晶体数学家

迈克尔·奥基夫和布鲁斯·海德的经典之作晶体结构：模式和对称性，对网状晶体几何学的数学上温和的介绍，已由多佛出版物.《晶体学学报B》已出版马西莫·内斯波洛的评论.

美国晶体学协会7月20日至24日的会议在加拿大多伦多。主旨发言人是约翰·波兰尼，他分享了1986年诺贝尔化学奖“感谢他们对化学基本过程动力学的贡献。”

除了关于国际空间站上的结晶（！），将在上进行会话理论和计算晶体学——实验和理论1结构界面的当前和未来机遇，主席布兰顿·坎贝尔（不管网站怎么说，我只是基比策酋长）和理论和计算晶体学——实验和理论结构界面的当前和未来机会2，主席彼得·哈利法和孙文浩。

上周，出现了两条关于物理学的有趣新闻，它们的并置可能包含数学结晶学的信息。

第一，Quanta杂志《照明科学》发表了一篇专题文章物理实验的结果与纯数学中一组看似无关的重要数字之间出现了意想不到的联系这篇文章的重点是爆炸的规模费曼图用于分析粒子数量增加时的粒子相互作用。（随着成分“种类”的增加，晶体结构预测在测量新结构时遇到了类似的问题。）出现一些结果与中生成的参数相对应代数几何.

代数几何涉及可由多项式方程定义的曲面。例如，半径为3的球体可以由公式x定义²+年²+z（z）²=3²=9。（代数几何可以在任意维度上工作，在更高维度空间中的曲面状结构被称为歧管代数几何与多项式方程定义的流形有关。）

这表明数学结晶学也可能受益于使用我们通常想不到的其他数学知识。但有一个问题。

安德鲁·希金森和蒂姆·福塞特回来了。四年前，他们发表了一项关于公式的大量使用阻碍了生物学家之间的交流该论文断言，经验生物学似乎并不太依赖理论生物学，理论生物学论文中的形式数学对其引用率产生了负面影响。去年，三位物理学家声称，也可以对物理学家进行有关生物学家的统计观察，并认为希金森和福塞特观察到的情况可能还有其他原因。（物理学家观察到，“许多焦虑和痛苦似乎也与数学有关”，尽管他们引用的论文声称焦虑和痛苦与做数学的预期有关，而与实际做数学无关。）希金森和福塞特刚刚对物理学家进行了研究并得出结论，“方程密度”也对物理论文的影响产生了负面影响。

毫无疑问，食物大战将继续，但实际上，一个人是否阅读、扫描或丢弃一张纸，可能取决于是否翻阅这张纸，阅读起来没有多大乐趣。如果希金森和福塞特发现了什么，这并不奇怪。对于数学晶体学家来说，问题是它对我们的领域有多大影响；粗略的猜测可能介于生物学和物理学之间。

一段时间以前，我不再在这个博客上发布常规帖子。问题的一部分是事情发生了，另一部分是技术问题。希望这两个问题都已解决，可以重新启动。

IUCr在2012年非常友好地给了我这个空间，并为2013年SIAM材料科学数学方面会议准备了这个空间，在那里有关于几何基础,超越晶体对称性、和结构建筑原则.

SIAM会议结束后，一些人对该博客表示了兴趣，并持续了一段时间。SIAM会议导致《结晶学学报A》中数学结晶学的虚拟问题我有了一个关于数学结晶学的调查的想法，或者说结晶学中的数学，结果证明这不是一回事。我在那期杂志上发表了一篇关于数学+结晶学社区是什么样子的，并开始在博客上对此主题进行调查。

这导致了两个并发症。

• 我是一名数学家，就像刘易斯·卡罗尔的《白兔》一样，我倾向于从头开始。结果是12绘制社区地图员额，2013年6月24日至2015年7月3日。显然，我刚刚开始，但不清楚这些帖子有多有用。
• 如果有一个工作评论功能，博客的功能往往最好。评论很快就被垃圾邮件淹没了，大多数人都不愿意对评论进行审核。

还有一些关于其他事情的帖子（我最近有点杂乱无章，大约一周后才会在上个月的SIAM会议上发布帖子），但缺乏反馈，仅此而已。

正如我在Acta论文和早期帖子中提到的新兴科学技术努力的成败取决于招聘和沟通。所以问题是这个博客如何促进招聘和沟通。

• 我倾向于继续偶尔发布社区地图，除非有人要求我停止。我不确定速度会如何。但我怀疑更多的主题帖子可能更有用。
• IUCr网站管理员非常友好地安装了一个阿斯基米特过滤器（使用Captcha公司)在评论部分，我已经启用了评论。因此，您可以输入注释，键入Askimet生成的短语，它就会出现。我们将了解其工作原理：在上的“评论”部分工作了四周后，Askimet屏蔽了5108个垃圾邮件，将17个垃圾邮件放入垃圾邮件队列供我查看，并接受了两个（已发布）。

无论如何，评论现在是开放的。要对任何帖子发表评论，请单击帖子的标题，它应该转到该帖子，底部留有评论空间。

最大的问题是这个博客如何有用。让我们看看情况如何。

晶体学家利用群论来研究晶体的（整体）对称性。大多数时候，他们会查看一组“等轴测图”：如果R（右）^d日是d日-维空间，然后是等距在R（右）^d日是函数f：R（右）^d日→R（右）^d日这样，对于任何x个,年∈R（右）^d日，|f(年)–f(x个)| = |年–x个|. 由于两个等距的合成是等距的，等距的逆是等距，恒等式是等距R（右）^d日组成一个小组。

我们想知道等距的公式，这是线性代数中的一个练习，对于每个等距fR（右）^d日，有一个唯一的矢量米和一个唯一的矩阵M（M）这样，对于每一个x个∈R（右）^d日，f(x个) =米+M（M）x个（这样的函数称为仿射的). 没有任何限制米，但有以下限制M（M）.

回想一下基础属于R（右）^d日是一组非零向量{b条₁, …,b条_d日}来自R（右）^d日这样每个向量x个∈R（右）^d日可能是独特地表示为以下各项的线性组合b条₁, …,b条_d日，即在表格中x个=a₁b条₁+…+a_d日b条_d日，其中₁，…，a_d日是实数。一个基础是正交的如果其中的矢量相互垂直，即对于任何我,j个，如果我≠j个然后b条_我⋅b条_j个= 0. 正交基是标准正交如果其中的每个向量都是范数1。

矩阵是正交的如果它的列形成正交基，或者等价地，它的行形成正交基。正交矩阵具有各种优良的性质。两个正交矩阵的乘积是正交矩阵，正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵：由于矩阵相乘是相联的，所以正交矩阵形成一组，通常称为正交群尺寸的d日此外，正交矩阵的行列式为1或-1，正交矩阵逆矩阵为其转置矩阵（矩阵的转置是矩阵通过主对角线反射的结果，因此我,j个-转置词的词条是我,j个-原始矩阵的输入：a_我,j个^t吨=a_j个,我).

这里我们有一个仿射函数f(x个) =米+M（M）x个是等距的当且仅当M（M）是正交的。

有几种方法可以枚举所有类型的等角图R（右）^三.耶鲁大学使用几何结构，而贾科瓦佐使用代数机器。让我们遵循耶鲁的枚举法，因为这让我们看几何耶鲁所做的就是看固定点：回想一下函数f的不动点：R（右）^d日→R（右）^d日是一个向量x个这样f(x个) =x个.

我们需要一个概念。安仿射空间或仿射平面在里面R（右）^三是点、线、平面或整个空间。线性代数中的一个练习是证明对于任何仿射函数R（右）^d日到R（右）^d日，其不动点集构成仿射空间。我们用这个事实来分类R（右）^三但首先是主要字符（见下图）。

• 给定一个平面，穿过该平面的反射是等距的。
• 给定两个平面，如果它们平行，则两个反射的合成是平移；如果它们不平行，则构成是围绕相交线的旋转。
• 给定三个平面，如果它们都在某一点相交，这是一个旋转反射：围绕第一个平面与平面的交线旋转，然后在第三个平面上进行反射。如果前两个平行，这是一个滑动反射：通过平行镜子的平移和通过第三个镜子的反射。
• 给定四个平面，前两个平面在垂直于后两个平面的线上相交，这四个平面是平行的，这就是一个螺丝。

就这些了。我们通过计数来分类等角线固定点:对是f的不动点(对) =对.

• 如果f有四个不动点，而不是全部在一个平面上，那么不动点集必须是整个空间，f是恒等式。
• 如果f有三个不动点，不是全部在一条线上，但f不是恒等式，则不动点集必须是平面。对于任何x个，如果年固定点平面上最靠近的点x个，线穿过x个和年垂直于该平面。因为f不是恒等式，f必须保持x个平面上的所有点，f(x个)必须是距离线上的点|年–x个|来自年但恰恰相反x个.为所有人重复x个，f必须是一个反射，固定点的平面必须是它的镜子。
• 如果f有两个不动点，并且不是一个反射或恒等式，那么它的不动点集就是一条线。选择一个点x个不在线，让年=（f(x个) +x个)/2. 设P是包含f不动点的平面年，让r是穿过P的反射，那么r°f是固定P的等距，正如我们已经看到的，r°f就是一个反射，称之为h^-1°h是两个反射的组合，因此平移时的旋转没有固定点。
• 如果f只有一个不动点对，选择x个≠对，并让年=（f(x个) +x个)/2，让P是通过的平面对和年垂直于通过f的线(x个)和x个设r为穿过P的反射，则h=r°f为等距固定对和x个，因此是恒等式、反射或旋转。所以f=r^-1°h是反射、旋转或旋转反射；因为它只有一个固定点，所以它必须是一个旋转反射。
• 如果f没有固定点，请选择任意一个对让g作为翻译x个→x个+ (对–f(对)). 然后对是h=g°f的一个不动点，我们有四个子类。
  • 如果h有四个不动点，而不是全部在一条线上，那么h是恒等式，f=g^-1°h是翻译。
  • 如果h有一个不动点平面，但不是恒等式，则f=g^-1°h是平移和反射的组合，是反射（如果三个反射镜都平行）或滑动反射。
  • 如果h有一条不动点线但没有平面，则f=g^-1°h是平移和旋转的组合，是旋转（如果两个镜子重合）或螺旋旋转。
  • 如果h只有一个固定点对，则f=g^-1°h是平移和旋转反演的组合，是滑动反射、旋转反演或反射。

就这样。

还有一点。从矩阵到实数的一个更有用的函数是行列式.两个重要事实。首先，矩阵乘积的行列式是行列式的乘积。其次，当单位矩阵的行列式为1时，反射等距矩阵的行列式为-1。这意味着偶数个反射的合成矩阵（单位、旋转、平移和螺旋）为1，而奇数个反射（反射、旋转反射和滑动）的合成矩阵为-1；注意，当且仅当等距是直接运动时，矩阵为1，否则，如果是间接运动，矩阵为-1。

现在是等距组。一组等距是在合成和逆条件下闭合的一组等距。如果f(x个) =一+M（M）x个和g(x个) =b条+N个x个，然后（g∘f）(x个) =b条+N个一+NM公司x个因此f^-1(x个) = –M（M）^-1一+ –M（M）^-1x个.

首先，a点编组是一组等距线修复了一个公共点。最重要的点群是正交群，这是一组固定原点的所有等角线。

然后是成组的翻译。其中最受欢迎的是晶格群：英寸d日-维度空间，一个人有一个基础b条₁, …,b条_d日这样等距线x个→b条₁+x个, …,x个→b条_d日+x个生成等角线的子组（请参见2015年6月20日发布有关生成子组的详细信息). 一个重要事实。设G是一组等距线，T是G中的平移组，那么T在G中是正规的（参见2015年6月20日发布有关正规子群的详细信息)：如果x个→一+M（M）x个（我们表示[一,M（M）])和x个→b条+x个（我们表示[b条,我])在G中，那么组成也是[一,M（M）] ∘ [b条,我]∘[一,M（M）]^-1= [一+M（M）b条–M（M）^-1一,我]，这是一个翻译，因此在T中也是如此。

现在说说晶体学家为什么对这些东西感兴趣。在十九世纪，一些胆大的人认为当时政治上错误的固体是由原子构成的观点，于是他们继续研究开普勒他认为晶体可能由规则的原子阵列组成。（这种想法在政治上是不正确的，因为自1800年起，所有思想正确的人都知道原子理论是错误的即使它对化学记帐有用。）如果一个晶体是由相同的原子组成的，如果晶体是对称的，从每个原子看起来都一样，那么这说明了晶体的结构是什么？十九世纪的大部分时间里，人们才提炼出晶体的对称性概念，这一概念将具有以下标准。

简单地说，想象一个无限的晶体填满了整个空间。其原子排列将满足：

• 从晶体中的任何原子来看，晶体都是一样的。
• 任何两个原子之间的距离都是最小的。
• 对于空间中的任何平面，平面的两侧都有原子。

我们可以将其提炼为群论语言；从中召回2015年6月20日发布那个轨道一个点的对组G下是集合G公司(对)=｛g(对)：g∈G公司}. 我们说G组等距线d日-空格是结晶学的如果：

• 对于某些（或任何-量词都可以）点对，我们看轨道G公司(对)如下…
• 对于任意两个不同的点g，有一个数ε>0(对)，小时(对) ∈G公司，|g(对)–小时(对)| > ε. 此属性称为一致离散性.
• 对于任何超平面（2格中的一条线，3格中的一个平面）G公司(对)在超平面的两侧。

这个费奥多罗夫–Schoenflies公司–比伯巴赫定理声明：

1. 群G是晶体d日-空间当且仅当其平移子群T由d日平移，G/T是有限的（参见2015年1月20日发布对于商组）。
2. 对于任意两个晶体群G和H，如果G与H同构，那么对于某些仿射函数f，H=f∘G \8728；f^-1.
3. 对于每个d日，上有有限多个晶体学群的同构类d日-空间。

这可能是最接近数学结晶学基本定理的东西——至少对于经典结晶学来说是这样的；使其覆盖准晶是当代数学结晶学的一大挑战。无论如何，最容易访问的帐户可能是R.L.E.Schwarzenberger的N个-维晶体学; 另请参见E.B.文伯格几何II：常曲率空间。还有其他参考文献，但它们将该定理嵌入了重型黎曼几何.