赤平极射投影是从球面到赤道平面的点的投影。投影的定义如图1所示。如果任何点P（P）球体表面与南极相连S公司和线路秒将赤道平面切割为第页，然后第页是的立体投影P（P）赤平投影在结晶学中的重要性源于这样一个事实，即球面上的一组点在三维空间中提供了一组方向的完整表示，这些方向是从球面中心到点集的一组直线。因此，对于许多目的来说，这些点的立体投影是在平面纸上表示一组方向之间相互关系的最佳方式。
最常见的应用是表示晶体表面之间的角度以及它们之间的对称关系。在“成形良好”的晶体上，通过晶体结构的对称性相互关联的所有面都发展到了相同的程度，因此晶体的形状显示出其真正的对称性。然而，真正的晶体很少以这种方式形成；晶体生长的意外情况，例如结晶液体的不均匀进入，或相邻晶体或其他物体的干扰，可能以掩盖真实对称性的方式阻碍了晶体在某些方向上的生长。然而，这些事故并不影响面之间的角度，只影响它们的相对大小。如果设想晶体位于以晶体内某个任意点为中心的球体内，则可以从该点构造面法线，并将其延伸以切割球体（图2）。与球体的交点代表晶体的方向面，完全不受其相对大小的影响，球体表面这些点的排列对称性揭示了晶体的真正对称性，无论它是否成形良好。这种对称性也可以在这些点的赤平投影中识别出来。
在此连接中，面法线与球体相交的点称为面极。由于晶体的两个面之间的角度通常定义为它们法线之间的角度，因此它相当于它们两极之间的（角度）大圆距离。
南半球上的一点投影到赤道以外的一点，因此该点接近S公司-极点它的投影后退到无穷远。出于许多目的，可以方便地表示赤道内的整个球体，如果南半球的点投影到N个-极点而不是S公司-极。通常通过标记投影到S公司-电极组件以及那些投射到N个-电极组件.
某些特定点集的完整赤平投影通常称为赤平投影图。
当然，球面在平面上有各种不同的投影，可以用来表示晶体表面两极之间的角度关系。然而，赤平投影特别适合于此目的的是，它将球体上的任何圆投影到投影上的一个圆中（尽管在某些情况下，该圆的半径变为无限半径，即直线）。
从图1可以明显看出，如果P（P）当时是在球体的赤道上第页也就是说，赤道与它自己的投影重合。赤平投影上代表球面赤道的圆起着重要作用，称为原始的投影的角度。球体上围绕赤道的角距离明显投影到围绕基本体的相同角距离。从图1中也可以清楚地看出，球体的北极投影到原始体的中心。图3显示了球体的子午线投影到基元的直径（这是投影是无限半径的圆的情况），北半球上的一个纬度圆投影为一个与原始生物及其内部同心的圆。如果纬度圆位于南半球，则会投影为原始生物外部的同心圆。
赤道和子午线是球体上特殊的大圆。图4显示了一般位置上的一个大圆，很明显，它的赤平投影是一个半径大于图元半径的圆。它在基本体直径的两端与后者相交两个点。位于北半球的大圆的一半投影到原始区域内的弧线上，而位于南半球的另一半投影到原区域外的其他圆上。出于某些目的（如第3节所述），有必要考虑整个圆，但出于其他目的，更方便的方法是将南半球的半圆投影到北极，以便将投影限制在原始区域内。完成此操作后，大圆的完整表示由两个大半径弧组成，这两个弧在图元的直径上对称相关，如图5所示。
赤道和纬度圈当然以北极为中心，它们的投影也以北极的投影为中心，即原始的中心。然而，这是唯一一种圆心投影与圆心投影重合的情况。这对于图4中的大圆来说是显而易见的；从下面的第3（iv）节中可以明显看出，小圆圈也是如此。
在赤平投影上，借助尺子、圆规和量角器，可以很容易地进行四种重要的构造。
（i） 以给定角度绘制点的投影来自N个-极。考虑通过该点的球面经向截面P（P）如图6a所示。重点P（P）可以插入（使用量角器）并连接到S公司.它在第页.一个半径圆操作然后可以转换为投影（图6b），该圆描述了所有点的投影来自N个-极。如果子午线的方向P（P）那时立体图上已经确定了谎言第页是与圆相交的点；如果还没有被其他考虑因素固定，这样的子午线可以画成任意方向上的基本体直径。
（ii）绘制给定点对面的投影。
关于球面通过该点的子午面P（P）（图7a）易于连接P（P）并将其延伸到相反的点（它的对立面）。投影到S公司-然后极点给出其投影在一定距离从中心开始。如果第页已经绘制在立体图上（图7b），然后可以将其连接到中心O（运行）这条线延续了一段距离从图7a中移出。
对于以下结构（iii），我们将要求相反的P（P）投影到S公司-用这种方式撑杆。然而，如果出于其他目的，我们需要投影与P（P）到N个-极点则程序非常简单；关于本公约简单地通过连接获得第页到立体图的中心，并将这条线延伸到中心以外相等的距离如图8所示。
（iii）通过任意两点画一个大圆的投影。让两点的投影P（P）和问是第页和q个（图9）。由于每一个大圆通过任一点都会通过该点的对立面，因此大圆通过P（P）和问必须通过，与…相反P（P）因此，所需的投影是通过、和通过构造（ii）发现。该圆的中心位于pq值和，因此可以绘制圆。
（iv）绘制半径小圆的投影从给定的点开始。这样一个圆是所有点在一个角距离上的轨迹从给定的点P（P），因此，当我们希望以与另一个点的特定角度绘制一个点时，它非常有用。考虑球面的经向截面P（P）（图10a）。划出两点，A类和B类以角距离在的每一侧P（P）.加入A类,B类和P（P）到S公司找到他们的投影一,b条和第页.传输到立体图距离应用程序和英国石油公司沿直径穿过第页.然后一和b条显然位于所需的圆上，其中心必须是ab公司（注意，此中心从第页本身。）因此，可以直接绘制圆（图10b）。
通常要求从给定角度找到一个点第页以其他给定角度q个。该点位于相应的两个小圆的交点处。当然有两个这样的交点，但通常会有一些定性的原因来说明这两个点中的哪一个是必需的。
上述所有四个步骤都涉及球面经向截面的辅助绘制；对该剖面进行了实际施工，并将适当的测量值从该剖面转移到了立体图本身。使用辅助图纸有助于澄清所涉及的原则，但在实践中没有必要。如果子午面旋转90度关于其赤道直径，则它与立体图的平面重合，因此可以在立体图上绘制构造线。如果随后将其擦除，则无需传输测量值即可直接获得相同的结果。这种进行施工（ii）的方式如图11中的虚线所示，该方法同样适用于所有施工。
最高精度的赤平投影是通过上一节中描述的构造获得的，之所以首先描述这些构造，是因为它们可以帮助理解所涉及的原理。然而，在赤平网的帮助下制备赤平图通常更为方便，尽管获得的精度通常较低，但对于大多数目的来说，这就足够了。
赤平网就是球面经纬度线在中心平面上的赤平投影。赤平网最明显的形式如图12所示N个-如第1节所述，极点投影到中心，纬度线投影到一组同心圆，经线投影到基本体的一组直径。如果刻度足够细，这样的网可以直接用于获得与第3节构造（i）和（iv）相同的结果。但是，也可以使用其他网。如果我们想象一个地球仪倾斜，如图13a所示，我们将所有的点投射到地球上，而不是投射到地理上S公司-但是到了球体的最低点，那么经纬度线的投影将如图13b所示。我们将在第5节中回到这个想法，但最有用的结果是，如果我们将地球向右倾斜N个-S公司轴是水平的。投影如图13c所示。它相当于我们通过投影到它的S公司-极点刻有经纬线的地球仪，称为“东极”和“西极”。这是Wulff网，并且通常非常有用，因此通常被称为这个赤平网。商用Wulff网，直径5英寸，分为2级间隔如图14所示。在该图中，所有（近似）垂直线表示大圆，所有（接近）水平线表示围绕图元上一点的小圆。
为了借助Wulff网构建立体图，最方便的方法是在网上描图纸。
要以给定角度从N个-杆（相当于构造（i））一个简单地使用沿着网的任何一个刻度直径的刻度。
要通过两点（相当于构造（iii））画一个大圆，请在网上旋转立体图，直到两点位于投影的大圆之一（或两个大圆之间的插值圆）上，然后将所需的圆弧追踪到立体图上。由于该程序的简单性，不需要构造（ii）。如果两个点投影到相反的极点（即一个是另一个a)然后旋转立体图，直到它们位于投影的大圆上，距离相等，与网的垂直直径相对。
绘制给定半径的小圆大约一点第页（相当于构造（iv））在网上旋转立体图，以便第页点位于垂直直径上。如果在第页然后在图元内标记这两个点，并在它们中间画一个圆圈（图15a）。如果第页比所需的角半径更接近基本体，则在网络上只能找到所需的一个点（a）。所需的第二个点（b）可以用赤平仪最简单地找到。这是一种标尺，其刻度与Wulff网直径上的刻度相等，但适当地延伸到基元以外的某个（任意）距离。
但是，如果没有立体尺，可以使用Wulff网本身。定位点第页在网的水平直径上标记两个点d日和（图15b）上方和下方第页距离沿着（插入的）大圆穿过第页.然后可以画出所需的小圆一,d日和。一旦画出圆圈，就可以重新投影到N个-极位于基元外部的部分。从以下位置沿直径计算分段数第页然后继续向内计数，直到值为到达：这导致了一个点（图15b），所需的弧是通过的弧和两个十字路口e（电子）和用原语描述小圆圈。
如果点第页位于基本体上，则必须旋转立体图，以便第页位于Wulff网垂直直径的一端或另一端。然后可以直接从Wulff网追踪任何所需角半径的投影小圆。
晶体的对称面必然会沿着一个大圆切割晶体的球面投影。因此，它在立体图上用一条线表示，该线要么是基元，要么是基体的直径，要么是Wulff网的（近似）垂直弧之一（旋转到适当的方向后）。它用粗线表示。点的反射操作第页在这样的反射平面上可以在Wulff网上执行。旋转立体图，使表示镜面的线与网上的大圆重合：然后从第页沿着一个小圆，直到达到镜子的表示。的位置然后沿镜子外的小圆进一步等分。如果在之前到达原语然后继续向内数除数，直到总数正确，但要标记位置而不是.
晶体对称轴（2倍、3倍、4倍或6倍）必然与球面相交，相交点可以用球面在立体图上的投影表示；并标有适当的符号(分别）。旋转轴反转的部件旋转轴的方向也是如此,或（标记为分别）。操作n个-点上的折叠对称轴第页就是旋转第页通过相当于360的刻度/n个沿着围绕轴极的一个小圆。如果后者位于立体图的中心，则这是360度的直线旋转/n个如果对称轴的极点位于基本体上，则放置立体图，使该点位于Wulff网的底部。增量360/n个然后可以根据小圆圈上的刻度计算第页。当到达基元时，随着路径的回溯，计数继续，但下一个点绘制为而不是（或vice-versa）。
如果对称轴处于更一般的位置，似乎需要一个如图13所示的赤平极坐标网，在对称轴位置处子午线的交点。然而，完全可以按以下方式使用Wulff网，根据需要重新定位网上的立体图。
（i） 测量与对称轴的角距离(秒)点的(第页)这要通过对称性来重复。
（ii）构建小圆(我)半径约为秒.
（iii）构建圆(e（电子）)半径为90关于秒.建造这个地方秒在网的直径上，找到点90沿着直径和垂直直径的两端，画一个圆穿过这三个点。虽然这是一个小圆，但实际上是一个大圆，因此可以沿着它测量角距离。
（iv）标记e（电子）穿过大圆秒和第页.计数增量为360/n个从这一点开始e（电子）。从这些增量点中找出经过的大圆秒; 这些大圆圈的切入点我是其中的点第页由对称轴重复。
如果在立体图上以任意方向绘制未知对称晶体表面的极点，则通常可以识别对称元素的方向。然后，可以在形态晶体学教科书中显示的一个标准方向上重新绘制立体图，以证明七个晶体系统和三十二个晶体类别的对称性。
球面上任意三个大圆相交的弧构成一个球面三角形。这样一个三角形有六个元素：三条边，由它们在球体中心相对的角度指定；这三个角被定义为在大圆中与球体相交的中心平面之间的二面角。如果球面三角形的任何三个元素已知，其余的可以用球面三角法计算。对这些方法的全面讨论超出了本手册的范围，但如果三角形有顶点A类,B类,C类与这些顶点相对的边表示为一,b条,c（c）两个最常用的公式分别是：
==
和
.
后者可以通过相关元素的适当相互转换进行重写。
通过大圆投影将立体图上的极点连接起来，始终可以找到球面三角形，从中可以通过球面三角法计算以前未测量的极点之间的角度。通常情况下，晶体轴线的方向不是由晶体表面的极点来标记的，但它们仍然可以作为立体图上适当圆圈的交点来找到。然后可以找到合适的球面三角形，以便根据可用面之间的角度计算轴间角和轴比。形态晶体学书籍中详细介绍了这些方法。
任何只涉及空间方向的问题都可以归结为与球面上点的分布有关的问题，因此可以用立体图表示。孪晶（或由两个以上单个晶体组成的更复杂的共生体）组分之间的对称关系显然可以用这种方式表示。对于部分定向的多晶集料（例如轧制金属板、拉伸聚合物、岩石纹理），可以在立体图上绘制垂直于某些特定晶体平面的空间定向，并绘制等高线以指示所涉及的定向范围。这种图表被称为极坐标图。
图1、2、3、7a、9、10、12、13a和13b经Pergamon Press许可复制自结晶学：地球科学（和其他固态）学生入门作者：E.J.W.Whittaker。
图14经伦敦贝尔格莱夫广场47号物理研究所许可复制，可向其购买复制品。
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立体投影的应用将在下面的书中介绍。
晶体对称性的表示。Whittaker，E.J.W。，结晶学：地球科学（和其他固态）学生入门佩加蒙出版社（1981）。
极图和首选方向。N.F.M.亨利、H.利普森和W.A.伍斯特。，X射线衍射照片的判读麦克米伦（1961）
Peiser，H.S.、Rooksby，H.P.和Wilson，A.J.C。，多晶材料的X射线衍射伦敦物理研究所（1955年）。
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