定义
具有恒定功率谱密度(PSD)功能的随机过程(或可视化信号)是白噪声过程。
功率谱密度
功率谱密度函数(PSD)显示每个光谱分量中包含的功率。例如,对于固定频率的正弦波,PSD图将只包含给定频率下的一个频谱分量。PSD是一个偶数函数,因此绘制时频率分量将沿Y轴镜像。因此,对于固定频率的正弦波,PSD的双面图将有两个分量–一个在正弦波的+ve频率,另一个在–ve频率。(知道如何绘制PSD/FFT在Python中&在Matlab中)
高斯和均匀白噪声:
白噪声信号(过程)由一组独立的同分布随机变量组成。在离散意义上,白噪声信号由一系列独立的样本组成,并由相同的样本生成概率分布例如,可以使用随机数生成器生成白噪声信号,其中所有样本都遵循给定的高斯分布。这称为高斯白噪声(WGN)或高斯白噪声。类似地,白噪声信号由均匀分布称为均匀白噪声。
高斯噪声和均匀噪声常用于系统建模。在建模/仿真中,可以使用适当的随机生成器生成白噪声。可以使用以下方法生成高斯白噪声兰登Matlab中的函数,它生成遵循高斯分布的随机数。同样,兰特函数可用于在Matlab中生成遵循均匀分布的均匀白噪声。当使用随机数生成器时,它会根据给定的分布生成一系列随机数。让我们以生成长度为10的高斯白噪声为例,使用兰登Matlab中的函数–平均值为零,标准偏差为1。
>>mu=0;σ=1;>>噪声=西格玛*randn(1,10)+mu噪音=-1.5121 0.7321-0.1621 0.4651 1.4284 1.0955-0.5586 1.4362-0.8026 0.0949
什么是i.i.d?
这只是从标准正态分布中生成10个随机数。正如我们所知,白过程被视为由几个随机变量组成的随机过程,遵循相同的概率分布函数(PDF)。上述10个随机数是由相同的PDF(标准正态分布)生成的。这种情况称为“同分布”条件。上述单个样本彼此“独立”。此外,每个样本都可以看作是一个随机变量的实现。实际上,我们已经生成了一个由10个随机变量的实现组成的随机过程。因此,上述过程由“独立同分布”(i.i.d)随机变量构成。
严格和弱定义的白噪声:
由于白噪声过程是由i.i.d随机变量/样本构建的,所有样本遵循相同的潜在概率分布函数(PDF)。因此,过程的联合概率分布函数不会随时间的任何变化而变化。这称为平稳过程。因此,该噪声是一个平稳过程。与静止过程一样,静止过程可分为严格意义静止(SSS)和广域静止(WSS)过程,我们可以有白噪声即SSS和白噪声即WSS。相应地,他们可以被称为严格地定义白噪声信号和弱定义白噪声信号.
协方差函数/矩阵是什么?
用\(x(t)\)表示的白噪声信号在弱意义下定义是一个更实际的条件。这里,样本在统计上是不相关的,并且具有相同的分布,方差等于\(\σ^2 \)。通过使用协方差函数来指定此条件
\[COV\left(x_i,x_j\right)=\begin{cases}\sigma^2,&\quad i=j\\0,&\quad i\neq j\end{casesneneneep \]
为什么我们需要协方差函数?因为,我们正在处理一个由\(n \)个随机变量组成的随机过程(在上面的建模示例中有10个变量)。这种过程被视为多元随机向量或多元随机变量.
对于多元随机变量,协方差函数指定了给定随机过程中每个变量的相互行为。协方差函数将方差的概念推广到多个维度。
上述方程以矩阵形式表示时,给出了白噪声随机过程的协方差矩阵。由于此过程中的随机变量在统计上不相关,协方差函数仅包含沿对角线的值。
\[C_{xx}=\begin{bmatrix}\sigma^2&\cdots&0\\vdots&\sigma ^2&\ vdots\\0&\cdotes&\sigma^2\end{bmatriax}=\sigma-2\mathbf{I}\]
上面的矩阵表明,对于每个随机变量,只存在自相关函数。互相关值为零(样本/变量之间在统计上互不相关)。对角线元素等于方差,并且矩阵中的所有其他元素都为零。弱定义白噪声的系综自相关函数由给出。这表明弱定义白噪音过程的自相关函数除滞后时外处处为零。
\[R_{xx}(\tau)=E\左[x(t)x^*(t-\tau
相关主题:在Matlab中构造自相关矩阵
频域特性:
维纳-钦钦定理声明:广义静态过程(WSS)通过对随机过程的自相关函数进行傅里叶变换,可以得到随机过程的功率谱密度函数S_{xx}(f)。在连续时域中,这表示为
\[S_{xx}(f)=f\左[R_{xxx}(\tau)\右]=\int_{-\infty}^{\infty}R_{xx}[\tau(\tao)e^{-j 2\pi f\tau}d\tau]
对于弱定义的白噪声过程,我们发现平均值是一个常数,其协方差不随时间变化。这是WSS进程的一个充分条件。因此,我们可以应用韦纳-钦钦定理。因此,弱定义白噪声过程的功率谱密度在整个频谱中是恒定的(平坦的)(图1)。常数的值等于噪声信号的方差或功率。
\[S_{xx}(f
在Matlab中测试白高斯噪声的特性:
使用Matlab中的randn函数生成一个长度为(L=100000)的高斯白噪声信号并绘制它。假设pdf是高斯pdf,平均值为(mu=0),标准偏差为(sigma=2)。因此,高斯pdf的方差为(sigma^2=4)。高斯随机变量的理论PDF由下式给出
\[f_X(X)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\cdot exp\left[–\frac}\left(X–\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right]]
以下电子书中提供了更多仿真技术
●使用Matlab的数字调制
●使用Python的数字调制
●Matlab中的无线通信系统
全部清除;clc;全部关闭;L=100000;%随机信号的采样长度μ=0;σ=2;X=σ*randn(L,1)+μ;图();子地块(2,1,1)图(X);title([白噪声:\mu_x=',num2str(mu),'\sigma^2=',num2str(sigma^2)])xlabel(“样品”)ylabel(“样本值”)网格打开;
绘制直方图并通过绘制高斯随机变量的理论pdf来验证直方图。
如果您倾向于使用Python编程,点击此处了解如何使用Matplotlib包绘制直方图.
子区(2,1,2)n=100;%Histrogram存储箱的数量[f,x]=历史(x,n);巴(x,f/trapz(x,f));坚持;%高斯随机变量的理论概率密度函数g=(1/(sqrt(2*pi)*sigma))*exp(-((x-mu))^2) /(2*sigma^2));图(x,g);拖延;网格打开;标题(“高斯白噪声理论PDF和模拟直方图”);图例(“柱状图”,“理论PDF”);xlabel(“箱子”);ylabel(“PDF f_x(x)”);
计算自相关函数白噪音的影响。计算的自相关函数必须适当缩放。如果“互相关系数'函数(内置于Matlab中)用于计算自相关函数,请使用'有偏见的'参数,以正确缩放它。
图();Rxx=1/L*conv(flipud(X),X);滞后=(-L+1):1:(L-1);%替代方法%[Rxx,滞后]=xcorr(X,‘偏倚’);%参数“biased”用于按1/L正确缩放%将自相关与样本长度归一化,以实现适当的缩放图(滞后,Rxx);标题(“白噪声的自相关函数”);xlabel(“滞后”)ylabel(“相关性”)网格打开;
模拟PSD:
模拟功率谱密度白噪声(PSD)是一件有点棘手的事情。这里有两个问题:1)生成的样本长度有限。这与应用截断无限系列随机样本是同义的。这意味着滞后是在固定范围内定义的。(FFT和频谱泄漏–可以在此处找到有关此主题的其他资源)2)仿真中使用的随机数生成器是伪随机生成器。由于这两个原因,当您对生成的自相关值应用傅里叶变换时,将不会得到平坦的psd谱。通过产生足够长的随机信号并在随机信号的多次实现中平均psd,可以将psd的波动效应降至最低。
将高斯白噪声模拟为多元高斯随机向量:
为了验证白噪声的功率谱密度,我们将使用假设噪声为(N)高斯随机变量的组合的方法。我们希望将PSD平均到这种实现的L上。由于每个实现都有(N)个高斯随机变量(N个单独的样本),协方差矩阵(C_{xx})的维数为(N乘以N)。此多元情况的平均向量为维数(1乘以N)。
Cholesky分解协方差矩阵给出了多元情况下的等效标准偏差。Cholesky分解可以看作是平方根运算。这里使用Matlab的randn函数生成具有给定平均矩阵和协方差矩阵的多维高斯随机过程。
%白高斯噪声过程恒定PSD的验证%具有任意平均值和标准偏差sigmaμ=0;%噪声过程每次实现的平均值西格玛=2;%噪声过程的每个实现的SigmaL=1000;%平均随机信号实现次数N=1024;%每个实现的样本长度设置为FFT的2次幂%生成随机过程-白高斯噪声过程MU=μ*个数(1,N);%所有实现的平均向量Cxx=(σ^2)*诊断(个数(N,1));%随机过程的协方差矩阵R=胆固醇(Cxx);%协方差矩阵的Cholesky%用给定的平均向量和%协方差矩阵Cxxz=代表(MU,L,1)+兰登(L,N)*R;
计算上述生成的多维过程的PSD,并对其进行平均,以获得平滑图。
%默认情况下,FFT在每列上执行-Normal命令FFT(z)%求每行多元分布的FFT%命令-fft(z,[],2)Z=1/sqrt(N)*fft(Z,[],2);%按平方米(N)缩放;Pzavg=平均值(Z.*conj(Z));%从fft计算平均功率正常频率=[-N/2:N/2-1]/N;Pzavg=fftshift(Pzavg);%将零频率分量移到频谱中心曲线图(normFreq,10*log10(Pzavg),‘r’);轴([-0.5 0.5 0 10]);网格打开;ylabel(“功率谱密度(dB/Hz)”);xlabel(“归一化频率”);标题(“白噪声功率谱密度”);
生成噪声的PSD图显示所有频率的几乎固定功率。换句话说,对于白噪声信号,PSD在所有频率(\(-\infty\)到\(+\infty\))上是恒定的(平坦的)。上图中的y轴以dB/Hz单位表示。从图中可以看出,(常数;功率=10log{10}(σ^2)=10log}(4)=6;分贝)。
应用程序
在渠道建模中,我们经常会遇到加性高斯白噪声信道。要了解更多有关渠道模型及其模拟的信息,请继续阅读本文:在Matlab和Python中模拟AWGN信道。
评价此文章: (60平均票数:4.40共5个)
参考文献:
[1]罗伯特·格罗弗·布朗,《随机信号分析和卡尔曼滤波导论》,约翰·威利父子出版社,1983年.↗
[2]Athanasios Papoulis,《概率、随机变量和随机过程》,第三版,WCB/McGraw-Hill,1991年.↗
作者的书籍