的协方差。

介绍

物理系统的状态没有绝对意义，只是相对于实验室中观察者的参照系来定义。同一个系统可能与不同参考帧中的不同状态相关联，这些参考帧通常通过一些参考帧变换来关联。从物理角度来看，参考系是理想化物理系统的抽象：例如，理想刚体可以作为参考系来定义其他对象的相对空间距离和方向。在经典物理学中，坐标变换用于在两个不同的参考系之间转换所考虑系统的描述。这些变换包括，例如，空间和时间中的空间旋转和平移，或者帧的恒定相对运动（例如，伽利略变换）。一般来说，动力学物理定律在某些变换组下是不变的。例如，非相对论物理定律在伽利略变换下是不变的。

在每个物理实验室情况下，参考框架都是通过物理系统实现的。与任何物理系统一样，它最终都是根据量子力学定律运行的。因此，人们可能会将引用帧变换的标准处理视为更基本的变换集的近似。具体地说，人们应该考虑到从另一个实验室的角度来看，一个实验室可能以叠加形式出现，甚至与系统纠缠。因此，两个实验室之间的关系不仅仅是经典参考系之间的简单坐标变换；它成为一种基本的量子关系。然后我们可以讨论“量子参考系”（QRF）之间的转换。例如，我们可以想象，一个观察者的实验室和仪器固定在一个平台上，该平台相对于另一个观察器的实验室处于位置状态的叠加状态，如图所示1我们能有意义地定义这些QRF之间的转换吗？哪些变换将根据一个参照系定义的系统量子态与根据第二个参照系确定的系统量子状态联系起来？在这种“量子变换”下不变的动力学物理定律是什么？

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图1

量子参考系概念的说明。两个量子参照系A和C以及量子系统B。参照系A与C被形象地表示为两个配备有自己仪器的实验室。然而，在现实情况下，系统a可以是原子，B可以是光子，C可以是实验室（或另一个原子）。与A相关的参考框架是从实验室C观察到的位置的叠加（叠加通过实验室A的模糊性来说明）。给定A和B相对于C的参考系的量子态，B和C相对于A的参考系定义的状态是什么？

文献中广泛讨论了QRF^¹–²²方法（量子参考系先前方法的比较）中详细讨论了以往关于QRF的工作以及与我们方法的比较。

在这项工作中，我们发现了从不同QRF的角度将状态、动力学演化和测量联系起来的（酉）变换。这是通过通过从初始QRF到最终QRF的“广义坐标变换”改变视角来实现的，这不仅涉及观察到的系统，还涉及被视为参考系的量子系统的自由度。生成的转换将初始QRF外部所有系统的状态作为输入，并将最终QRF外部的所有系统状态输出。我们发现，量子态及其特征（如叠加和纠缠）仅根据物理关系描述的精神，相对于选定的参考框架进行定义^{¹⁶–¹⁹,²³,²⁴}例如，对于某一观测者而言，处于可观测的良好局域状态的量子系统，对于另一观测器而言，可能处于两个或多个状态的叠加状态，甚至与第一观测者纠缠。由于不同QRF之间的转换是酉的，因此观测到的概率（即相对计数数）是不变的。然而，不同QRF中的测量系统和观测值是不同的，我们发现一个QRF中测量的观测值和系统与另一个QRF中的测量值和系统之间存在映射关系。谈到动力学，我们提出了物理定律协方差概念的扩展，以包括真正的量子变换，其中一个参照系是相对于另一参照系的不同相对位置、动量或速度的叠加。我们发现在这样的“伽利略平移叠加”和“伽利耳助推叠加”下，哈密顿量是对称的。最后，我们发现弱等价原理可以推广到QRF：在“均匀引力场叠加”中观察到的效应与在平坦时空中“加速度叠加”中的框架中的效应是无法区分的。在所有这些变换中，作为参考系的量子系统起着控制被观测系统变换的作用。

结果

量子参考系之间的转换

当参考框架被视为抽象实体时，参考框架转换包含在坐标转换中，其中新的坐标x个'所考虑的系统在其中表示的是旧辅音的功能x个和时间t吨，即。x个′ = x个′(x个,t吨). 在转换中，新旧参照系之间的关系，例如相对位置或速度，作为参数输入。这些转换的特例，在补充说明中详细讨论¹，是参考文献中介绍的扩展伽利略变换^²⁵。这些是类型的转换x个′ = x个 − X（X）(t吨)伽利略将空间平移转化为均匀加速的参考系。在量子理论中，所有这些变换都可以通过它们对系统量子态的幺正作用来表示 $∣ ψ' ⟩ = Û_{我} ∣ ψ ⟩$ ，其中索引我标记转换。在空间平移的情况下，坐标变换x个′ = x个 − X（X）₀引发转变 $Û_{吨} = {e（电子）}^{\frac{我}{ℏ} {X（X）}_{0} \hat{第页}}$ ，其中X（X）₀是一个固定参数，具有长度的物理尺寸，用于描述新参照系相对于旧参照系的位移。当新参照系以恒定匀速移动时v（v）从初始的角度（伽利略助推）来看，我们有X（X）(t吨) = 及物动词，将状态更改为新框架的转换是 $Û_{b条} = {e（电子）}^{\frac{我}{ℏ} v（v） Ĝ}$ .给， $Ĝ = \hat{第页} t吨 - 米 \hat{x个}$ 是伽利略助推的发生器米被推动粒子的质量。最后，如果新的参考系以加速度持续均匀地加速一从最初的观点来看， $X（X） (t吨) = \frac{1}{2} 一 {t吨}^{2}$ 并且要应用于该状态的运算符是 $Û_{一} = {e（电子）}^{- \frac{我}{ℏ} 米 \dot{X（X）} (t吨) \hat{x个}} {e（电子）}^{\frac{我}{ℏ} X（X） (t吨) \hat{第页}} {e（电子）}^{- \frac{我}{ℏ} \frac{米}{2} \int_{0}^{t吨} d日秒 {\dot{X（X）}}^{2} (秒)}$ .

通常描述参考系之间变化的坐标变换依赖于这样一个假设，即参考系是抽象的理想实体，我们不为其指定物理状态。在真实的实验情况下，这种理想化可能并不准确，因为真实的物理系统标准地充当参考框架，因此通常所做的假设可能是站不住脚的。参考文献中给出了将物理系统视为参考框架时出现的差异实例。^²⁶其中，振动丝充当量子非惯性参考系。将导线放置在原子穿过的干涉仪中，使原子发生相移，从而导致干涉损失。

接下来，我们给出了形式主义的基本元素，其中在经典或量子理论的框架内，对一组物理系统相对于另一组物理系（后一组用作QRF）进行了描述。我们发现，不同的QRF为其各自的“世界其他地方”提供的描述之间存在着普遍的转换。我们将看到，“跳转”到QRF的概念变得不明确：并非所有的变量都可以用关系词来表示，必须选择与所研究的情况相关的自由度。所有计算都是在一维中进行的，以保持符号简单。扩展到三维是很简单的。

我们考虑三个量子系统，如图所示1：C是初始参考框架，A是我们想改变其视角的新参考框架，B通常是一个复合系统，将应用从C到A的参考框架的转换。我们的方法在原始实验室操作中是可行的——分离、转换和测量具有基本地位。这种对操作方法的强调使得该理论能够纯粹根据具有直接物理意义的概念来指定。然而，请注意，该方法并不需要进行宏观叠加。例如，在实际情况下，系统a可以是一个粒子，其外部自由度与实验室C重叠，用于定义新的相对坐标集，内部自由度在参考框架a中用作“检测器”。我们假设相对于参照系的动力学描述不涉及参照系本身，而只涉及参照系外部的系统，当从参照系本身考虑时，参照系的位置和动量不是动态变量（这也可能与所谓的自我参照问题有关^²⁷,²⁸). 因此，参照系本身并不是一个自由度，而是它的外部系统。因此，从C的参照系来看，A和B是外部系统，从A的参照系看，B和C也是外部系统。

在C的参考系中，系统A和B由希尔伯特空间中的量子态描述 ${H（H）}_{一}^{（C）} \otimes {H（H）}_{B类}^{（C）}$ 为了改变参考系，我们应用了一个正则变换，这是保持相空间辛结构的最一般的变换。量子正则变换一直是参考文献中的研究对象。 ^²⁹,³⁰、和被定义为可逆转换 $Ĉ$ 映射初始运算符的 $(\hat{x个}, \hat{第页})$ ，至 $\hat{q个} = Ĉ \hat{x个} Ĉ^{- 1}$ 和 $\hat{π} = Ĉ \hat{第页} Ĉ^{- 1}$ 这样的话 $[\hat{q个}, \hat{π}] = 我 ℏ$ 量子正则变换的一般理论涉及技术问题，例如，并非所有的量子正则变换都是等距的^³⁰为了简单起见，在本文中，我们只考虑酉变换，根据定义，酉变换是等距的。这种幺正变换的形式是 $Ĉ : {H（H）}_{1} \to {H（H）}_{2}$ ，其中 ${H（H）}_{1}$ , ${H（H）}_{2}$ 是初始和最终希尔伯特空间，因此，对于所有状态 $ψ, ϕ \in {H（H）}_{1}$ ，保留标量积，即。 $⟨ ϕ ∣ {ψ ⟩}_{1} = ⟨ Ĉ ϕ ∣ Ĉ {ψ ⟩}_{2}$ ，其中 $⟨ \cdot ∣ {\cdot ⟩}_{我}$ 是希尔伯特空间上的标量积 ${H（H）}_{我}$ , $我 = 1, 2$ 注意，两个标量积的函数形式可能不同，因为希尔伯特空间的度量可以改变。

在给出一个量子参考系转换的例子之前，我们应该强调，规范性的要求导致了重要的后果。如果我们天真地处理转换，我们会试图定义到相对坐标和动量的转换，其中一组N个质量粒子米_我(我 = 1,...,N个)相对于质量为0的粒子米₀是 ${x个}_{我}^{第页} = {x个}_{我} - {x个}_{0}$ 相对动量为 ${第页}_{我}^{第页} = μ_{我 0} (\frac{{第页}_{我}}{米_{我}} - \frac{{第页}_{0}}{米_{0}})$ , $μ_{我 0} = \frac{米_{我} 米_{0}}{米_{我} + 米_{0}}$ 是约化质量。如果我们现在计算泊松括号，我们会发现 ${{x个}_{我}^{第页}, {第页}_{j个}^{第页}} \neq 0$ 对于我 ≠ j个从而违反了规范性要求。这个论点也可以在参考文献中找到。^²⁰,²¹这意味着，每当我们对量子参考系进行转换时，我们都必须选择我们感兴趣的相对变量，然后通过正则性完成共轭变量的转换。注意，这一特征不仅出现在量子力学中，也出现在经典物理学中。此外，在拉格朗日形式主义中，相对变量的变换是一个点变换，因此当映射到相空间时，它是自动正则的。

我们现在通过一个例子来说明QRF之间的转换。我们描述了这样一种情况，即新的参照系A相对于旧的参照系C进行简单的平移，但A的量子态并不是处于锐利的位置，而是处于位置的叠加中。在这种情况下，很明显，仅仅是本节前面讨论的类型的坐标变换，以及补充说明中的详细内容¹不再足够，因为新参照系的位置没有定位，因此两个参照系之间没有唯一的距离。因此，为了在新的参照系中描述量子系统B，有必要进行一个能够捕捉a的量子特征的变换。我们建议，一个自然的过程是利用量子力学的线性，并通过算符“相干地转换”B相对于a位置的状态 ${e（电子）}^{\frac{我}{ℏ} {\hat{x个}}_{一} {\hat{第页}}_{B类}}$ ，其中指数指的是两个量子系统A和B。注意，这里是系统A的位置算符， ${\hat{x个}}_{一}$ ，替换了常用转换运算符的经典参数。

从C到A的参考坐标系的完全空间转换包括从C看相对位置坐标的变化（如图2a个)相对位置坐标，如图A所示2亿). 这可以通过正则变换实现

{\hat{x个}}_{B类} \mapsto {\hat{q个}}_{B类} - {\hat{q个}}_{C类},

第1页

{\hat{x个}}_{一} \mapsto - {\hat{q个}}_{C类},

1亿

{\hat{第页}}_{B类} \mapsto {\hat{π}}_{B类},

1c个

{\hat{第页}}_{一} \mapsto - ({\hat{π}}_{C类} + {\hat{π}}_{B类}),

1天

哪里 ${\hat{x个}}_{我}, {\hat{第页}}_{我}$ , $我 = 一, B类$ ，是相对于C的位置和动量，以及 ${\hat{q个}}_{j个}, {\hat{π}}_{j个}$ , $j个 = B类, C类$ ，是相对于A的位置和动量。转换(¹)可以通过正则变换来表示 ${S公司}_{x个} (\cdot) = Ŝ_{x个} \cdot Ŝ_{x个}^{†}$ 关于系统A和B的相空间观测值，其中 ${S公司}_{x个} (\cdot)$ 是一名超级操作员 $Ŝ_{x个}$ 幺正变换 $Ŝ_{x个} : {H（H）}_{一}^{（C）} \otimes {H（H）}_{B类}^{（C）} \to {H（H）}_{B类}^{（A）} \otimes {H（H）}_{C类}^{（A）}$ 定义为

Ŝ_{x个} = {\hat{P（P）}}_{自动控制} {e（电子）}^{\frac{我}{ℏ} {\hat{x个}}_{一} {\hat{第页}}_{B类}} .

2

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图2

转换为相对坐标。一从C的角度看A和B的相对位置坐标。b条从A的角度看B和C的相对位置坐标。立即验证 ${\hat{x个}}_{B类} \mapsto {\hat{q个}}_{B类} - {\hat{q个}}_{C类}$ 还有那个 ${\hat{x个}}_{一} \mapsto - {\hat{q个}}_{C类}$

在这里， ${\hat{P（P）}}_{自动控制} : {H（H）}_{一}^{（C）} \to {H（H）}_{C类}^{（A）}$ 平价互换运营商的作用是 ${\hat{P（P）}}_{自动控制} ψ_{一} (x个) = ψ_{C类} (- x个)$ 在状态的坐标表示中。如果C指定量子态 $ρ_{AB公司}^{（C）}$ 对于A和B的联合系统，从A的角度来看，转换后的状态是 $ρ_{不列颠哥伦比亚省}^{（A）} = Ŝ_{x个} ρ_{AB公司}^{（C）} Ŝ_{x个}^{†}$ 注意，我们的变换既可以应用于纯态，也可以应用于混合态。此转换满足传递性，这意味着将参考框架从C更改为B，然后使用等式从B更改为A(²)与将其从C更改为A具有相同的效果。特别是，这意味着从C更改到A，然后再更改回C等同于标识操作，即。 $Ŝ_{x个}^{(C类 \to 一)} = {(Ŝ_{x个}^{(一 \to C类)})}^{†}$ 详见补充说明².等式中的转换(²)可以视为系统B的平移，由系统a的位置控制，后面跟着平价交换运算符。

注意，建立等式不需要绝对参考框架（“外部”透视图）(²)（在整篇论文中，我们交替使用术语“绝对”、“抽象”、“外部”和“经典”来指代此类参考框架）。这种变换可以通过对拉格朗日形式中的相对坐标进行点变换来获得，从中可以导出动量之间的关系。或者，在哈密顿形式主义中，方程(²)可以唯一地固定（公式中的常数(²))通过要求它是正则的，在相空间中是线性的，并且不混合坐标和动量。在本文中，我们使用同构于 ${L（左）}^{2} (R（右）)$ 用标准量具dμ(x个) = dx公司。从C的角度来看，构成新参照系的系统，例如A，可能是一个复合系统。例如，A可以由不同的粒子组成（例如，想象一个由质子和中子组成的原子）。我们的形式主义可以通过定义跳跃变换来应用于这种情况，例如，质心的自由度。在这种情况下，内部自由度可以像任何外部系统B一样进行变换。在方法中（应用：量子系统静止框架的概念）我们提供了另一个例子，说明如何将我们的形式主义应用于具有离散内部自由度的复合系统。

我们执行正则变换的一般过程是选择一个基来表示相对量，然后规范地完成它。注意，相空间中的任何正交都可以被视为相对变量。相对坐标的不同选择会导致QRF之间的不同转换。在等式中(¹)我们选择了位置基来定义C和A中的相对坐标，但我们可以选择本征基，例如相对动量。在这种情况下，转换是 $Ŝ_{第页} = {\hat{P（P）}}_{自动控制} {e（电子）}^{- \frac{我}{ℏ} {\hat{第页}}_{一} {\hat{x个}}_{B类}}$ ，并产生以下正则变换： ${\hat{第页}}_{B类} \mapsto {\hat{π}}_{B类} - {\hat{π}}_{C类}$ , ${\hat{第页}}_{一} \mapsto - {\hat{π}}_{C类}$ , ${\hat{x个}}_{B类} \mapsto {\hat{q个}}_{B类}$ 、和 ${\hat{x个}}_{一} \mapsto - ({\hat{q个}}_{C类} + {\hat{q个}}_{B类})$ 。选择不同相对坐标的可能性表明，当我们将一个物理系统提升为一个参考框架时，除非满足相对坐标的选择，否则会提出世界其他部分相对于参考框架的描述是什么的问题。一个等价的说法是，当参考系被视为一个物理系统时，不存在“跳转”到参考系的明确概念。请注意，当参考系被视为物理自由度时，这一特征在经典力学和量子力学中都产生于参考系变换的规范性要求，因此将其归因于相空间。在本文的其余部分中，“跳到QRF”一词的意思是宽松的，取决于具体转换和基础的选择。

根据等式中的映射变换状态的一些示例(²)如图所示三特别是，我们在图中看到第3页当新的参考系A在位置基准上非常尖锐，而C的参考系中的初始状态为|ψ〉_AB公司 = |x个₀〉_一|ψ〉_B类，从A的角度来看，B的状态转换为x个₀，并且C的状态也是尖锐的。然后，新参考框架中的状态将为 $∣ {ψ ⟩}_{不列颠哥伦比亚省} = \int d日 {q个}_{B类} ψ ({q个}_{B类} + {x个}_{0}) ∣ {q个_{B类} ⟩}_{B类} ∣ - {x个_{0} ⟩}_{C类}$ 。这对应于经典参考框架的平移量x个₀，自转型以来 $Ŝ_{x个}$ 应用于A的良好本地化状态时，采用标准转换运算符的形式 $Ŝ_{x个} ∣ {x个_{0} ⟩}_{一} = {\hat{P（P）}}_{自动控制} {e（电子）}^{\frac{我}{ℏ} {x个}_{0} {\hat{第页}}_{B类}} ∣ {x个_{0} ⟩}_{一}$ （直到指定两个参考帧的相对位置的平价交换运算符，这在标准框架中通常被忽略。）

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图3

不同量子参考系中的相对状态示例。在位置基础上，从C（每个子图中的上面）和A（每个子图形中的下面）的参考框架描述相对状态。乘积状态表示为面积被着色的曲线，而纠缠状态表示为未着色面积的曲线。在一从C的角度来看，A的状态是完全局部化的。在A的参照系中，B的状态与从C看的状态相同，但经过翻译，C是完全局域化的。这种情况对应于经典参照系的平移。在b条A和B处于乘积状态，A处于两个不重叠的sharp-position状态的叠加状态。从A的角度来看，B和C纠缠在一起，但状态之间的相对距离没有变化。在c（c）A和B纠缠并完全相关，即它们之间的相对距离总是L（左）在A的参照系中，B处于明确的位置，C处于位置的叠加。最后，在d日从C的观点来看，A和B处于EPR状态，即。 ${∣ψ⟩}_{AB公司} = \int d日 x个 {∣x个⟩}_{一} {∣x个 + X（X）⟩}_{B类}$ 。更改为A时，B显示在固定位置，而C则分布在整个空间中

在图中3亿我们举例说明了A的状态是两个锐态的叠加，即。 ${∣ϕ⟩}_{一} = \frac{1}{\sqrt{2}} ({∣{x个}_{1}⟩}_{一} + {∣{x个}_{2}⟩}_{一})$ 通常，如果C将A和B的联合状态描述为产品状态|ϕ〉_一|ψ〉_B类，A参考框架中的状态被纠缠，并作为两者的卷积得到， $Ŝ_{x个} {∣ϕ⟩}_{一} {∣ψ⟩}_{B类} = \int d日 {q个}_{B类} d日 {q个}_{C类} ϕ (- {q个}_{C类}) ψ ({q个}_{B类} - {q个}_{C类}) {∣{q个}_{B类}⟩}_{B类} {∣{q个}_{C类}⟩}_{C类}$ 类似地，如果A和B的状态纠缠在初始参考系中，则在更改为A的参考系后，此属性可能不成立。图中给出了这种情况的示例3c、d特别是图3立方厘米我们考虑A和B在位置基上的纠缠态，其中A和B之间存在完全相关，即。 $∣ {ψ ⟩}_{AB公司} = \frac{1}{\sqrt{2}} (∣ {x个_{1} ⟩}_{一} ∣ {x个}_{1} + {L（左） ⟩}_{B类} + ∣ {x个_{2} ⟩}_{一} ∣ {x个}_{2} + {L（左） ⟩}_{B类})$ 从A的角度来看，B和C的状态是产品状态。尤其是，B出现在该位置q个_B类 = L（左），而C的状态为叠加状态 $\frac{1}{\sqrt{2}} ({∣- {x个}_{1}⟩}_{C类} + {∣- {x个}_{2}⟩}_{C类})$ 类似地，如果A和B纠缠于EPR状态 ${∣ψ⟩}_{AB公司} = \int d日 x个 {∣x个⟩}_{一} {∣x个 + X（X）⟩}_{B类}$ 如图所示三维，A看到B定位在位置q个_B类 = X（X），而C分布在整个空间中。

从所考虑的例子中可以清楚地看出，叠加和纠缠的概念与参考系有关。具体来说，这一事实意味着，从实验室的角度来看，处于空间叠加状态的量子粒子反过来会将处于空间叠加的状态归于实验室。量子态特征的帧依赖性概念与文献中通常发现的概念不同，在文献中，帧依赖性总是由于外部参照系中规定的系统状态的退相干而出现，并且在追踪出该帧后（参见，例如，参考文献）。^{⁴,⁸,²⁰,²¹}（关于我们的方法与现有QRF文献之间差异的更多详细信息，请参见方法（量子参考系先前方法的比较））

由于不同参考系中同时性的相对性，相对论量子理论中出现了纠缠和叠加对参考系的依赖性^³¹在相对论量子信息中，当一个状态被洛伦兹提升到相对于初始坐标系以恒定匀速运动的参考坐标系时，动量和自旋自由度之间的帧相关纠缠也会出现^³²状态的增强通过维格纳旋转来表示，维格纳转动将自旋和动量耦合在一起。这里我们表明，即使在非相对论量子力学中，由于参考系之间的真正量子关系，也可能产生这种效应。

量子参考系中的动力学和对称性

我们现在将从QRF中导出薛定谔方程。更具体地说，从初始参考系C中的哈密顿量出发，我们将导出相对于A的动力学定律。这里是变换 $Ŝ$ 从C到A是一个完全通用的酉算子，并且可能显式地依赖于时间。此外，我们假设A和B相对于参考系C的状态满足薛定谔方程：

我 ℏ \frac{d日 {\hat{ρ}}_{AB公司}^{（C）}}{d日 t吨} = [Ĥ_{AB公司}^{（C）}, {\hat{ρ}}_{AB公司}^{（C）}],

三

哪里 ${\hat{ρ}}_{AB公司}^{（C）}$ 是A和B的状态（可以是纯的或混合的），以及 $Ĥ_{AB公司}^{（C）}$ 它们相对于C的哈密顿量。

B和C相对于A的状态由下式给出 ${\hat{ρ}}_{不列颠哥伦比亚省}^{（A）} = Ŝ {\hat{ρ}}_{AB公司}^{（C）} Ŝ^{†}$ .根据时间区分这个表达式，并应用我们得到的莱布尼茨规则

我 ℏ \frac{d日 {\hat{ρ}}_{不列颠哥伦比亚省}^{（A）}}{d日 t吨} = [Ĥ_{不列颠哥伦比亚省}^{（A）}, {\hat{ρ}}_{不列颠哥伦比亚省}^{（A）}],

4

哪里

Ĥ_{不列颠哥伦比亚省}^{(一)} = Ŝ Ĥ_{不列颠哥伦比亚省}^{(一)} Ŝ^{†} + 我 ℏ \frac{d日 Ŝ}{d日 t吨} Ŝ^{†} .

5

乍一看，方程式中的薛定谔方程(^三)对于一般的量子参照系C来说，可能看起来没有道理。根据我们目前的实验测试现状，量子系统的演化已被证实仅相对于“抽象”参照系而言是单一的（在引言中解释的意义上）。在我们的描述中，这样一个抽象的参照系可以近似为一个非常庞大和经典的参照系。然后是等式中的数学步骤(^三)–(⁵)表明，从一个经典的参考框架开始，演化也可以从任何QRF统一描述，包括那些非大规模的QRF，前提是可以存在像 $Ŝ$ 操作员更改参考系。因此，C也可以在等式中作为QRF(^三).

使哈密顿量保持不变的变换称为对称变换。变换的对称性意味着系统的动态观测值存在守恒性。在下一节中，我们将确定QRF之间的对称变换。经典RF变换和量子RF变换之间的一个重要区别是，在后一种情况下，从一个QRF中看到的哈密顿量不仅包括观察到的系统B，还包括其他QRF。然后，我们将对称变换定义为离开哈密顿不变量函数形式的映射，即a和B的哈密顿量与C和B的汉密顿量是相同的算子函数，

Ŝ Ĥ ({米_{我}, {\hat{x个}}_{我}, {\hat{第页}}_{我}}_{我 = A、 B类}) Ŝ^{†} + 我 ℏ \frac{d日 Ŝ}{d日 t吨} Ŝ^{†} = Ĥ ({米_{我}, {\hat{q个}}_{我}, {\hat{π}}_{我}}_{我 = B、 C类}),

6

其中算符和A的质量简单地替换为C的算符和质量。可以看出，如果条件(⁶)满足，然后转换 $Ŝ$ 允许定义参考框架C中动力守恒量之间的映射， ${\{Ĉ_{我}^{（C）}\}}_{我 = 1, . . ., N个}$ ，使用 $N个 \in N个$ 对于参考系A中的动态守恒量， ${\{Ĉ_{我}^{（A）}\}}_{我 = 1, . . ., N个}$ 尤其是，这些量具有相同的函数形式，但所有标签A和C都已互换。我们在补充说明中对此进行了说明^三.

如结果（量子参考系之间的转换）开头所述，并在补充说明中详细说明¹当参考框架被视为抽象实体时，旧参考框架和新参考框架之间的关系作为一个函数进入转换 $Û_{我} = Π_{n个} {e（电子）}^{\frac{我}{ℏ} {（f）}^{n个} (t吨) Ô_{B类}^{n个}}$ ，其中（f）^n个(t吨)取决于两个参考系之间的特定转换，特别是两个参考架的位移X（X）(t吨)及其时滞。操作员 $Ô_{B类}$ 作用于B的希尔伯特空间。指数上的产品n个是因为在一般变换中，我们可能无法将变换分解为a函数和B运算符的单一乘积。这个条件通过提升函数转换为我们的形式主义（f）^n个(t吨)时间相关运算符 ${\hat{（f）}}_{一}^{n个} (t吨)$ 该变换在A的时间相关算子中指定，即在海森堡图中。我们希望应用转换 $Ŝ$ 到A和B的状态t吨，即它们在薛定谔图中的状态，并获得B和C在时间上的变换状态t吨这意味着以下一般结构 $Ŝ$ 操作员：

Ŝ = {e（电子）}^{- \frac{我}{ℏ} Ĥ_{C类} t吨} {\hat{P（P）}}_{自动控制}^{(我)} Π_{n个} {e（电子）}^{\frac{我}{ℏ} {\hat{（f）}}_{一}^{n个} (t吨) Ô_{B类}^{n个}} {e（电子）}^{\frac{我}{ℏ} Ĥ_{一} t吨},

7

其中，改变QRF的处方可以通过以下步骤进行描述：（a）我们首先将a的状态映射到海森堡图，方法是将其与哈密顿量进行时间演化 $Ĥ_{一}$ ，（b）然后我们使用算符应用经典变换的推广 ${\hat{（f）}}_{一}^{n个} (t吨)$ （c）我们应用了“广义奇偶算子” ${\hat{P（P）}}_{自动控制}^{(我)}$ 交换C和A的运动方程（例如，取决于具体的变换 $我$ 选择后，奇偶算符确保从C的角度看A的位置、速度或加速度与从A的角度看C的相同量相反，详见下文）；最后（d）我们通过哈密顿量将C的状态映射回薛定谔图 $Ĥ_{C类}$ .

方程式(⁷)事实上，当A和B不相互作用时，它是在一维中可以实现的最一般的QRF变换，并且在特殊情况下，它包含一维中的（扩展的）伽利略变换。通过此转换，可以确定量化参考帧转换的通用方法。首先，应该确定转换的类型（例如，平移、升压、加速参考系等）。其次，通过求解构成新参考系的系统的运动方程，应使用新QRF的相空间算子量化变换中出现的经典参考系的动力学变量。这构成等式的中心部分(⁷). 最后，应该用哈密顿量加上两个传播子 $Ĥ_{一}$ 和 $Ĥ_{C类}$ 并选择一个广义的平价交换算子，使得从a的角度看系统C的运动方程的解与从C的角度看a的运动方程解的符号相反，即它们等于一个负号。

接下来，我们通过将扩展的伽利略变换推广到QRF来例证这个过程，这在方法中进行了详细讨论，并在图中进行了总结4特别是，伽利略平移可以通过考虑相对坐标来概括，该坐标定义为在某个时间相对于系统a的量子状态τ（有关更多详细信息，请参见方法（量子参考帧之间的转换）。遵循方程式(⁷)，此转换可以写成

Ŝ_{吨} = 经验 (- \frac{我}{ℏ} \frac{{\hat{π}}_{C类}^{2}}{2 米_{C类}} (t吨 - τ)) {\hat{P（P）}}_{自动控制}^{(x个)} 经验 (\frac{我}{ℏ} {\hat{x个}}_{一} {\hat{第页}}_{B类}) 经验 (\frac{我}{ℏ} \frac{{\hat{第页}}_{一}^{2}}{2 米_{一}} (t吨 - τ)) .

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图4

表总结了系统B上的不同量子参考框架（QRF）变换。（省略了对A的操作）与时间无关的变换 $Ŝ_{x个}$ 是参考帧移动时标准参考帧（RF）变换的QRF概括X（X）(t吨)，相对坐标表示系统A和B在时间上的距离t吨三个QRF转换 $Ŝ_{吨}$ , $Ŝ_{b条}$ 、和 $Ŝ_{欧洲药典}$ 将扩展的伽利略变换推广到一个分别平移、匀速运动和匀速运动的参考坐标系。特别地， $Ŝ_{吨}$ 转换旧坐标 ${x个}_{B类}$ 到系统B之间的相对位置t吨和系统A $τ$ ，并减少到 $Ŝ_{x个}$ 对于 $t吨 = τ$ .转型 $Ŝ_{b条}$ 对系统B执行洛伦兹升压，其中速度是根据系统a的动力学变量写入的。最后，转换 $Ŝ_{E类 P（P）}$ ，将系统A以加速度叠加方式移动时的转换推广到加速参考系。重要的是，RF变换扩展到量子系统的动力学量，使得引入对称变换的一般概念成为可能，这在本工作中的例子是，在 $Ŝ_{吨}$ 和 $Ŝ_{b条}$ 转换

在这种情况下，QRF由系统A在某一固定时间的量子态提供τ.转型 $Ŝ_{吨}$ 映射位置x个_B类粒子B的时间t吨在C中转换为B在时间上的相对位置t吨以及C在时间上的位置τ（参见图4和方法）。此外，在QRF的扩展意义上，这种变换是自由粒子哈密顿量的对称性，因为它映射 $Ĥ_{AB公司}^{(C类)} = \frac{{\hat{第页}}_{一}^{2}}{2 米_{一}} + \frac{{\hat{第页}}_{B类}^{2}}{2 米_{B类}}$ 进入之内 $Ĥ_{不列颠哥伦比亚省}^{(一)} = \frac{{\hat{π}}_{B类}^{2}}{2 米_{B类}} + \frac{{\hat{π}}_{C类}^{2}}{2 米_{C类}}$ .

我们考虑的第二种情况是将伽利略助推推广为“助推叠加”，对应于粒子A从C的角度以动量（速度）叠加的方式运动。这种情况在方法（量子参考系之间的助推）中进行了详细讨论。在这种情况下，QRF变换是

Ŝ_{b条} = 经验 (- \frac{我}{ℏ} \frac{{\hat{π}}_{C类}^{2}}{2 米_{C类}} t吨) {\hat{P（P）}}_{自动控制}^{(v（v）)} 经验 (\frac{我}{ℏ} \frac{{\hat{第页}}_{一}}{米_{一}} Ĝ_{B类}) 经验 (\frac{我}{ℏ} \frac{{\hat{第页}}_{一}^{2}}{2 米_{一}} t吨),

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具有“跳跃”到由自由粒子哈密顿量描述的量子系统的静止框架的物理意义 $Ĥ_{AB公司}^{(C类)} = \frac{{\hat{第页}}_{一}^{2}}{2 米_{一}} + \frac{{\hat{第页}}_{B类}^{2}}{2 米_{B类}}$ 此变换也是自由粒子哈密顿量的对称性，它被变换为 $Ĥ_{不列颠哥伦比亚省}^{(一)} = \frac{{\hat{π}}_{B类}^{2}}{2 米_{B类}} + \frac{{\hat{π}}_{C类}^{2}}{2 米_{C类}}$ .

最后，我们将变换推广到QRF变换的一个不断加速的参考框架 $Ŝ_{欧洲药典}$ （见方法（量子参考系中的弱等效原理）），描述了以加速度叠加方式运动的QRF的变化。这种叠加是通过选择初始哈密顿量来实现的 $Ĥ_{AB公司}^{(C类)} = Ĥ_{一} + Ĥ_{B类} = \frac{{\hat{第页}}_{一}^{2}}{2 米_{一}} + \frac{{\hat{第页}}_{B类}^{2}}{2 米_{B类}} + V（V） ({\hat{x个}}_{一})$ ，其中 $V（V） ({\hat{x个}}_{一})$ 是分段线性的，系统A演化为两个振幅的叠加，每个振幅都位于对应于电位梯度的区域。QRF变换表示为

Ŝ_{欧洲药典} = {e（电子）}^{- \frac{我}{ℏ} (\frac{{\hat{π}}_{C类}^{2}}{2 米_{C类}} + \frac{米_{C类}}{米_{一}} V（V） (- {\hat{q个}}_{C类})) t吨} {\hat{P（P）}}_{自动控制}^{(v（v）)} {\hat{问}}_{t吨} {e（电子）}^{\frac{我}{ℏ} (\frac{{\hat{第页}}_{一}^{2}}{2 米_{一}} + V（V） ({\hat{x个}}_{一})) t吨},

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哪里

{\hat{问}}_{t吨} = {e（电子）}^{- \frac{我}{ℏ} \frac{米_{B类}}{米_{一}} ({\hat{第页}}_{一} - \frac{d日 V（V） ({\hat{x个}}_{一})}{d日 {\hat{x个}}_{一}} t吨) {\hat{x个}}_{B类}} {e（电子）}^{\frac{我}{ℏ} ({\hat{第页}}_{一} - \frac{1}{2} \frac{d日 V（V） ({\hat{x个}}_{一})}{d日 {\hat{x个}}_{一}} t吨) \frac{{\hat{第页}}_{B类}}{米_{一}} t吨} {e（电子）}^{- \frac{我}{ℏ} \frac{米_{B类}}{2 米_{一}^{2}} \int_{0}^{t吨} d日 秒 {({\hat{第页}}_{一} - \frac{d日 V（V） ({\hat{x个}}_{一})}{d日 {\hat{x个}}_{一}} 秒)}^{2}}

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是通常转换到加速参考系的直接扩展。从A的角度来看，新的哈密顿量是

Ĥ_{不列颠哥伦比亚省}^{(一)} = \frac{{\hat{π}}_{B类}^{2}}{2 米_{B类}} + \frac{{\hat{π}}_{C类}^{2}}{2 米_{C类}} + \frac{米_{C类}}{米_{一}} V（V） (- {\hat{q个}}_{C类}) - \frac{米_{B类}}{米_{一}} \frac{d日 V（V）}{d日 {\hat{x个}}_{一}} ∣_{- {\hat{q个}}_{C类}} {\hat{q个}}_{B类},

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其中出现了一个非惯性项，粒子B在重力势中运动，重力加速度取决于粒子C的加速度。一旦考虑到量子态的变换，就有可能看到（有关详细信息，请参阅方法）系统B的演化就像是均匀引力场的叠加。弱等效原理表明，从以恒定均匀加速度运动的参考系中看到的物理定律与在均匀引力场中看到的定律是无法区分的。我们的结果将这一原理扩展到了恒定和均匀加速度叠加的QRF和均匀重力场叠加的物理定律之间的等价性。

这就完成了我们关于如何将扩展的伽利略变换推广到QRF的讨论。在所有提供的示例中，我们考虑了A和B最初不相互作用的情况。最普遍的情况是，系统A和系统B以一种普遍的相互作用的势演化，这将是未来研究的对象。

这种量化参考系变换的方法允许我们定义到量子系统静止系的变换，例如，从实验室的角度来看，以速度叠加方式运动的系统。这在量子系统内部自由度的研究中具有重要的应用。在方法（应用：量子系统静止框架的概念）中，我们提供了这样一个例子。最后，在方法（从量子参考系看的测量）中，我们展示了测量过程的描述如何随着QRF的变化而变化。

讨论

在这项工作中，我们引入了一种运算形式，从连接到量子粒子的参考系的角度应用量子力学，我们称之为量子参考系。这个参考系有自己的自由度，可以是量子叠加，也可以是纠缠，并根据它们相对于实验室参考系的哈密顿量随时间演化。我们采用一种关系观点，根据这种观点，任何参考系都被描述为相对于另一参考系的量子自由度：因此，实验室参考系是相对于粒子的量子参考系的一个量子系统，就像粒子是相对于实验室系架的量子系统一样。这使得我们可以避免假设存在绝对参照系的“外部”视角。

我们发现了量子参考系之间的变换，并展示了在这些变换下状态、动力学和测量是如何变化的。我们证明了纠缠和叠加的概念是与观测值相关的特征，并且我们在量子参考系中写出了薛定谔方程。此外，我们引入了量子参考系物理定律协方差的广义概念。我们将我们的形式主义应用于参考系通过“平移叠加”和“伽利略助推叠加”相关的情况，并对此类量子参考系的弱等价原理进行了扩展。

这项工作是在伽利略相对论的范围内进行的，但该框架是通用的，可以应用于特殊相对论或一般相对论背景下。这将带来有趣的见解，例如，当没有经典世界线描述作为参考框架的系统的运动时，适当时间的流动。更具体地说，我们的形式主义能够描述情况，比如参考文献中研究的情况。 ^³³–³⁵其中时钟是指具有内部自由度的量子系统在引力场中经典字线的叠加中运动。因此，时钟的内部和外部自由度相互纠缠，因为时钟的正确时间取决于叠加中的世界线。在这些情况下，时钟在其静止框架中测量适当的时间，但目前还没有完整的形式，可以转换为与实验室框架相对应的位置或动量重叠的时钟的静止框架。在目前的工作中，我们已经在低速极限下提供了这个问题的解决方案，以解释动量叠加中原子的Doppler-shift诱导跃迁（参见方法（应用：量子系统静止框架的概念）。我们移动到原子的静止帧，计算该帧中入射光频率的跃迁概率，然后返回到实验室帧。

我们未来工作的另一个方向是将其应用于未来的实验，特别是那些能够测试相关变量的实验，例如参考文献中的技术。 ^{³⁶–³⁹}以及那些涉及“宏观”系统（例如纳米机械振荡器）的系统，它们可以发挥“大”量子参考系的作用，类似于参考文献中考虑的情况。^²⁶这些系统的实验可以揭示低能量子引力的一些概念性问题，例如与时空量子涨落或大质量叠加有关的问题。

研究允许观测者与其他系统叠加或纠缠是否会导致具有不确定因果结构的场景，如参考文献中的场景，也是很有意思的^⁴⁰在这种情况下，至少在一般情况下，无法强加全球时间顺序，但观察者处于明确的位置。我们对量子参考系的形式主义可以被视为这项工作的双重图景：虽然仍然可以找到全局时间顺序，但至少在伽利略相对论的情况下，观测者是不局部化的。

方法

量子参考系之间的平移

我们首先考虑这样一种情况，即我们改变到由量子系统A在特定时刻的位置所描述的参考坐标系 $τ$ ，当A和B的初始哈密顿量为 $Ĥ_{AB公司}^{(C类)} = \frac{{\hat{第页}}_{一}^{2}}{2 米_{一}} + \frac{{\hat{第页}}_{B类}^{2}}{2 米_{B类}}$ 在这种情况下，操作员 ${\hat{X（X）}}_{一} (t吨)$ 概括功能 $X（X） (t吨) = {X（X）}_{0}$ ，使用X（X）₀是一个常量，并采用以下形式 ${\hat{X（X）}}_{一} (t吨) = {e（电子）}^{\frac{我}{ℏ} \frac{{\hat{第页}}_{一}^{2}}{2 米_{一}} τ} {\hat{x个}}_{一} {e（电子）}^{- \frac{我}{ℏ} \frac{{\hat{第页}}_{一}^{2}}{2 米_{一}} τ}$ 和完整运算符 $Ŝ$ 是

Ŝ_{吨} = 经验 (- \frac{我}{ℏ} \frac{{\hat{π}}_{C类}^{2}}{2 米_{C类}} (t吨 - τ)) {\hat{P（P）}}_{自动控制}^{(x个)} 经验 (\frac{我}{ℏ} {\hat{x个}}_{一} {\hat{第页}}_{B类}) 经验 (\frac{我}{ℏ} \frac{{\hat{第页}}_{一}^{2}}{2 米_{一}} (t吨 - τ)),

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哪里 ${\hat{P（P）}}_{自动控制}^{（x）} = {\hat{P（P）}}_{自动控制}$ 在等式中(²)我们引入了这个术语 $经验 (- \frac{我}{ℏ} \frac{{\hat{π}}_{C类}^{2}}{2 米_{C类}} (t吨 - τ))$ 以确保系统A的位置τ转换为系统C的对称位置，即。 $Ŝ_{吨} ({\hat{x个}}_{一} - \frac{{\hat{第页}}_{一}}{米_{一}} (t吨 - τ)) Ŝ_{吨}^{†} = - ({\hat{q个}}_{C类} - \frac{{\hat{π}}_{C类}}{米_{C类}} (t吨 - τ))$ 。请注意，对于t吨 = τ操作员 $Ŝ_{吨}$ 在等式中(¹³)正是操作员 $Ŝ_{x个}$ 在等式中(²). 因此，我们可以解释 $Ŝ_{x个}$ 作为在动力学被“冻结”时执行到量子参考系的平移的操作符τ.由实施的转换 $Ŝ_{吨}$ 是

Ŝ_{吨} {\hat{x个}}_{一} Ŝ_{吨}^{†} = - {\hat{q个}}_{C类} + \frac{{\hat{π}}_{C类}}{米_{C类}} (t吨 - τ) - \frac{{\hat{π}}_{B类} + {\hat{π}}_{C类}}{米_{一}} (t吨 - τ); Ŝ_{吨} {\hat{第页}}_{一} Ŝ_{吨}^{†} = - ({\hat{π}}_{B类} + {\hat{π}}_{C类});

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Ŝ_{吨} {\hat{x个}}_{B类} Ŝ_{吨}^{†} = {\hat{q个}}_{B类} - {\hat{q个}}_{C类} + \frac{{\hat{π}}_{C类}}{米_{C类}} (t吨 - τ); Ŝ_{吨} {\hat{第页}}_{B类} Ŝ_{吨}^{†} = {\hat{π}}_{B类} .

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方程式(¹⁵)意味着当时的位置t吨从C的角度来看，系统B的位置映射到系统B和A在时间上的位置之间的相对位置 $τ$ 而B的动量保持不变。此外，根据方程中给出的定义，这种变换是自由粒子的对称性(⁶)因为哈密顿量 $Ĥ_{AB公司}^{（C）}$ 通过等式映射(⁵)至 $Ĥ_{不列颠哥伦比亚省}^{(一)} = \frac{{\hat{π}}_{B类}^{2}}{2 米_{B类}} + \frac{{\hat{π}}_{C类}^{2}}{2 米_{C类}}$ 因此，转型 $Ŝ_{吨}$ 在等式中(¹³)构成了伽利略平移到量子参考系的推广。在这种情况下，动力守恒量最简单的例子是两个动量 $Ĉ_{1}^{(C类)} = {\hat{第页}}_{一}$ 和 $Ĉ_{2}^{(C类)} = {\hat{第页}}_{B类}$ 。它直接来自等式(¹⁴)和(¹⁵)看看这个选择 $Ĉ_{1}^{(一)} = Ŝ_{吨} Ĉ_{2}^{(C类)} Ŝ_{吨}^{†} = {\hat{π}}_{B类}$ 和 $Ĉ_{2}^{(一)} = - Ŝ_{吨} Ĉ_{1}^{(C类)} Ŝ_{吨}^{†} - Ŝ_{吨} Ĉ_{2}^{(C类)} Ŝ_{吨}^{†} = {\hat{π}}_{C类}$ 导致参考框架A中相应的守恒量。当我们考虑由平移组成的守恒数量的扩展集时，类似的过程适用 ${\hat{第页}}_{我}$ 和伽利略助推器 $Ĝ_{我} = {\hat{第页}}_{我} t吨 - 米_{我} {\hat{x个}}_{我}$ , $我 = A、 B类$ 。请注意 $Ŝ_{吨}$ 运算符满足传递性，这意味着直接将参考框架从C更改为A与首先将参考框架由C更改为B，然后再从B更改为A具有相同的效果，即。 $Ŝ_{吨}^{(C类 \to 一)} = Ŝ_{吨}^{(B类 \to 一)} Ŝ_{吨}^{(C类 \to B类)}$ .

量子参考系之间的提升

我们考虑的第二个例子是参考系随量子系统a的速度移动的变化，从初始观测器C的角度来看，量子系统a被描述为自由粒子。从C的角度看，系统a和系统B的总哈密顿量为 $Ĥ_{AB公司}^{(C类)} = \frac{{\hat{第页}}_{一}^{2}}{2 米_{一}} + \frac{{\hat{第页}}_{B类}^{2}}{2 米_{B类}}$ 。本节概括了通常的伽利略增强 $Û_{b条} = {e（电子）}^{\frac{我}{ℏ} v（v） Ĝ_{B类}}$ ，使用 $Ĝ_{B类} = {\hat{第页}}_{B类} t吨 - 米_{B类} {\hat{x个}}_{B类}$ 在结果（量子参考系之间的转换）中介绍了参考系的速度根据其量子状态分布的情况，它是系统B上的增压发生器。参考公式(⁷)，在这种情况下，我们有 $\frac{d日 {\hat{X（X）}}_{一} (t吨)}{d日 t吨} = \frac{{\hat{第页}}_{一}}{米_{一}}$ 概括参数v（v）在里面 $Û_{b条}$ .我们称之为完全转变 $Ŝ_{b条}$ ，是

Ŝ_{b条} = 经验 (- \frac{我}{ℏ} \frac{{\hat{π}}_{C类}^{2}}{2 米_{C类}} t吨) {\hat{P（P）}}_{自动控制}^{(v（v）)} 经验 (\frac{我}{ℏ} \frac{{\hat{第页}}_{一}}{米_{一}} Ĝ_{B类}) 经验 (\frac{我}{ℏ} \frac{{\hat{第页}}_{一}^{2}}{2 米_{一}} t吨),

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其中“广义奇偶运算符” ${\hat{P（P）}}_{自动控制}^{(v（v）)} = {\hat{P（P）}}_{自动控制} 经验 (\frac{我}{ℏ} 日志 \sqrt{\frac{米_{C类}}{米_{一}}} ({\hat{x个}}_{一} {\hat{第页}}_{一} + {\hat{第页}}_{一} {\hat{x个}}_{一}))$ 通过标准平价交换操作符将A的速度映射到C的速度的相反方向 ${\hat{P（P）}}_{自动控制}$ 以及一个缩放坐标和动量的操作符。明确地， ${\hat{P（P）}}_{自动控制}^{(v（v）)} {\hat{x个}}_{一} {({\hat{P（P）}}_{自动控制}^{(v（v）)})}^{†} = - \frac{米_{C类}}{米_{一}} {\hat{q个}}_{C类}$ , ${\hat{P（P）}}_{自动控制}^{(v（v）)} {\hat{第页}}_{一} {({\hat{P（P）}}_{自动控制}^{(v（v）)})}^{†} = - \frac{米_{一}}{米_{C类}} {\hat{π}}_{C类}$ .此选项 $Ŝ_{b条}$ 确保C参考系中A的速度与A参考系中C的速度相反，即。 $Ŝ_{b条} \frac{{\hat{第页}}_{一}}{米_{一}} Ŝ_{b条}^{†} = - \frac{{\hat{π}}_{C类}}{米_{C类}}$ .坐标和动量转换为

Ŝ_{b条} {\hat{x个}}_{一} Ŝ_{b条}^{†} = - \frac{米_{C类} {\hat{q个}}_{C类} + 米_{B类} {\hat{q个}}_{B类}}{米_{一}} + \frac{{\hat{π}}_{C类} + {\hat{π}}_{B类}}{米_{一}} t吨 - \frac{{\hat{π}}_{C类}}{米_{C类}} t吨, Ŝ_{b条} {\hat{第页}}_{一} Ŝ_{b条}^{†} = - \frac{米_{一}}{米_{C类}} {\hat{π}}_{C类},

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Ŝ_{b条} {\hat{x个}}_{B类} Ŝ_{b条}^{†} = {\hat{q个}}_{B类} - \frac{{\hat{π}}_{C类}}{米_{C类}} t吨, Ŝ_{b条} {\hat{第页}}_{B类} Ŝ_{b条}^{†} = {\hat{π}}_{B类} - \frac{米_{B类}}{米_{C类}} {\hat{π}}_{C类} .

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这种转换与转换类似 $Ŝ_{吨}$ 前面讨论过的，也是自由粒子哈密顿量的对称性，因为它映射了初始哈密顿 $Ĥ_{AB公司}^{(C类)} = \frac{{\hat{第页}}_{一}^{2}}{2 米_{一}} + \frac{{\hat{第页}}_{B类}^{2}}{2 米_{B类}}$ 到新参考系中的哈密顿量 $Ĥ_{不列颠哥伦比亚省}^{(一)} = \frac{{\hat{π}}_{B类}^{2}}{2 米_{B类}} + \frac{{\hat{π}}_{C类}^{2}}{2 米_{C类}}$ 通过等式(⁵). 因此，这构成了量子参考系的伽利略升压变换，它允许定义参考系的系统处于速度叠加状态。

为了说明这一点，我们考虑图5.我们考虑一种状态 ${∣Ψ_{t吨}⟩}_{AB公司} = {e（电子）}^{- \frac{我}{ℏ} Ĥ_{AB公司}^{(C类)} t吨} {∣ϕ_{0}⟩}_{一} {∣ψ_{0}⟩}_{B类}$ ，其中初始状态 $∣ {ϕ_{0} ⟩}_{一} = \int d日 {第页}_{一} ϕ_{0} ({第页}_{一}) ∣ {第页_{一} ⟩}_{一}$ 系统A相对于初始参考坐标系C的动量叠加。我们现在将透视转换为参考坐标系A。参考坐标系的任何简单坐标变换都无法捕捉到这种变化。我们的方法给出了转换的结果 $Ŝ_{b条}$ ，B和C的纠缠态 $Ŝ_{b条} {∣Ψ_{t吨}⟩}_{AB公司} = \int d日 π_{C类} d日 π_{B类} {e（电子）}^{- \frac{我}{ℏ} (\frac{π_{C类}^{2}}{2 米_{C类}} + \frac{π_{B类}^{2}}{2 米_{B类}}) t吨} ϕ_{0} (- \frac{米_{一}}{米_{C类}} π_{C类}) ψ_{0} (π_{B类}) {e（电子）}^{- \frac{我}{ℏ} \frac{π_{C类}}{米_{C类}} Ĝ_{B类}} {∣π_{C类}⟩}_{C类} {∣π_{B类}⟩}_{B类}$ B的状态由A的速度（对应于C的速度的相反方向，给出等式(¹⁸))对于A的叠加态中的每个动量，系统C演化为与A速度相反的自由粒子。

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图5

两个相互增强的量子参考框架中描述的示意图：一C中描述的A和B状态，以及b条B和C的状态如A.In所述一，A和B的状态是乘积状态，A的状态是两个速度的叠加v（v）₁和v（v）₂通过将a的速度应用于“助推叠加”，我们发现，从a看，B和C的状态是纠缠的。特别是，纠缠是这样的，如果C以速度−v（v）_我,我 = 1，2，从A的角度来看，B被−v（v）_我

在自由粒子B处于一般状态的特殊情况下|ψ₀〉_B类参考系A具有定义明确的动量（速度）状态|ϕ₀〉_一 = |第页_一〉_一，转换状态 $Ŝ_{b条} {∣Ψ_{t吨}⟩}_{AB公司} = {e（电子）}^{- \frac{我}{ℏ} \frac{π_{C类}^{2}}{2 米_{C类}} t吨} {∣π_{C类}⟩}_{C类} {e（电子）}^{- \frac{我}{ℏ} \frac{π_{C类}}{米_{C类}} Ĝ_{B类}} ∣ {ψ_{t吨} ⟩}_{B类}$ ，其中|ψ_t吨〉_B类是时间演变的状态 $π_{C类} = - \frac{米_{C类}}{米_{一}} {第页}_{一}$ ，减少到标准的boost转换 $Û_{b条}$ 在参考系的通常描述中，不同的是这里的C是一个自由度，因此是随时间演化的。

通过与前一节中给出的类似推理，可以证明守恒量的集合 ${\hat{第页}}_{一}, {\hat{第页}}_{B类}, Ĝ_{一}, Ĝ_{B类}$ 在参考框架C中被映射到参考框架A中的守恒量集 ${\hat{π}}_{B类}, {\hat{π}}_{C类}, Ĝ_{B类}, Ĝ_{C类}$ 类似于上一小节中的一般翻译，此运算符的选择 $Ŝ_{b条}$ 也满足传递性，即。 $Ŝ_{b条}^{(C类 \to 一)} = Ŝ_{b条}^{(B类 \to 一)} Ŝ_{b条}^{(C类 \to B类)}$ .

请注意，转换的时间无关版本 $Ŝ_{b条}$ 映射到瞬时相对速度，不会保持哈密顿量的不变性。补充说明中讨论了该示例⁴.

量子参考系中的弱等价原理

在本节中，我们将弱等价原理推广到量子参考系。通过这一点，我们的意思是，从一个在均匀引力场叠加中运动的参照系中所看到的物理效应与从加速度叠加系统中所看到之物理效应是无法区分的。为了实现加速度的叠加，让我们考虑图6其中两个粒子A和B根据哈密顿量随时间演化

Ĥ_{AB公司}^{(C类)} = Ĥ_{一} + Ĥ_{B类} = \frac{{\hat{第页}}_{一}^{2}}{2 米_{一}} + \frac{{\hat{第页}}_{B类}^{2}}{2 米_{B类}} + V（V） ({\hat{x个}}_{一})

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在观测器C的参考坐标系中。

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图6

量子参考系弱等效原理的推广。量子系统A最初是分段线性势中两个局域波幅的叠加 $V（V） ({\hat{x个}}_{一})$ 从另一个系统C的角度来看，单个波幅位于对应于两个不同电位梯度的空间区间。系统B演变为自由粒子。如果我们考虑运动足够短的时间，使两个振幅保持在相应的间隔内，系统A的演化就好像是加速度的叠加 $一_{1}$ 和 $一_{2}$ 然后，我们可以通过应用对应于“加速度叠加”的变换，将视角转向A的加速参考系，并描述量子系统A如何看待量子系统B和C及其演化。变换后，系统B的演化就像是在线性引力势的叠加中运动一样，其中的引力加速度是这样的 ${\vec{克}}_{我} = - {\vec{一}}_{我}$ ，其中 $我 = 1, 2$ 这意味着加速度叠加的影响与引力场叠加的影响无法区分

为了进一步分析，我们现在将考虑 $V（V） ({\hat{x个}}_{一})$ 分段线性，粒子A随时间演化t吨作为波幅的叠加，每个波幅都位于对应于恒定但不同的势梯度的区间内。对于具体性，考虑两个振幅的叠加， ${∣ψ_{0} (t吨)⟩}_{一} = \frac{1}{\sqrt{2}} ({∣ψ_{1} (t吨)⟩}_{一} + {∣ψ_{2} (t吨)⟩}_{一})$ （参见图7). 然后状态是加速度的叠加，即应用于状态的“加速度运算符”给出：

- \frac{1}{米_{一}} \frac{d日 V（V） ({\hat{x个}}_{一})}{d日 {\hat{x个}}_{一}} {∣ψ_{0} (t吨)⟩}_{一} \approx \frac{1}{\sqrt{2}} (一_{1} {∣ψ_{1} (t吨)⟩}_{一} + 一_{2} {∣ψ_{2} (t吨)⟩}_{一}),

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哪里 $一_{1} = - \frac{1}{米_{一}} \frac{d日 V（V） ({\hat{x个}}_{一})}{d日 {\hat{x个}}_{一}} ∣_{\begin{matrix} {x个}_{1} (t吨) \end{matrix}}$ 和 $一_{2} = - \frac{1}{米_{一}} \frac{d日 V（V） ({\hat{x个}}_{一})}{d日 {\hat{x个}}_{一}} ∣_{\begin{matrix} {x个}_{2} (t吨) \end{matrix}}$ ，其中x个₁(t吨)和x个₂(t吨)是单个局部振幅的位置运算符的平均值。注意标量加速度一₁和一₂以及标量位置x个₁(t吨)和x个₂(t吨)应该理解为乘以恒等运算符。

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图7

表示粒子A在加速度叠加下有效运动的条件。粒子A的状态和分段线性势 $V（V） ({\hat{x个}}_{一})$ 表示初始时间0和时间t吨在两个不同的黄色平面上。在初始时刻，在背景中，状态被选择为两个相干（高斯）态的叠加x个₁，具有宽度 $2 σ_{1}$ 、和x个₂，具有宽度 $2 σ_{2}$ 单个状态位于对应于恒定但不同的电位梯度的空间区间内。在时间演化中，两个局部化状态中的每一个都以某一点为中心移动了 $δ {x个}_{我}$ , $我 = 1, 2$ 和波包扩散。对于它们中的每一个，可以确定一个最大时间，使得叠加中的单个局域态仍然保持在电位梯度恒定的区域。到目前为止，A以加速度的叠加形式发展

为了找到操作符的通用版本 $Û_{一}$ ，在结果（量子参考系之间的转换）中进行了讨论，并在补充说明中进行了详细说明¹，得到一个类似于等式中的表达式(⁷)，我们需要位置运算符的时间导数 ${\hat{x个}}_{一}$ 时间t吨为了计算进化的位置算子，我们为 ${\hat{x个}}_{一} (t吨) = {e（电子）}^{\frac{我}{ℏ} Ĥ_{一} t吨} {\hat{x个}}_{一} {e（电子）}^{- \frac{我}{ℏ} Ĥ_{一} t吨}$ :

{\hat{x个}}_{一} (t吨) = {\hat{x个}}_{一} + \frac{{\hat{第页}}_{一}}{米_{一}} t吨 - \frac{1}{2} \frac{1}{米_{一}} \frac{d日 V（V） ({\hat{x个}}_{一})}{d日 {\hat{x个}}_{一}} {t吨}^{2} .

21

从这个表达式中，我们得出了 ${\hat{X（X）}}_{一} (t吨) = {\hat{x个}}_{一} (t吨) - {\hat{x个}}_{一}$ ，它描述了A位置相对于初始位置的时间变化，并替换了该功能X（X）(t吨)在扩展的伽利略变换中 $Û_{一}$ .

遵循方程式(⁷)、整体转型 $Ŝ_{欧洲药典}$ 读取

Ŝ_{欧洲药典} = {e（电子）}^{- \frac{我}{ℏ} (\frac{{\hat{π}}_{C类}^{2}}{2 米_{C类}} + \frac{米_{C类}}{米_{一}} V（V） (- {\hat{q个}}_{C类})) t吨} {\hat{P（P）}}_{自动控制}^{（v）} {\hat{问}}_{t吨} {e（电子）}^{\frac{我}{ℏ} (\frac{{\hat{第页}}_{一}^{2}}{2 米_{一}} + V（V） ({\hat{x个}}_{一})) t吨},

22

其中操作员 ${\hat{P（P）}}_{自动控制}^{（v）}$ 定义如下公式(¹⁶)和操作员 ${\hat{问}}_{t吨}$ 定义为

{\hat{问}}_{t吨} = {e（电子）}^{- \frac{我}{ℏ} \frac{米_{B类}}{米_{一}} ({\hat{第页}}_{一} - \frac{d日 V（V） ({\hat{x个}}_{一})}{d日 {\hat{x个}}_{一}} t吨) {\hat{x个}}_{B类}} {e（电子）}^{\frac{我}{ℏ} ({\hat{第页}}_{一} - \frac{1}{2} \frac{d日 V（V） ({\hat{x个}}_{一})}{d日 {\hat{x个}}_{一}} t吨) \frac{{\hat{第页}}_{B类}}{米_{一}} t吨} {e（电子）}^{- \frac{我}{ℏ} \frac{米_{B类}}{2 米_{一}^{2}} \int_{0}^{t吨} d日 秒 {({\hat{第页}}_{一} - \frac{d日 V（V） ({\hat{x个}}_{一})}{d日 {\hat{x个}}_{一}} 秒)}^{2}}

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并表示运算符的直接扩展 $Û_{一}$ 。请注意 $⟨\frac{{d日}^{2} {\hat{x个}}_{一}}{d日 {t吨}^{2}}⟩ = - ⟨\frac{{d日}^{2} {\hat{q个}}_{C类}}{d日 {t吨}^{2}}⟩$ .使用等式中的变换(²²)，从A的角度来看，新的哈密顿量是

Ĥ_{不列颠哥伦比亚省}^{(一)} = \frac{{\hat{π}}_{B类}^{2}}{2 米_{B类}} + \frac{{\hat{π}}_{C类}^{2}}{2 米_{C类}} + \frac{米_{C类}}{米_{一}} V（V） (- {\hat{q个}}_{C类}) - \frac{米_{B类}}{米_{一}} \frac{d日 V（V）}{d日 {\hat{x个}}_{一}} ∣_{- {\hat{q个}}_{C类}} {\hat{q个}}_{B类} .

24

根据方程式(²⁴)，我们可以看到B在一个电势中演化，该电势由该位置处电势的一阶导数决定 $- {\hat{q个}}_{C类}$ ，而C在由 $\frac{米_{C类}}{米_{一}} V（V） (- {\hat{q个}}_{C类})$ 以及涉及其导数的相互作用项。因此，量子系统B在A的参照系中运动，就好像它处于线性引力势中，引力加速度是一个算符 $ĝ = 1 ∕ 米_{一} d日 V（V） ({\hat{x个}}_{一}) ∕ d日 {\hat{x个}}_{一} ∣_{- {\hat{q个}}_{C类}}$ 这是QRF中弱等价原理的一个公式。

作为示例，我们现在将应用 $Ŝ_{欧洲药典}$ 关于任意状态 $∣ ϕ {(t吨) ⟩}_{B类}$ B和一个州 $∣ ψ {(t吨) ⟩}_{一}$ 对于A，我们假设两个局部化波幅最初准备为具有明确位置的非重叠相干态（即最小不确定性波片） ${x个}_{我} (0)$ 和动量 ${第页}_{我} (0)$ , $我 = 1, 2$ .我们对A的状态进行时间演化t吨这样两个振幅仍有明确的位置 ${x个}_{我} (t吨)$ 和动量 ${第页}_{我} (t吨)$ ，其中当时的动量t吨计算方法类似于 ${\hat{x个}}_{一} (t吨)$ ，即。 ${\hat{第页}}_{一} (t吨) = {\hat{第页}}_{一} - \frac{d日 V（V） ({\hat{x个}}_{一})}{d日 {\hat{x个}}_{一}} t吨$ 。我们将每个振幅的状态表示为 $∣ α_{我} (t吨) ⟩$ ，使用 $我 = 1, 2$ 因此，我们获得

Ŝ_{欧洲药典} \frac{1}{\sqrt{2}} (∣ α_{1} {(t吨) ⟩}_{一} + ∣ α_{2} {(t吨) ⟩}_{一}) ∣ {ϕ ⟩}_{B类} = \frac{1}{\sqrt{2}} (∣ α_{1}' {(t吨) ⟩}_{C类} 问_{t吨}^{1} ∣ ϕ {(t吨) ⟩}_{B类} + ∣ α_{2}' {(t吨) ⟩}_{C类} 问_{t吨}^{2} ∣ ϕ {(t吨) ⟩}_{B类}),

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其中变换后的相干态|α′_我(t吨)〉_C类居中 $(- \frac{米_{一}}{米_{C类}} {x个}_{我} (t吨), - \frac{米_{C类}}{米_{一}} {第页}_{我} (t吨))$ 和 $问_{t吨}^{我} = {e（电子）}^{- \frac{我}{ℏ} \frac{米_{B类}}{米_{一}} ({第页}_{我} - 米_{一} 一_{我} t吨) {\hat{x个}}_{B类}} {e（电子）}^{\frac{我}{ℏ} (\frac{{第页}_{我} t吨}{米_{一}} - \frac{一_{我} {t吨}^{2}}{2}) {\hat{第页}}_{B类}} {e（电子）}^{- \frac{我}{ℏ} \frac{米_{B类}}{2 米_{一}^{2}} \int_{0}^{t吨} d日秒 {({第页}_{我} - 米_{一} 一_{我} 秒)}^{2}}$ 从A的角度来看，B是在重力加速度的叠加中演化的，重力加速度由C的状态控制。

我们的结论是，当参考系是加速度叠加的量子粒子时，我们具有弱等效原理的一般形式。这一分析可以扩展到一般潜力 $V（V） ({\hat{x个}}_{一})$ 作用于无穷小的时间，如我们在补充说明中所示⁵.

将弱等效原理扩展到量子参考系中，为在实验中测试该框架提供了良好的机会。一般来说，验证本节预测的合适技术是测量相对自由度，例如参考文献中所做的。 ^{³⁶–³⁹}然而，关于如何做到这一点的具体建议超出了本工作的范围。

如果电势在整个空间中是线性的，则可以恢复弱等价原理的通常概念，即。 $V（V） ({\hat{x个}}_{一}) = 米_{一} 一 {\hat{x个}}_{一}$ 参考框架位移的一般形式为 ${\hat{X（X）}}_{B类} (t吨) = \frac{{\hat{第页}}_{B类}}{米_{一}} t吨 - \frac{一 {t吨}^{2}}{2}$ 和操作员 $Ŝ_{欧洲药典}$ 类似于等式(²²)带有 ${\hat{问}}_{t吨} = {e（电子）}^{- \frac{我}{ℏ} 米_{B类} {\dot{\hat{X（X）}}}_{一} (t吨) {\hat{x个}}_{B类}} {e（电子）}^{\frac{我}{ℏ} \hat{X（X）} (t吨) {\hat{第页}}_{B类}} {e（电子）}^{- \frac{1}{ℏ} \frac{米_{B类}}{2}} \int_{0}^{t吨} d日秒 \dot{\hat{X（X）}} \binom{2}{一} (秒)$ ，其中 ${\hat{X（X）}}_{一} (t吨)$ 之前已定义，点表示时间导数。初始哈密顿量 $Ĥ_{AB公司}^{(C类)}$ 在等式中(¹⁹)被转换为

Ĥ_{不列颠哥伦比亚省}^{(一)} = \frac{{\hat{π}}_{B类}^{2}}{2 米_{B类}} + \frac{{\hat{π}}_{C类}^{2}}{2 米_{C类}} - 米_{C类} 一 {\hat{q个}}_{C类} - 米_{B类} 一 {\hat{q个}}_{B类} .

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这一结果表明，如果参考系被视为具有自身动力学的量子系统（因此可以去定域），则弱等效原理也适用。

应用：量子系统静止框架的概念

在本节中，我们将展示从初始实验室框架的角度来看，当系统处于动量叠加状态时，我们的形式主义如何使我们能够定义静止框架的概念。系统的静止框架是指系统处于静止状态的参照系。物理定律在静止框架中通常采用简单形式；例如，静止框架哈密顿量给出了内部自由度的动力学（例如自旋）。因此，了解如何绘制其余部分和实验室参考框架中的描述是很有用的。只要系统沿着经典轨迹运动，并且不被视为动态自由度，则可以通过两个参考系之间的坐标变换来实现映射。然而，在量子力学中，系统可以在经典轨迹的叠加中演化。我们如何“移动”到一个粒子的静止坐标系，这个粒子相对于实验室参考坐标系的动量叠加？在这里，通过一个明确的例子，我们展示了当半经典近似失败时，如何利用我们的形式主义来恢复量子系统静止框架的概念。

我们考虑图中所示的情况8从实验室参考坐标系（C）看，原子与其外部（A）和内部（Ã）自由度与光子（B）相互作用。我们假设内部自由度是两能级系统的内能状态。我们想找出光子与不同参照系中原子的内能级共振的条件。更准确地说，我们希望找到原子和光子的状态，以便在原子在实验室参考系中没有明确定义动量的情况下，使跃迁概率最大化。我们知道，当光子源（从实验室参考系的角度来看，光子源处于静止状态）和接收器（即原子）相互相对运动时，在发射器和接收器之间的相对速度较小的极限内，频率根据 $ω_{B类}^{'} = ω_{B类} (1 + \frac{v（v）}{c（c）})$ ，其中ω_B类, $ω_{B类}^{'}$ 分别是光子的发射频率和接收频率，v（v）是发射器和接收器之间的相对速度，以及c（c）是光在介质中的速度。

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图8

转换到量子系统的静止框架。光子B与原子内部自由度Ã之间的相互作用一原子A本身的静止框架b条实验室C。我们考虑原子在实验室参考系中没有急速动量的情况，并计算出我们必须准备的光子和原子的哪种状态，以最大化吸收光子的概率。在rest参考框架中对情况的描述最简单(一). 如果光子具有光谱频率 $ω_{B类} = \frac{Δ E类}{ℏ}$ 对应于原子的能隙，概率最大化。为了便于说明，实验室的状态被描述为围绕速度-v（v）₁和−v（v）₂从C的角度来看，这种情况描述如下b条其中光子的状态和原子的外部自由度相互纠缠。对于每个速度 ${v（v）}_{我}$ , $我 = 1, 2$ 对于原子A，光子的频率是Doppler-shift，如下所示： $ω_{B类我} = ω_{B类} (1 - \frac{{v（v）}_{我}}{c（c）})$ 对于 $我 = 1, 2$ .频率测量 ${\hat{ω}}_{B类}$ 在A的参考框架中，对应于可观测值的测量 ${\hat{ω}}_{B类} (1 + \frac{{\hat{第页}}_{一}}{c（c）米_{一}})$ 在实验室参考框架中（见下一节）。这确保了如果发现光子被其RF中的原子吸收（“检测”），那么它将在实验室RF中

在A的静止帧中，光子吸收的条件最简单。假设在此帧中，整个状态如下所示 $∣ {ψ_{t吨} ⟩}_{C类} ∣ 1, {ω_{B类} ⟩}_{B类} ∣ {克 ⟩}_{\tilde{一}}$ 这里是实验室当时的状态t吨是 $∣ {ψ_{t吨} ⟩}_{C类} = \int d日 π_{C类} {e（电子）}^{- \frac{我}{ℏ} \frac{π_{C类}^{2}}{2 米_{C类}} t吨} ψ (- \frac{米_{一}}{米_{C类}} π_{C类}) ∣ {π_{C类} ⟩}_{C类}$ （这与实验室参考坐标系C中原子A的动量分布有关）， $∣ {克 ⟩}_{\tilde{一}}$ 是原子内部自由度的基态 $∣ 1, {ω_{B类} ⟩}_{B类}$ 是B的单光子态，频率为 $ω_{B类} = \frac{Δ E类}{ℏ}$ ，其中 $Δ E类$ 是基态和内能激发态之间的能隙。静止框架中的哈密顿量取 $Ĥ_{\tilde{一} 不列颠哥伦比亚省}^{(一)} = \frac{{\hat{π}}_{C类}^{2}}{2 米_{C类}} + ℏ {\hat{ω}}_{B类} + Ĥ_{\tilde{一}}$ ，其中 $ℏ {\hat{ω}}_{B类}$ 是单粒子扇区中的简化光子哈密顿量。在这里，我们提高了频率 $ω_{B类}$ 因为多普勒效应引起的频移改变了光子状态的模式，但使粒子的数量保持不变。对哈密顿量的更完整描述将涉及生成和湮灭算符，但我们在这里省略了它，因为它不会影响我们的结果。频率操作员 ${\hat{ω}}_{B类}$ 作用于单光子希尔伯特空间，如下所示 $ℏ {\hat{ω}}_{B类} ∣ {ω_{B类} ⟩}_{B类} = ℏ ω_{B类} ∣ {ω_{B类} ⟩}_{B类}$ 动量和频率之间的通常关系成立，即。 $ℏ ω_{B类} = c（c） ∣ π_{B类} ∣$ 最后， $Ĥ_{\tilde{一}} = {E类}_{克} ∣ {克 ⟩}_{\tilde{一}} ⟨ 克 ∣ + {E类}_{e（电子）} ∣ {e（电子） ⟩}_{\tilde{一}} ⟨ e（电子） ∣$ 是内自由度的哈密顿量 ${E类}_{e（电子）} - {E类}_{克} = Δ E类$ .

为了改变参考系，我们在a和C之间应用升压变换，以及在光子上产生多普勒频移的变换。总的来说，我们获得了

Ŝ_{D类} = {e（电子）}^{- \frac{我}{ℏ} \frac{{\hat{第页}}_{一}^{2}}{2 米_{一}} t吨} {\hat{P（P）}}_{加利福尼亚州}^{（v）} {\hat{R（右）}}_{{（f）}_{C类} ({\hat{π}}_{C类})}^{B类} {e（电子）}^{\frac{我}{ℏ} \frac{{\hat{π}}_{C类}^{2}}{2 米_{C类}} t吨},

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其中操作员 ${\hat{P（P）}}_{加利福尼亚州}^{（v）}$ 是的伴随词 ${\hat{P（P）}}_{自动控制}^{（v）}$ 在公式(¹⁶)，即。 ${\hat{P（P）}}_{加利福尼亚州}^{（v）} = {({\hat{P（P）}}_{自动控制}^{（v）})}^{†}$ 、和 ${\hat{R（右）}}_{{（f）}_{C类} ({\hat{π}}_{C类})}^{B类} = 经验 (\frac{我}{ℏ} 日志 \sqrt{{（f）}_{C类} ({\hat{π}}_{C类})} ({\hat{q个}}_{B类} {\hat{π}}_{B类} + {\hat{π}}_{B类} {\hat{q个}}_{B类}))$ ，使用 ${（f）}_{C类} ({\hat{π}}_{C类}) = 1 + \frac{{\hat{π}}_{C类}}{c（c）米_{C类}}$ 具体而言，操作员 ${\hat{R（右）}}_{{（f）}_{C类} ({\hat{π}}_{C类})}^{B类}$ 表示光子的多普勒频移。最后，A和C的空间自由度之间的变换是等式中的boost变换(¹⁶). 我们获得

Ŝ_{D类} {\hat{π}}_{C类} Ŝ_{D类}^{†} = - \frac{米_{一}}{米_{C类}} {\hat{第页}}_{一}; Ŝ_{D类} {\hat{π}}_{B类} Ŝ_{D类}^{†} = (1 + \frac{{\hat{第页}}_{一}}{米_{一} c（c）}) {\hat{第页}}_{B类} .

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将此变换应用于哈密顿量 $Ĥ_{\tilde{一} 不列颠哥伦比亚省}^{(一)}$ 产量

Ĥ_{一 \tilde{一} B类}^{（C）} = \frac{{\hat{第页}}_{一}^{2}}{2 米_{一}} + Ĥ_{\tilde{一}'} + ℏ {\hat{ω}}_{B类} (1 + \frac{{\hat{第页}}_{一}}{米_{一} c（c）}),

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哪里 ${\hat{ω}}_{B类} = \frac{c（c）}{ℏ} ∣ {\hat{第页}}_{B类} ∣$ 从实验室C的角度来看，哈密顿量使原子A的动量与光子的频率纠缠，而内部自由度不变。原子的联合系统及其内外自由度和光子的状态为

∣ {Ψ ⟩}_{一 \tilde{一} B类}^{（C）} \propto \int d日 {第页}_{一} {e（电子）}^{- \frac{我}{ℏ} \frac{{第页}_{一}^{2}}{2 米_{一}} t吨} ψ ({第页}_{一}) ∣ {第页_{一} ⟩}_{一} ∣ 1, ω_{B类} {(1 - \frac{{第页}_{一}}{米_{一} c（c）}) ⟩}_{B类} ∣ {克 ⟩}_{\tilde{一}} .

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国家(³⁰)是必须在实验室参考框架中准备的，以使吸收概率最大化。我们看到光子B的频率被多普勒频移了一个取决于原子A的速度的量。在下一节中，我们表明，通过将参考框A中的观测值映射到参考框C中的观测结果，光子的吸收在两个参考框中都得到了一致的预测，也就是说，如果光子在A的参考系中被检测到，那么它将在C的参考系内。

从量子参考系看的测量

在本节中，我们分析了一个QRF中执行的测量程序与另一个QRF-中的测量程序的相似性。我们假设参考系C中的观测器对量子系统a和B进行测量。参考系a中的观察器如何描述这一过程？请注意，该程序通常还包括在a自身的参考框架上进行测量。这种情况与Wigner-friend场景不同，在这种场景中，一个观察者（朋友）执行测量，而另一个（Wigner）认为过程是单一的^²⁴,⁴¹在本例中，两位观察者都同意进行测量，但正如我们将看到的那样，他们可能对执行的系统和测量有不同的看法。

考虑到在C的参照系中可以观察到 $Ô_{AB公司}^{（C）}$ 已测量。在A的参考框架中转换的可观测值为 $Ô_{不列颠哥伦比亚省}^{(一)} = Ŝ Ô_{AB公司}^{(C类)} Ŝ^{†}$ ，其中 $Ŝ$ 是一个通用运算符，用于实现从C的参考框架到a的参考框架的转换。使用轨迹的周期性，可以立即验证

⟨ Ô_{AB公司}^{(C类)} ⟩ = {Tr公司}_{AB公司} ({\hat{ρ}}_{AB公司}^{(C类)} Ô_{AB公司}^{(C类)}) = {Tr公司}_{不列颠哥伦比亚省} ({\hat{ρ}}_{不列颠哥伦比亚省}^{（A）} Ô_{不列颠哥伦比亚省}^{(一)}) = ⟨ Ô_{不列颠哥伦比亚省}^{(一)} ⟩,

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哪里 ${\hat{ρ}}_{不列颠哥伦比亚省}^{(一)}$ 是B和C相对于A的量子态。使用算符的显式示例 $Ŝ_{x个}$ 在等式中(²)，是位置运算符的测量值 ${\hat{q个}}_{B类}$ 量子系统B在A的参考系中的测量值，相当于 ${\hat{x个}}_{B类} - {\hat{x个}}_{一}$ 在C的参照系中。

为了使这些陈述更加具体，我们采用了一种测量方案（例如，请参见^⁴²)并检查当我们改变参考坐标系时，测量过程是如何变换的。图中描述了C和A参考坐标系中的测量程序9测量方案包括添加一个辅助系统，该系统由状态中的指针组成 $ξ_{E类} \in {H（H）}_{E类}^{(C类)}$ 和状态下测量仪器的外部（位置）自由度 $σ_{M（M）} \in {H（H）}_{M（M）}^{(C类)}$ .可观测值的测量 $Ô_{AB公司}^{(C类)}$ 论量子系统 ${\hat{ρ}}_{AB公司}^{(C类)}$ 然后可以描述为指针和量子系统之间的相互作用，然后是指针在希尔伯特空间中的投影。测量结果的概率b条^*是

第页 ({b条}^{*}) = {Tr公司}_{AB公司} [{\hat{ρ}}_{AB公司}^{(C类)} Ô_{AB公司}^{(C类)} ({b条}^{*})] = {Tr公司}_{ABEM公司} [C类 ({\hat{ρ}}_{AB公司}^{(C类)} \otimes ξ_{E类}) \otimes σ_{M（M）} (1_{反导} \otimes {\hat{F类}}_{E类} ({b条}^{*}))],

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哪里 $C类$ 是一个幺正信道，将来自a和B的希尔伯特空间的状态与指针E的状态缠绕在一起，并且 ${\hat{F类}}_{E类}$ 投影仪开着吗 ${H（H）}_{E类}^{(C类)}$ .

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图9

量子参考系中的测量。从C的角度看的测量程序一，和A的，inb条.英寸一C准备一个辅助系统，由仪器M和指针E的位置自由度组成。辅助系统与量子系统a和B相互作用。随后，指针状态的投影测量给出了结果。在b条，A将初始状态描述为B、C和M的纠缠状态。然后指针E与系统B和C相互作用。最后，测量系统E。测量概率与C参考框架中的测量概率相同

我们衡量结果b条^*作为 ${\hat{O（运行）}}_{AB公司}^{(C类)} ({b条}^{*}) = {∣{b条}^{*}⟩}_{AB公司} ⟨{b条}^{*}∣$ 那么，如果我们选择 ${\hat{F类}}_{E类} ({b条}^{*}) = {∣{b条}^{*}⟩}_{E类} ⟨{b条}^{*}∣$ , $ξ_{E类}$ 这样的话 ${∣ξ_{E类} ({x个}_{E类})∣}^{2} = δ ({x个}_{E类})$ 和

C类 ({\hat{ρ}}_{AB公司}^{(C类)} \otimes ∣ {ξ_{E类} ⟩}_{E类} ⟨ ξ_{E类} ∣) = {C类}_{ABE公司} ({\hat{ρ}}_{AB公司}^{(C类)} \otimes ∣ {ξ_{E类} ⟩}_{E类} ⟨ ξ_{E类} ∣) {C类}_{亚伯}^{†},

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哪里 ${C类}_{ABE公司} = 经验 (- \frac{我}{ℏ} Ô_{AB公司}^{(C类)} {\hat{第页}}_{E类})$ ，条件(³²)对所有人都满意 ${\hat{ρ}}_{AB公司}^{(C类)}$ 。请注意 ${\hat{x个}}_{E类}$ 和 ${\hat{第页}}_{E类}$ 我们指的是指针在仪器内部自由度的某个抽象空间中的位置，而不是测量仪器在空间中的实际位置（相对于C）。

现在我们从A的角度来描述。对于具体性，我们认为参考C和A的两个框架之间的转换是等式中的映射(²); 形式主义可以直接推广到其他地图。考虑到附件的自由度，对地图进行了修改，以包括测量装置的外部自由度，即。， $Ŝ_{x、 M（M）} = {\hat{P（P）}}_{自动控制} {e（电子）}^{\frac{我}{ℏ} {\hat{x个}}_{一} ({\hat{第页}}_{B类} + {\hat{第页}}_{M（M）})}$ ，而指针的自由度被视为平移不变量，因此不进行变换。根据A的参考框架，测量过程为

第页 ({b条}^{*}) = {Tr公司}_{BCEM公司} [{C类}_{BCEM公司}^{(一)} ({\hat{ρ}}_{车身控制模块}^{(一)} \otimes ξ_{E类}) {({C类}_{BCEM公司}^{(一)})}^{†} (1_{车身控制模块} \otimes {\hat{F类}}_{E类} ({b条}^{*}))],

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州在哪里 ${\hat{ρ}}_{车身控制模块}^{(一)} = Ŝ_{x、 M（M）} ({\hat{ρ}}_{AB公司}^{(C类)} \otimes σ_{M（M）}) Ŝ_{x、 M（M）}^{†}$ 与测量设备的外部自由度纠缠，并且 ${C类}_{BCEM公司}^{(一)} = Ŝ_{x、 M（M）} {C类}_{ABE公司} Ŝ_{x、 M（M）}^{†} = 经验 (- \frac{我}{ℏ} Ô_{不列颠哥伦比亚省}^{(一)} {\hat{第页}}_{E类})$ 我们看到，参考框架C和A中的两个观测者在测量哪些系统和测量哪些观测值方面存在分歧。对于观测器C，系统A和B是在辅助E的帮助下测量的，辅助E的内部和外部自由度最初处于因子分解的状态。对于观测器A，系统B和C是通过外部（而非内部）自由度最初与C纠缠的辅助装置来测量的。因此，C的测量模型被转换为A的测量模型。

请注意，刚才考虑的测量程序与A在参考坐标系中进行测量不同。在前面的段落中，当我们将参考框架从C改为A时，我们仍然从A的角度描述了C进行的测量。显然，A可以应用与C相同的测量程序，其可观测值在参考框架中定义 $Ô^{(一)}$ .

作为这种情况的一个具体例子，我们考虑上一节中的原子-光子相互作用。我们做了如下鉴定：原子的外部自由度是系统A，光子是系统B，原子的内部自由度是ancilla E，最后实验室是系统C。我们认为A通过光子内部能级从基态到激发态的跃迁来“测量”光子的频率。只有当光子的频率与原子的能隙相匹配时，才会发生这种跃迁。在光子频率为Doppler-shift的实验室参考系中，这种情况是如何写成的？

在原子A的静止帧中，通道 ${C类}_{B类 \tilde{一}}^{（A）} (\cdot) = {C类}_{B类 \tilde{一}}^{（A）} (\cdot) {C类}_{B类 \tilde{一}}^{（A） †}$ 将B的希尔伯特空间的状态与Ã的状态纠缠在一起是这样的 ${C类}_{B类 \tilde{一}}^{（A）} = ∣ {e（电子） ⟩}_{\tilde{一}} ⟨ 克 ∣ \otimes ∣ 0, {ω ⟩}_{B类} ⟨ 1, ω ∣ + 小时 . c（c） .$ ，以及项目或 ${\hat{F类}}_{\tilde{一}}^{（A）} = ∣ {e（电子） ⟩}_{\tilde{一}} ⟨ e（电子） ∣$ .通过应用更改为实验室框架C $Ŝ_{D类}$ 等式中的运算符(²⁷)，缠绕通道变为 ${C类}_{AB公司 \tilde{一}}^{（C）} = 1_{一} \otimes ∣ {e（电子） ⟩}_{\tilde{一}} ⟨ 克 ∣ \otimes {\hat{R（右）}}_{{（f）}_{一} (- {\hat{第页}}_{一})}^{B类} ∣ 0, {ω ⟩}_{B类} ⟨ 1, ω ∣ {\hat{R（右）}}_{{（f）}_{一} (- {\hat{第页}}_{一})}^{B类 †} + 小时 . c（c） .$ ，使用 ${（f）}_{一} (- {\hat{第页}}_{一}) = 1 - \frac{{\hat{第页}}_{一}}{c（c）米_{一}}$ ，而投影仪不变，即。 ${\hat{F类}}_{\tilde{一}}^{(一)} = {\hat{F类}}_{\tilde{一}}^{(C类)}$ 这通过构造确保了光子在参考坐标系A和C中被吸收的概率相同。在两个参考坐标系中测量的可观测值发生了什么变化：在静止坐标系A中测量频率 ${\hat{ω}}_{B类}$ 而在实验室框架中，测量涉及原子和光子的外部自由度。在这种情况下，可观察到的是 $(1 + \frac{{\hat{第页}}_{一}}{c（c）米_{一}}) {\hat{ω}}_{B类}$ .

量子参考系以往方法的比较

在本节中，我们比较了量子参考系主题的不同方法，强调了与我们的方法的异同。

从Aharonov和Susskind的开创性论文开始，关于QRF的主题已经做了很多工作^¹,²阿哈罗诺夫和考弗^{^三}.参考文献。 ^¹,²作者在超级选举规则与缺乏参照系之间建立了联系。然后，作者通过一些例子对超选规则的存在提出了质疑，其中超选规则可以通过引入与系统相关的参考框架来克服。参考文献中描述了这方面最简单的例子^⁴结果表明，如果两个观测者不共享有关其相对相位的信息，这意味着光子数的超选规则。通过引入适当的量子参考系，可以克服这种超选择规则，该参考系与系统纠缠，使得总光子数守恒。参考文献^{^三}研究表明，在不求助于经典参考系的情况下，可以连贯地表述量子理论，使其成为具有无限质量的本地化实验室。

参考文献认为QRF是量子信息协议和量子通信的资源。 ^⁴–¹²这些工作主要集中在（a）量子信息任务缺乏共享参考框架的后果，（b）通过选择合适的量子系统作为参考框架可以克服超选规则这一事实的概括，以及（c）“有界”参考框架。这意味着，在系统从a发送到B的量子通信协议中，最终参考帧仅具有有限的或没有关于初始参考帧的信息。为了避免这个问题，大多数方法都采用关系自由度中的量子信息编码（参见，例如参考文献。^⁵). 用于实现此编码的工具是 $G公司$ -旋转操作，包括外部参照系对称组的平均值G公司此操作包括表示所研究系统的量子状态，ρ，在某种程度上不包含任何有关外部参照系的信息。这个 $G公司$ -旋转操作在数学上表示为 $G公司 (ρ) = \int d日 μ (克) U型 (克) ρ {U型}^{†} (克)$ ，其中 $U型 (克)$ 是群元素的幺正表示 $克 \in G公司$ 、和 $μ (克)$ 是组内变量度量。这种方法与我们的工作在方法上有一些相似之处，例如关系自由度的相关性；然而，存在一些重要的差异。首先，我们不假设存在外部参照系，其自由度需要平均。这意味着，与前面提到的其他方法不同，我们不需要应用技术，例如 $G公司$ -旋转，为了找到关系量，因为我们的形式主义从一开始就是真正的关系。第二，我们没有在缺乏共同参考框架的情况下解决沟通问题。最后，我们假设初始参考系和最终参考系之间的关系已知，因此总是通过幺正变换给出。此外，我们的方法中的参考系是无界的；它们允许以任意精度将量子态分配给所有外部系统。

其他作者关注量子引力中QRF的可能作用^¹³或指出QRF与关系方法如何由于所考虑系统的有限尺寸而导致内在消相干^¹⁴,¹⁵.量子力学考虑参考系是建立关系量子理论的基本要素，它不使用外部参考系来指定其元素^²³参考文献中也考虑了QRF的关系方法。 ^{¹⁶–¹⁸}，其中对绝对参考框架的限制是正式的，参考文献^¹⁹，其中重建了自旋系统变换的对称群。

在列出的作品中，应特别提及参考文献^⁸，这是最接近我们工作的。在那里 $G公司$ -引入旋转操作来平均两个粒子（A和S）联合系统的所有外部信息，其中（A）用作参考系。在这个操作之后，剩下的唯一数量是系统S与量子参考系的相对变量。QRF A对系统的描述与我们的描述有一些相似之处。在这个层次上，主要的区别在于，在我们的方法中，在转换后，除了第二个粒子之外，我们还描述了初始参考框架，并且我们不依赖任何外部框架。本文的其余部分针对不同的QRF提出了不同的问题，从而得出了不同的结果。参考文献^⁸，作者转而描述第三个量子系统B，其与初始QRF的关系未知，将通过量子测量获得。为此，他们提出了一个协议，包括多个步骤：（1）QRF B的量子状态，最初从系统和QRF a中分离出来，经过一个 $G公司$ -旋转操作，删除关于外部帧的信息；（2）对QRF a和QRF B的联合状态进行量子测量，以建立两个QRF之间的关系；3）放弃初始QRF A。这一系列操作的结果是系统S相对于B的状态的关系描述。由于测量、群平均操作和初始QRF的丢弃，变换通常会导致系统的去遗传状态。消相干的出现是与我们的方法的一个根本区别，我们假设两个QRF的相对描述（在我们的语言中，从旧QRF的角度来看，新QRF的状态）是已知的，因此参考框架的变化是统一的。此外，在参考文献^⁸系统和新的QRF在协议开始时从不纠缠，而我们的方法没有这种限制。

沿着^{¹–^三}Angelo及其同事最近对量子参考系进行了修订^²⁰–²²，并为将参考框架理解为量子力学系统提供了基本贡献。在这些工作中，从方法学的角度出发，定义外部框架中的状态，然后移动到质心和相对坐标，追踪出质心坐标作为描述其在该外部框架中位置的自由度。有人声称，从这种相对自由度的角度来看，运动方程与伽利略相对论和弱等效原理兼容，但哈密尔顿形式主义则不然，因为没有哈密尔顿量仅取决于量子参考系可获得的坐标^²²这与我们的工作有着根本的不同，在我们的工作中始终可以使用哈密顿形式主义。主要区别在于我们的变换是正则的，这些特征自动保证了哈密顿系统被变换为另一个哈密顿体系。

与其他方法不同的是，我们的形式主义是真正通过构建关系的。这意味着，虽然前面引用的工作的重点是获得关系自由度，但我们从一开始就认为物理自由度是从所选QRF的角度来看的关系自由度。此外，与参考文献类似^⁸和参考文献。 ^²⁰–²²，我们放弃了参考系是抽象实体的观点，它有助于固定一组坐标，而是以与任何物理系统相同的方式对待参考系，以其物理状态和动力学为特征。因此，QRF相对于另一个QRF有一个量子态和一个哈密顿量，而后者相对于前者有量子态和哈密尔顿量。本文仅使用关系量，对这两个QRF之间的状态、动力学和测量的转换进行了形式化。

每个量子态，如相对于QRF所指定的，根据测量QRF外部的所有自由度的概率来编码关系信息。因此，我们的形式主义不需要绝对的参照系，因此不需要存在“外部”视角。此外，与文献中的其他方法不同，我们的工作不是关于缺乏共享参考框架，我们不认为QRF是“有界的”，这通常会导致不精确的状态分配或产生噪声测量结果。相反，我们的QRF允许以任意精度对外部系统进行状态分配。我们采用一种操作方法，假设每个QRF都配备了假设设备，允许对此类状态分配进行操作论证。这种操作视图确实非常有用，不需要在宏观叠加中有实验室（可能还有观察者）。我们将举例说明我们的量子粒子形式主义的相关性，方法是将其应用于粒子的静止框架，该粒子相对于实验室框架处于动量叠加状态，并且具有可作为“测量装置”的内部自由度。我们框架的可能测试将涉及实验技术，例如参考文献中的技术。 ^{³⁶–³⁹}，能够探测相对自由度。

补充信息

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鸣谢

我们感谢阿莱西奥·贝伦西亚、法比奥·科斯塔和菲利普·霍恩的有益讨论。我们通过博士项目CoQuS（项目编号W1210-N25）、项目I-2526-N27和I-2906以及研究平台TURIS感谢奥地利科学基金（FWF）的支持。该项目已获得欧盟地平线2020研究与创新计划在TEQ合作项目（拨款协议编号766900）下的资助。这项工作由基础问题研究所（FQXi）基金资助。这本书是在约翰·邓普顿基金会的资助下出版的。本出版物中表达的观点是作者的观点，并不一定反映约翰·邓普顿基金会的观点。

作者贡献

F.G.、E.C.R.和采。B.在F.G.的领导下对研究的各个方面做出了贡献。

数据可用性

数据共享不适用于本文，因为在当前研究期间没有生成或分析数据集。

笔记

竞争性利益

作者声明没有相互竞争的利益。

脚注

期刊同行评议信息： 自然通信感谢匿名审稿人对这项工作的同行评审所做的贡献。同行评审报告可用。

出版商备注：Springer Nature在公布的地图和机构关联中的管辖权主张方面保持中立。

电子辅助材料

补充信息本文随附于10.1038/s41467-018-00815-0。

工具书类

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来自的文章自然通信由以下人员提供自然出版集团

量子力学与量子参考系中物理定律的协方差

弗拉米尼亚·贾科米尼

埃斯特班·卡斯特罗·鲁伊斯

恰斯拉夫·布鲁克纳

关联数据

摘要

介绍

结果

量子参考系之间的转换

量子参考系中的动力学和对称性

讨论

方法

量子参考系之间的平移

量子参考系之间的提升

量子参考系中的弱等价原理

应用：量子系统静止框架的概念

从量子参考系看的测量

量子参考系以往方法的比较

补充信息

鸣谢

作者贡献

数据可用性

笔记

竞争性利益

脚注

电子辅助材料

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